精品解析：安徽省桐城中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

桐城中学2026-2027学年高一第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，又因为， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】修改量词否定结论，可得结果. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：C. 3. 已知命题，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得，即命题对应的集合为， 又命题对应的集合为，且是的充分不必要条件， 即 ，所以，即的取值范围是． 4. 某社区需要招募志愿者进行连续3天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天参加的人数最少为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】先设三天都参加人数为，第一天第三天都参加为，再画出三个集合韦恩图，根据题意写出每一块区域的表达式，由人数非负确定取值范围，最后列出总人数的式子，即可求解． 【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为． 已知第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人， 可作韦恩图如图： 依题意必有，，均为自然数， 所以，， 故这三天参加的志愿者总人数为：， 当时，这三天参加的人数最少，最少人数为． 5. ，，，四人的年龄关系如下．，的年龄之和与，的年龄之和相同，，的年龄之和大于，的年龄之和，的年龄大于，的年龄之和，则，，，的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题目条件转化为不等式组，通过不等式的加减运算，逐步推导四人年龄的大小关系． 【详解】用，，，表示，，，四人的年龄，则，，，． 则，① ，② ．③ ①②得，①③得，②③得， 由于，， 故由③得，， 由①得， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上，． 故选D． 6. ，，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为有两个不等根，其中一根小于，另一根为即可求解. 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 7. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】因为，若，则， 又， 则集合是集合的非空子集， 且元素和，和，和必须同时出现， 故可把元素和，和，和看成一个元素， 则集合可看成有个元素， 所以集合的个数为. 8. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，问题可转化为对任意的恒成立，由题设条件得到，进而得到，接着结合基本不等式求得最小值得到即可求实数的取值范围. 【详解】因为对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 又因为，可得， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为，所以，可得，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，可利用不等式性质进行判断；CD选项，利用作差法比较出大小. 【详解】A选项，若，则，不等式两边同除以得，A正确； B选项，若，则，故，不等式两边同除以得，B正确； C选项，， 因为，，所以，故，所以，C正确； D选项，，因为，所以，，， 但的正负不确定，故无法判断的正负，从而无法判断与的大小关系，D错误. 故选：ABC. 10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为； B. 的最大值为； C. 的最大值为； D. 的最小值为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A直接用基本不等式可得；对B由得，再用基本不等式可得；对C先由基本不等式可得，再由不等式性质可得；对D先将变形为，再结合，并利用基本不等式可得. 【详解】已知，结合基本不等式逐一判断选项： 选项A ：由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误； 选项B ：由得， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 选项C： 因为 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 选项D ：因为 ， 又因为，，，所以，即， 所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得. 因此当时，的最小值为，D正确. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集得，，结合基本不等式及不等式性质、根与系数关系依次判断各项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根，且， 所以，即，，所以，A正确； 又（等号不成立），所以，所以，，B正确； ，C错误； 方程可化为， 整理得，解得，， 所以， 又，且， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、，若集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知， 因为，所以，，则，所以，， 故． 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断，然后每一项都除以，得到不等式，等号两边同时除以得，得出的关系，然后代入不等式中，解出即可. 【详解】因为，故，所以，，所以，所以有，解不等式得，故的取值范围是 故答案为： 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，根据不等式恒成立，结合一次函数、二次函数的性质，再讨论、情况下参数a、b之间的数量关系，最后根据目标式并应用基本不等式求最大值，注意等号成立条件. 【详解】1、当时，题设不等式恒成立，只需恒成立， 时，由一次函数的性质易知：不可能恒成立； 时，不成立； ∴不合要求. 2、当时，由题设有或在上恒成立， 当时，在上不可能恒成立，不合要求； 当时，在上、以零点为界两侧单调性相反，且零点相同， ∴，即， ∴，当且仅当，时等号成立. 综上，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】先求出为真时参数范围：全称命题恒成立，分和讨论；然后处理，存在性命题分离参数，转化为大于等于函数在区间上的最小值，再根据仅有一真，分真假、假真两种情况联立求解，最后取并集即可. 【小问1详解】 因命题为真，可分两种情况： ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是； 【小问2详解】 由命题为真命题，可得， 令，函数在上单调递减，则，可得. 有且仅有一个真命题，分两种情况： ①真假：，解得； ②假真：，解得. 综上，实数的取值范围是或． 16. 已知集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法、集合交集的定义进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 若，则集合， 集合 所以； 【小问2详解】 由可得：， 当时，，此时，而， 此时满足，所以满足题意； 当时，，不等式解集为， 此时满足，所以符合题意； 当时，，此时，而， 若，则或，解得或， 因为，所以或； 综上所述：实数的取值范围为：． 17. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． （1）将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； （2）为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可. （2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时和的值. 【小问1详解】 根据题意，矩形海报纸面积为， 所以， 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以四个宣传栏的总面积， 其中所以. 即. 【小问2详解】 由（1）知， 则 ，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 即,时， 可使用宣传栏总面积最大为. 18. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）关于的不等式解集中恰有四个整数，求实数的取值范围； （3）记不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式的解法，对原不等式进行变形，再对参数进行分类讨论，求出不等式的解集即可； （2）根据（1）中的结论，再由解集中只有四个整数得参数范围； （3）根据不等式恒成立的性质，对原不等式进行化简，进行参变分离，进而构造函数，根据基本不等式，求出函数最大值即可. 【小问1详解】 不等式， 当，即时，解得； 当，即时，，，解得或； 当，即时，，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【小问2详解】 由（1）知，，且，则 【小问3详解】 依题意，，不等式， 而， 则，， 令，则， 当且仅当，即时取等号，因此当时，，则， 所以的取值范围为． 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性． （2）​ （3），，，，． 【解析】 【分析】（1）按“包容”性的定义检查关键元素对； （2）先由最大元素得到，再利用有序对与的条件分类确定非零元素； （3）由子集个数确定元素个数，设出正、负元素并利用极端元素产生的差值约束，分类得到两种等差结构，再由筛选公差． 【小问1详解】 在集合中取，则且，所以该集合不具有“包容”性． 对集合，若，则； 若或，则等于另一个元素． 对于不同的非零元素，的和为，的和为，而且，均满足定义，所以集合具有“包容”性． 【小问2详解】 令，则且． 取，由“包容”性知． 不妨设，则，其中且． 对有序对，有或，从而； 对有序对，有或，从而． 因此，故． 【小问3详解】 因为集合的子集有个，所以． 令，由得； 又因，取可得． 集合中已有正数，若没有负数，令为最小正元素； 由于且，有． 此时取，则且，两者均不属于，矛盾，所以中既有正数也有负数． 设，其中，，． 对，取与最大正元素，因不在，故，于是． 对，取有序对，其和小于，故，于是． 所以或． 当时，． 由，取有序对可得． 对有序对、及其交换次序，分别考察差值可得． 因此，． 又是中小于的正数，故，从而，并由得． 于是． 当时，． 对有序对、及其交换次序，因和均大于，可得相应的正、负差值都在中； 又对及其交换次序考察差值，可得， 并且． 于是，，且是小于的正元素，只能等于，故，再由得． 于是． 对集合和，若两元素之和仍在相应整数区间内则条件成立； 若和超出区间，则两元素同号，差值落在相应区间内，故这两集合均具有“包容”性． 正数倍数保持“包容”性． 在第一种结构中，要求或； 在第二种结构中，要求、或． 代入两种结构即得答案中的五个集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城中学2026-2027学年高一第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知命题，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某社区需要招募志愿者进行连续3天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天参加的人数最少为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 5. ，，，四人的年龄关系如下．，的年龄之和与，的年龄之和相同，，的年龄之和大于，的年龄之和，的年龄大于，的年龄之和，则，，，的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 6. ，，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为； B. 的最大值为； C. 的最大值为； D. 的最小值为. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、，若集合，则______． 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． （1）将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； （2）为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 18. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）关于的不等式解集中恰有四个整数，求实数的取值范围； （3）记不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $