第17章 因式分解 单元检测 2026-2027学年人教版八年级数学上册

2026~2027学年人教版八年级上册数学 第十七章 因式分解 单元检测卷 考查范围：第十七章 因式分解（因式分解的概念、提公因式法、平方差公式、完全平方公式、分组分解与综合应用） 满分 100 分　　考试时间 60 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B．(x+2)(x−2)=x2−4 C．a2−2ab+b2=(a−b)2 D．x2−4=(x−2)2 【答案】C． 【解析】 A 的右边仍含加号，是和不是积；B 是把积化成多项式，属于整式乘法；D 的左右两边不恒等（(x−2)2=x2−4x+4）； C 的左边是多项式，右边是两个整式的积，展开后与原式恒等，符合因式分解的定义． 2．多项式 −4a3b2+8a2b3−12a2b2 的公因式是（　　） A．4a2b2 B．−4a2b2 C．4a3b3 D．−4a3b3 【答案】A． 【解析】 系数：4、8、12 的最大公约数是 4； 字母：a 的最低次幂是 a2，b 的最低次幂是 b2； 所以公因式为 4a2b2． 3．分解因式 x2−4y2 的结果是（　　） A．(x+2y)(x−2y) B．(x−2y)2 C．(x+4y)(x−4y) D．(2y+x)(2y−x) 【答案】A． 【解析】 x2−4y2=x2−(2y)2=(x+2y)(x−2y)． D 中 (2y+x)(2y−x)=4y2−x2，与原式互为相反数，不符． 4．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．−x2+y2 B．a2−b2 C．−a2−b2 D．0.25m2−9n2 【答案】C． 【解析】 A 可化为 y2−x2=(y+x)(y−x)；B、D 都是“两平方作差”，可直接分解； C 中两项都是负的，即 −a2−b2=−(a2+b2)，而 a2+b2 在有理数范围内不能分解，故 C 不能用平方差公式分解． 5．若 x2+kx+36 是一个完全平方式，则 k 的值是（　　） A．12 B．−12 C．± 12 D．± 6 【答案】C． 【解析】 末项 36=62，中间项应为 ± 2·x·6=± 12x； 所以 k=± 12，选 C．（只写一个即为漏解） 6．分解因式 a3−a 的结果是（　　） A．a(a2−1) B．a(a+1)(a−1) C．(a2+1)(a−1) D．a(a−1)2 【答案】B． 【解析】 先提公因式：a3−a=a(a2−1)； 括号内再用平方差：=a(a+1)(a−1)； A 没有再分解，属于“分解不彻底”． 7．如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（a>b），把余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到的恒等式是（　　） A．(a−b)2=a2−2ab+b2 B．(a+b)2=a2+2ab+b2 C．a2−b2=(a+b)(a−b) D．a2+ab=a(a+b) 【答案】C． 【解析】 左图阴影面积 =a2−b2； 右图梯形的上底为 2b、下底为 2a、高为 a−b，面积 ； 两块阴影是同一张纸剪拼而成，面积相等，故 a2−b2=(a+b)(a−b)，选 C． 8．已知 m+n=4，mn=2，则 m2n+mn2 的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C． 【解析】 提公因式：m2n+mn2=mn(m+n)； 代入：=2×4=8． 9．若 △ABC 的三边 a、b、c 满足 a2−ac+bc−b2=0，则 △ABC 是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B． 【解析】 分组分解：a2−b2−ac+bc=(a+b)(a−b)−c(a−b)=(a−b)(a+b−c)； 所以 (a−b)(a+b−c)=0； 由三角形三边关系，a+b>c，即 a+b−c>0，只能 a−b=0，得 a=b； 所以 △ABC 是等腰三角形． 10．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 通项用平方差分解：； 把每个因式都写成积的形式后，前一个因式的分子与后一个因式的分母依次相消； 只剩第一个因式的 与最后一个因式的 ， 所以原式 ． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在题中的横线上） 11．分解因式：2x2−8=＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】2(x+2)(x−2)． 【解析】 提出 2 得 2(x2−4)； 括号内用平方差：2(x+2)(x−2)． 12．若 x+y=5，xy=6，则 x2y+xy2=＿＿＿＿＿＿． 【答案】30． 【解析】 x2y+xy2=xy(x+y)； 代入得 6×5=30． 13．分解因式：x4−16=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】(x2+4)(x+2)(x−2)． 【解析】 先用平方差：x4−16=(x2+4)(x2−4)； x2−4 继续分解，x2+4 在有理数范围内不能再分解； 所以结果为 (x2+4)(x+2)(x−2)． 14．若 x2−6x+k 是一个完全平方式，则 k=＿＿＿＿＿＿． 【答案】9． 【解析】 中间项 −6x=−2·x·3，两底为 x 和 3； 末项 k=32=9． 15．已知 a+b=3，ab=−4，则 a3b+2a2b2+ab3=＿＿＿＿＿＿． 【答案】−36． 【解析】 提公因式：原式 =ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2； 代入得 (−4)×32=−36． 16．若 m2−2m+n2+6n+10=0，则 m+n=＿＿＿＿＿＿． 【答案】−2． 【解析】 拆常数项 10=1+9，配方：(m2−2m+1)+(n2+6n+9)=0，即 (m−1)2+(n+3)2=0； 非负数之和为 0，则 m−1=0，n+3=0，得 m=1，n=−3； 所以 m+n=−2． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）把下列各式分解因式： (1) 6a2b−9ab2；　　(2) x3−9x； (3) a4−8a2+16；　　(4) m(a−b)+n(b−a)． 【答案】(1) 3ab(2a−3b)；(2) x(x+3)(x−3)；(3) (a+2)2(a−2)2；(4) (a−b)(m−n)． 【解析】 (1) 公因式为 3ab，原式 =3ab(2a−3b)； (2) 先提 x 得 x(x2−9)，再平方差得 x(x+3)(x−3)； (3) 原式 =(a2−4)2=[(a+2)(a−2)]2=(a+2)2(a−2)2； (4) 因为 b−a=−(a−b)，所以原式 =m(a−b)−n(a−b)=(a−b)(m−n)． 18．（6 分）先分解因式，再求值：已知 a+b=5，ab=3，求 a3b+ab3 的值． 【答案】57． 【解析】 提公因式：a3b+ab3=ab(a2+b2)； 把 a2+b2 化成含 a+b 与 ab 的式子：a2+b2=(a+b)2−2ab=25−6=19； 代入得原式 =3×19=57． 19．（8 分）若 x2+(k−2)x+9 是一个完全平方式，求 k 的值，并把这个完全平方式分解因式． 【答案】k=8 或 k=−4；k=8 时 (x+3)2，k=−4 时 (x−3)2． 【解析】 首项 x2=x2，末项 9=32，两底分别为 x 和 3； 中间项应为 ± 2·x·3=± 6x，所以 k−2=± 6； 解得 k=8 或 k=−4； 当 k=8 时，原式为 x2+6x+9=(x+3)2； 当 k=−4 时，原式为 x2−6x+9=(x−3)2． 20．（8 分）用简便方法计算： (1) 20272−2026×2028；　　(2) 32026−32025． 【答案】(1) 1；(2) 2×32025． 【解析】 (1) 把 2026、2028 写成 2027 与 1 的差、和：2026×2028=(2027−1)(2027+1)=20272−1； 所以原式 =20272−(20272−1)=1； (2) 提公因式 32025：原式 =32025×(3−1)=2×32025． 21．（10 分）已知 a、b、c 是 △ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0，判断 △ABC 的形状，并说明理由． 【答案】△ABC 是等边三角形． 【解析】 等式两边同乘 2，得 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca=0； 拆项分组配方：(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)=0； 即 (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0； 几个非负数之和为 0，则每个都为 0，所以 a−b=0，b−c=0，c−a=0； 即 a=b=c，所以 △ABC 是等边三角形． 22．（14 分）如图，将一张长方形纸板 ABCD 沿图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，有两块是边长都为 n 的小正方形，有五块是长为 m、宽为 n 的全等小长方形，且 m>n（以上长度单位：cm）． (1) 观察图形，长方形纸板的长 AB=＿＿＿cm，宽 BC=＿＿＿cm（用含 m、n 的式子表示）； (2) 利用图形的面积，可以将代数式 2m2+5mn+2n2 分解因式为＿＿＿＿＿＿＿＿； (3) 若每块小长方形的周长是 20 cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为 40 cm²，求这张长方形纸板 ABCD 的面积． 【答案】(1) 2m+n，m+2n；(2) (2m+n)(m+2n)；(3) 221 cm²． 【解析】 (1) 看图形上边：AB 由两块大正方形的边长 m 与一个小长方形的宽 n 依次拼接，故 AB=2m+n； 左边 AD 由 m、n、m 依次拼接，故 BC=AD=m+2n； (2) 九块纸片的面积之和为 2m2+2n2+5mn，它等于大长方形的面积 AB·BC=(2m+n)(m+2n)， 所以 2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n)； (3) 每块小长方形的周长为 20 cm，即 2(m+n)=20，得 m+n=10； 每块大正方形与每块小正方形的面积差为 40 cm²，即 m2−n2=40， 分解得 (m+n)(m−n)=40，代入 m+n=10 得 m−n=4； 联立解得 m=7，n=3； 所以 AB=2m+n=17，BC=m+2n=13，长方形纸板的面积 =17×13=221（cm²）． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年人教版八年级上册数学 第十七章 因式分解 单元检测卷 考查范围：第十七章 因式分解（因式分解的概念、提公因式法、平方差公式、完全平方公式、分组分解与综合应用） 满分 100 分　　考试时间 60 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B．(x+2)(x−2)=x2−4 C．a2−2ab+b2=(a−b)2 D．x2−4=(x−2)2 2．多项式 −4a3b2+8a2b3−12a2b2 的公因式是（　　） A．4a2b2 B．−4a2b2 C．4a3b3 D．−4a3b3 3．分解因式 x2−4y2 的结果是（　　） A．(x+2y)(x−2y) B．(x−2y)2 C．(x+4y)(x−4y) D．(2y+x)(2y−x) 4．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．−x2+y2 B．a2−b2 C．−a2−b2 D．0.25m2−9n2 5．若 x2+kx+36 是一个完全平方式，则 k 的值是（　　） A．12 B．−12 C．± 12 D．± 6 6．分解因式 a3−a 的结果是（　　） A．a(a2−1) B．a(a+1)(a−1) C．(a2+1)(a−1) D．a(a−1)2 7．如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（a>b），把余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到的恒等式是（　　） A．(a−b)2=a2−2ab+b2 B．(a+b)2=a2+2ab+b2 C．a2−b2=(a+b)(a−b) D．a2+ab=a(a+b) 8．已知 m+n=4，mn=2，则 m2n+mn2 的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 9．若 △ABC 的三边 a、b、c 满足 a2−ac+bc−b2=0，则 △ABC 是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在题中的横线上） 11．分解因式：2x2−8=＿＿＿＿＿＿＿＿． 12．若 x+y=5，xy=6，则 x2y+xy2=＿＿＿＿＿＿． 13．分解因式：x4−16=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 14．若 x2−6x+k 是一个完全平方式，则 k=＿＿＿＿＿＿． 15．已知 a+b=3，ab=−4，则 a3b+2a2b2+ab3=＿＿＿＿＿＿． 16．若 m2−2m+n2+6n+10=0，则 m+n=＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）把下列各式分解因式： (1) 6a2b−9ab2；　　(2) x3−9x； (3) a4−8a2+16；　　(4) m(a−b)+n(b−a)． 18．（6 分）先分解因式，再求值：已知 a+b=5，ab=3，求 a3b+ab3 的值． 19．（8 分）若 x2+(k−2)x+9 是一个完全平方式，求 k 的值，并把这个完全平方式分解因式． 20．（8 分）用简便方法计算： (1) 20272−2026×2028；　　(2) 32026−32025． 21．（10 分）已知 a、b、c 是 △ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0，判断 △ABC 的形状，并说明理由． 22．（14 分）如图，将一张长方形纸板 ABCD 沿图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，有两块是边长都为 n 的小正方形，有五块是长为 m、宽为 n 的全等小长方形，且 m>n（以上长度单位：cm）． (1) 观察图形，长方形纸板的长 AB=＿＿＿cm，宽 BC=＿＿＿cm（用含 m、n 的式子表示）； (2) 利用图形的面积，可以将代数式 2m2+5mn+2n2 分解因式为＿＿＿＿＿＿＿＿； (3) 若每块小长方形的周长是 20 cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为 40 cm²，求这张长方形纸板 ABCD 的面积． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $