第17章 因式分解 单元检测（提升卷） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．下列各式从左到右是因式分解的是 ( ) A ．a2 + 3a － 2 = a (a + 3)－ 2 B ．(a +b)(a－b) = a2－b2 C ． D ．x2 － 2x－ 3 = (x－ 3)(x +1) 2 ．在多项式①－m4－ n4 ，② a2 + b2 ，③－16x2 + y2 ，④9 (a－b )2 － 4 ，⑤－4a2 + b2 中，能用平方差公式分 解因式的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 3 ．因式分解6a (a－b)2 － 4(b－ a )3 时，应提取的公因式是 ( ) A ．6a B ．6a (a－b)3 C ．4a (a－ b) D ．2 (a－b)2 4 ．若M (2x－ 3y ) = 9y 2 － 4x 2 ，则M = ( ) A ．2x－ 3y B ．2x + 3y C ．－2x－ 3y D ．－2x + 3y 5 ．给出下面四个多项式：① x2 － xy ；② x2 － y2 ；③x2 + 2xy－ y2 ；④ x2 + y2 ，其中含因式(x－y ) 的多 项式有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 6 ．若多项式x2 + mx－ 12 因式分解的结果是(x + 2)(x + n) ，则m 、n 的值分别为 ( ) A ．m =－4，n =－6 B ．m =－8，n =－6 C ．m = 8，n = 6 D ．m = 4，n = 6 7 ．若k 为任意的整数，则代数式(k + 4)2 － (k－3)2 的值一定能 ( ) A ．被 7 整除 B ．被 3 整除 C ．被 4 整除 D ．被 5 整除 8 ．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b ，x－ y ，x + y ，a + b ， x2 － y2 ，a2 －b2 分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将(x2 － y2 )a2－ (x2 － y2 )b2 因式分 解，结果呈现的密码信息可能是 ( ) A ．我爱美 B ．惠济游 C ．我爱惠济 D ．美我惠济 9 ．已知△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，可判断表达式b2 － a2 － c2 － 2ac 的符号为 ( ) A ．正 B ．负 C ．零 D ．不能判断 10．有 4 张长为a ，宽为b(a >b) 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面 积为S1 ，空白部分的面积为S2 ．若S1 = S2 ，则a, b 满足 ( ) 第十七章 因式分解 提升卷（学生版） 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．a = 2b B ．a = 3b C ．a = 2.5b D ．2a = 3b 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．分解因式：－2x2 + 4x－ 2 = ． 12 ．若a－b = 2 ，则a2 － b2 － 4b 的值为 ． 13．在算式：①(992 －1)(952 －1) ，②(982 － 22 )(962 － 22 ) ，③(962 － 42 )(952 －1) 中，计算结果与 (972 － 32 )(972 －1)相同的是 （填写序号）． 14 ．已知m, n 均为正整数，且满足：mn－ 2m－ n－ 2025 = 0 ，则m + n = ． 15．一个正两位数 M，它的个位数字是 a，十位数字是a +1 ，把 M 十位上的数字与个位上的数字交 换位置得到新两位数 N，若M + N 的值能被 13 整除，则 a 的值是 ． 16 ．如图是一块矩形菜地ABCD ，AB = a 米，AD = b 米，面积为 S 平方米．现将边AB 增加 1 米． （1）如图 1 ，若a = 4 ，边AD 减少 1 米，得到的矩形面积不变，则 b 的值是 ． （2）如图 2 ，若边AD 增加 2 米，得到的矩形面积为2S 平方米，且 a ，b 为正整数，则S 的值 是 ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．因式分解： (1)2x (a－b ) + 3y (b－ a ) ： (2) (x2 + 16y2 )2－ 64x2y2 ． 第十七章 因式分解 提升卷（学生版） 第 2 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 18．通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公 因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行 因式分解的过程． 甲：x2 + xy－ 2x－ 2y = (x2 + xy)- (2x + 2y) （先分成两组） = x (x + y)－ 2(x + y) = (x + y) (x－ 2) ． 乙：a2－b2 + 2b-1 = a2 － (b2 －2b +1)（先分成两组） = a2 － (b－1)2 = (a + b－ 1)(a－ b + 1)． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：m2－ n2 + m + n ； (2)若a－b = 5, a－ c = 3 ，求式子ab－bc + ac－ a2 的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：m2 － 6m + 8 ． 19 ．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： x2－ 2ax－ 3a2 = x2－ 2ax + a2－ a2－ 3a2 = (x－ a)2 － 4a2 = (x－ a)2 － (2a)2 = (x－ a + 2a)(x－ a－ 2a) = (x + a)(x－ 3a) ， 像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) x2 + 2ax－15a2 ； (2) x4 + x2 +1． 第十七章 因式分解 提升卷（学生版） 第 3 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 20 ．如图 1，边长为 a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个平 行四边方形（如图 2 所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A ．a2 + ab = a (a +b) B ．a2 －b2 = (a－b)(a +b) C ．a2 － 2ab + b2 = (a－b )2 (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若4a2－b2 = 24 ，2a +b = 6 ，求2a－b 的值． ②计算：162－152 +142－132 +122－112 + ...+ 22－1． 21 ．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025 年 5 月 5 日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我 发现在因式分解中有一类形如二次三项式x2 + (p + q)x + pq的分解因式的方法 叫“十字相乘法” ，因式分解二次三项式的公式为 x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) ．例如：将二次三项式x2 + 7x +10 因式分解，这个 式子的二次项系数是 1 ，常数项10 = 2 × 5 ，一次项系数7 = 2 + 5 ，则 x2 + 7x +10 = (x + 2)(x + 5) ，如图所示． 任务： (1)因式分解：x2－ 9x +20= _________． (2)若二次三项式x2 + ax－10 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数 a 的所有可能的值． 第 4 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 22 ．发现：比任意一个奇数大5 的数与此奇数的平方差能被5 整除． 验证： （1）82 － 32 = ______ = ______ ×5 ． （2）设奇数为2n +1 ，试说明：比2n +1 大5 的数与2n +1 的平方差能被5 整除． 延伸： （3）请利用整数k 说明“比任意一个整数大5 的数与此整数的平方差被10 除的余数为5 ”． 23 ．阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解．具体步骤如下： 例如：分解因式2x2 + 3x + 4x + 6 = (2x2 + 4x )+ (3x + 6) = 2x (x + 2) + 3(x + 2) = (2x + 3)(x + 2) 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式3x2 + 5x + 6x +10 ． 【方法深化】 分解因式4x3－ 6x2 + 2x－ 3 【拓展创新】 已知多项式ax2 + bx + c ，通过“多项式分裂重组法”可分解为(6x + 5)(7x + 4) ，求a、b、c 的值． 24 ．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分 解产生的密码，方便记忆，方法如下： 第十七章 因式分解 提升卷（学生版） 第 5 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 第十七章 因式分解 提升卷（学生版） 对于多项式x4－ y4 ，分解因式的结果是(x2 + y2 )(x + y)(x－y)． 当x = 9 ，y = 9 时，x2 + y2 = 162 ，x + y = 18 ，x－ y = 0 ，将 162 ，18 ，0 这三个数值按从大到小的顺序 排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当x = 8 ，y = 6 时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式x2 (x－ 2y)+ xy(2x－y)分解因式，则当x = 23 ，y = 6 时，生成的密码是多 少？ (3)根据上述方法，若将多项式x2 － 2xy + y2－16 分解因式，则当x = 126 ，y =－7 时，生成的密码是多少？ 25 ．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项， 使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是 一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些 与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2 + 2x－ 3. 原式= (x2 + 2x +1)－4 = (x +1)2－ 4 = (x +1+ 2)(x +1－ 2) = (x + 3)(x－1). 例如：求代数式x2 + 4x + 6 的最小值． 原式= x2 + 4x + 4 + 2 = (x + 2)2 + 2. : (x + 2)2 ≥ 0 ，: 当x =－2 时，x2 + 4x + 6 有最小值，最小值是2. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2 － 4m－ 5 = ______求代数式x2 － 6x +12 的最小值为______； (2)若y =－x2 + 2x－ 3 ，当x = ______时，y 有最______值( 填“大”或“小”) ，这个值是______； (3)当 a ，b ，c 分别为△ABC 的三边长，且满足a2 + b2 + c2 － 6a－ 10b- 6c + 43 = 0 时，求 △ABC 的周长． 第 6 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．下列各式从左到右是因式分解的是 ( ) A ．a2 + 3a－ 2 = a (a + 3)－ 2 B ．(a +b)(a－b) = a2 －b2 C ． D ．x2－ 2x－ 3 = (x－ 3)(x +1) 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此 判断即可． 【详解】解：A. a2 + 3a－ 2 = a (a + 3)- 2 ，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B. (a +b)(a－b) = a2－b2 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 右边含分式，不是因式分解，不符合题意； D. x2－ 2x－ 3 = (x－ 3)(x +1) 是因式分解，符合题意； 故选：D． 2 ．在多项式①－m4 － n4 ，② a2 + b2 ，③-16x2 + y2 ，④9 (a－b )2－ 4 ，⑤-4a2 + b2 中，能用平方差公式分 解因式的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的 特征，即可求解． 【详解】解：①-m4－ n4 =－(m4 + n4 ) ，不能应用平方差公式分解； ② a2 + b2 ，是平方和，不能应用平方差分解； ③-16x2 + y2 ，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④9 (a－b )2 － 4 ，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤-4a2 + b2 ，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤ , 共 3 个． 故选：C． 3 ．因式分解6a (a－b)2 － 4(b- a )3 时，应提取的公因式是 ( ) A ．6a B ．6a (a－b)3 C ．4a (a－ b) D ．2 (a－b)2 微信公众号：瑾言教育资料库 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 7 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【分析】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的. 多项式6a (a－b )2 － 4(b- a )3 中，各项系数的最大公约数是 2 ，各项都含有的相同因式是(a－b) ，且因 式的指数最低是 2 ，所以得出结果. 【详解】解：多项式6a (a－b )2 － 4(b- a )3 分解因式， 6 ，4 的最大公约数是 2 ，各项都含有相同因式为(a－b) ， 故提出公因式2 (a－b )2 . 故选：D. 4 ．若M . (2x－ 3y ) = 9y 2－ 4x 2 ，则M = ( ) A ．2x－ 3y B ．2x + 3y C ．-2x－ 3y D ．-2x + 3y 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，整式除法，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先 理解题意得M = (9y2 － 4x2 ) ÷ (2x－ 3y) ，再结合平方差公式进行变形，最后运算除法，即可作答． 【详解】解： ∵ M . (2x－ 3y) = 9y2－ 4x2 ∴ M = (9y2 － 4x2 ) ÷ (2x－ 3y) =－ (2x－ 3y)(2x + 3y) ÷ (2x－ 3y) =－ (2x + 3y) =－2x－ 3y ， 故选：C． 5 ．给出下面四个多项式：① x2－ xy ；② x2－ y2 ；③x2 + 2xy－ y2 ；④ x2 + y2 ，其中含因式(x－y ) 的多 项式有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】B 【分析】本题考查提取公因式和公式法分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方 法是解题关键． 【详解】解：①x2－ xy = x (x－y ) ； ②x2－ y2 = (x + y)(x－y ) ； 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 8 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 ③x2 + 2xy－ y2 不能分解因式； ④x2 + y2 不能分解因式； 其中含有因式(x－y ) 的多项式为：①② , 共 2 个， 故选：B． 6 ．若多项式x2 + mx－ 12 因式分解的结果是(x + 2)(x + n) ，则m 、n 的值分别为 ( ) A ．m =－4，n =－6 B ．m =－8，n =－6 C ．m = 8，n = 6 D ．m = 4，n = 6 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系， 建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 x2 + mx－ 12 因式分解为 (x + 2)(x + n) ，展开右边得： (x + 2)(x + n) = x2 + (2 + n)x + 2n ， ∴ 2n =－12 ，2 + n = m ， 解得：n =－6 ，m =－4 ， 故选：A． 7 ．若k 为任意的整数，则代数式(k + 4)2－ (k- 3)2 的值一定能 ( ) A ．被 7 整除 B ．被 3 整除 C ．被 4 整除 D ．被 5 整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活应用平方差公式进行因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式进行因式分解，然后根据整除的定义即可解答． 【详解】解：(k + 4)2 － (k－ 3)2 = (k + 4) + (k－ 3) (k + 4)- (k－ 3) = (2k +1)×7 = 7 (2k +1) ， 所以代数式(k + 4)2 － (k- 3)2 的值一定能被 7 整除． 故选 A． 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 9 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 8 ．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b ，x－ y ，x + y ，a + b ， x2－ y2 ，a2 －b2 分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将(x2 － y2 )a2 － (x2 － y2 )b2 因式分 解，结果呈现的密码信息可能是 ( ) A ．我爱美 B ．惠济游 C ．我爱惠济 D ．美我惠济 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将多项式因式分解是解题的关键，注意因式分解要分解 到每一个因式都不能再分解为止． 将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答． 【详解】解： ∵ (x2－ y2 )a2 －(x2－ y2 )b2 = (x2 － y2 )(a2 －b2 ) = (x + y)(x－y )(a +b)(a－b)， 又∵x + y,x－ y,a + b,a－b，分别对应下列四个字我，爱，惠，济 ∴结果呈现的密码信息是：我爱惠济． 故选：C． 9 ．已知△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，可判断表达式b2 － a2 － c2 － 2ac 的符号为 ( ) A ．正 B ．负 C ．零 D ．不能判断 【答案】B 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式b2 － a2 － c2 － 2ac 因式分解，再根据三角形的三边 关系即可判断． 【详解】解：b2 － a2 － c2 － 2ac = b2 － (a2 + c2 + 2ac ) = b2 － (a + c )2 b－ (a + c ) b + (a + c ) ， 因为a、b、c 为三角形三边长，所以b- (a + c ) < 0 ，b + (a + c ) > 0 ， 所以原式小于零． 故选：B． 10．有 4 张长为a ，宽为b(a >b) 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面 积为S1 ，空白部分的面积为S2 ．若S1 = S2 ，则a, b 满足 ( ) 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 10 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．a = 2b B ．a = 3b C ．a = 2.5b D ．2a = 3b 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出S2 = a2 － ab+ 2b2 ，S1 = 3ab-b2 ，再根据S1 = S2 列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知 正方形面积= (a +b )2 = a2 + 2ab + b2 ， ∴ S1 = a2 + 2ab + b2 － (a2 － ab + 2b2 ) = ab-b2 ∵ S1 = S2 ∴ 3ab－b2 = a2－ ab +2b2 ， 即a2 － 4ab + 3b2 = 0 ， ∴(a－ 3b)(a－b) = 0 ∴a = 3b 或a = b （舍去） 故选：B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．分解因式：-2x2 + 4x－ 2 = ． 【答案】-2(x－1)2 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：-2x2 + 4x－ 2 =－2(x2－ 2x +1) =－2(x－1)2 故本题答案为：-2(x－1)2 ． 12 ．若a－b = 2 ，则a2 －b2 － 4b 的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把a2 －b2 － 4b 变形为(a +b )(a－b)－ 4b ，然后把a－b = 2 整体 代入计算即可． 【详解】解 ∶ ∵ a－b = 2 ， ∴ a2 －b2 － 4b = (a + b ) (a－b )－ 4b = 2 (a + b )－ 4b = 2a－ 2b = 2 (a－ b ) = 2 ×2 = 4 ， 故答案为 ∶4． 13．在算式：①(992 －1)(952－1) ，②(982－ 22 )(962 － 22 ) ，③(962 － 42 )(952 －1) 中，计算结果与(972 － 32 )(972－1) 相同的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①(992 －1)(952 －1) = (99 +1)(99－1)(95 +1)(95－1) = 100 × 98× 96 × 94 ； ②(982 － 22 )(962 － 22 ) = (98 + 2)(98－ 2)(96 + 2)(96－ 2) = 100 × 96 × 98× 94 ； ③(962 － 42 )(952 －12 ) = (96 + 4)(96－ 4)(95 +1)(95－1) = 100 × 92 × 96 × 94 ； (972 －32 )(972－12 ) = (97 +3)(97－3)(97 +1)(97－1) = 100 × 94 × 98 × 96 ， 所以计算结果与(972 －32 )(972 －12 ) 相同的是①② . 故答案为：①②. 14 ．已知m, n 均为正整数，且满足：mn－ 2m－ n－ 2025 = 0 ，则m + n = ． 【答案】2031 【分析】本题考查利用因式分解解方程，将方程通过因式分解转化为乘积形式，找到正整数解的可 能组合，进而求解m + n ． 将原方程转为为(m－1)(n－ 2) = 2027 ，然后结合条件得出n－ 2和m－1为正整数，进而根据质数的因数 只有 1 和它本身，得出n－ 2和m－1 的值，只能分别为 1 和 2027，分类讨论求出m, n 的值，求出m + n ． 【详解】解：: mn－ 2m－ n－ 2025 = 0 : mn－ 2m－ n + 2 = 2025 + 2 :(m－1)(n－ 2) = 2027 : 2027 是质数，m, n 均为正整数， 即2027 = 1 × 2027 ， : 当m－1 = 1 时，m = 2 ，此时n－ 2 = 2027 ，n = 2029 故m + n = 2 + 2029 = 2031， : 当m－1 = 2027 时，m = 2028 ，此时n－ 2 = 1 ，n = 3 故m + n = 2028 + 3 = 2031， 综上，m + n = 2031． 故答案为：2031． 15．一个正两位数 M，它的个位数字是 a，十位数字是a +1 ，把 M 十位上的数字与个位上的数字交 换位置得到新两位数 N，若M + N 的值能被 13 整除，则 a 的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根 据题意用a 表示出M 和N ，计算可得M + N = 11(2a + 1) ，根据M + N 的值能被 13 整除，得出2a +1是 13 的倍数，列出方程求出a 的值即可． 【详解】解：M = 10(a +1) + a = 11a +10 ，N = 10a +(a +1) = 11a +1， 则M + N = (11a +10) + (11a +1) = 22a +11 = 11(2a +1)． 因为M + N 的值能被 13 整除，且 11 与 13 互质， 所以2a +1是 13 的倍数， 所以2a +1 = 13 ， 解得：a = 6 ， 故答案为：6． 16 ．如图是一块矩形菜地ABCD ，AB = a 米，AD = b 米，面积为 S 平方米．现将边AB 增加 1 米． （1）如图 1 ，若a = 4 ，边AD 减少 1 米，得到的矩形面积不变，则 b 的值是 ． （2）如图 2 ，若边AD 增加 2 米，得到的矩形面积为2S 平方米，且 a ，b 为正整数，则S 的值 是 ． 【答案】 5 15或12 ． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立2ab = (a +1)(b+ 2) ，再结合因式分解与 a ，b 为正整数，计算即可． 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 13 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为s = ab(m2 ) ，变化后长方形的面积为 (a +1)(b－1)(m 2 )， ∵ a = 4 ，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变， ∴(4 +1)(b-1) = 4b ， 解得b = 5 ， 故答案为：5 （2）根据题意，得，起始长方形的面积为s = ab(m2 ) ，变化后长方形的面积为(a +1)(b+ 2)(m2 )， ∴ 2ab = (a +1)(b+ 2) ， ∴ ab- 2a－b+ 2 = 4 ， ∴a (b－ 2)- (b－ 2)= 4 ， ∴(b- 2)(a－1) = 4 ， ∵a, b 为正整数， ( 〔 b - 2 = 1 〔 b - 2 = 4 〔 b - 2 = 2 ) ( l a － 1 = 4 l a － 1 = 1 l a － 1 = 2 )∴ { 或{ 或{ ， ( ∴ { l b )〔a = 5 = 3 ( 或 { l b )〔a = 2 = 6 ( 或 { l b )〔a = 3 = 4 , ∴ S = 15 或12 ， 故答案为：15或12 ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．因式分解： (1)2x (a－b ) + 3y (b－ a ) (2) (x2 +16y2 )2 － 64x2 y2． 【答案】(1)(2x－ 3y)(a－b) (2)(x + 4y)2 (x－ 4y)2 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有： 提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）将b- a 转化为-(a－b) ，然后提出公因式(a－b) 即可； （2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解即可． 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 14 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：原式= 2x(a－b)－ 3y(a－b) = (2x－ 3y)(a－b) ． （2）解：原式=「L(x2 +16y2 )+ 8xy (x2 +16y2 )- 8xy = (x2 + 8xy +16y2 )(x2 － 8xy +16y2 ) = (x + 4y)2 (x－ 4y)2 ． 18．通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公 因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行 因式分解的过程． 甲：x2 + xy－ 2x－ 2y = (x2 + xy)- (2x + 2y) （先分成两组） = x (x + y)－ 2(x + y) = (x + y) (x－ 2) ． 乙：a2 －b2 + 2b-1 = a2 － (b2 － 2b +1)（先分成两组） = a2 － (b－1)2 = (a + b－ 1)(a－ b + 1)． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：m2 － n2 + m + n ； (2)若a－b = 5, a－ c = 3 ，求式子ab-bc + ac－ a2 的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：m2 － 6m + 8 ． 【答案】(1)(m + n)(m－ n +1) (2)-15 (3)(m－ 2)(m－ 4) 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解：m2 － n2 + m + n = (m2－ n2 )+ (m + n ) = (m + n)(m－ n) + (m + n) = (m + n)(m－ n +1) （2）解：ab-bc + ac－ a2 = (ab－bc ) + (ac－ a2 ) 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 15 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 = b (a－ c)+ a (c－ a) = (a－ c )(b- a ) 因为a－b = 5, a－ c = 3 ， 所以(a－ c)(b- a) = 5 × (-3) =－15 ； （3）解：m2 － 6m + 8 = (m2 － 6m + 9)-1 = (m－ 3)2 －1 = (m－ 3 +1)(m－ 3－1) = (m－ 2)(m－ 4) 19 ．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： x2－ 2ax－3a2 = x2 － 2ax + a2－ a2－3a2 = (x－ a)2 － 4a2 = (x－ a)2 － (2a)2 = (x－ a + 2a)(x－ a－ 2a) = (x + a)(x－3a) ， 像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) x2 + 2ax－15a2 ； (2) x4 + x2 +1． 【答案】(1)(x + 5a)(x－ 3a) (2)(x2 + x +1)(x2 － x +1) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为x2 + 2ax + a2－ a2 －15a2 ，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解 即可； （2）仿照题意，原式变形为(x2 )2 + 2x2 +1－ x2 ，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：x2 + 2ax－15a2 = x2 + 2ax + a2 － a2 －15a2 = (x + a)2－16a2 = (x + a)2－ (4a)2 = (x + a + 4a)(x + a－ 4a) = (x + 5a)(x－ 3a) （2）解：x4 + x2 +1 = (x2 )2 + 2x2 +1－ x2 = (x2 +1)2 － x2 = (x2 + x +1)(x2 － x +1) ． 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 16 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 20 ．如图 1，边长为 a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个平 行四边方形（如图 2 所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A ．a2 + ab = a (a +b) B ．a2－b2 = (a－b)(a +b) C ．a2 － 2ab + b2 = (a－b )2 (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若4a2－b2 = 24 ，2a +b = 6 ，求2a－b 的值． ②计算：162－152 +142－132 +122－112 + ...+ 22－1． 【答案】(1)B (2)①4；②136 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟知公式：a2 －b2 = (a +b )(a－b ) ，灵活运用是解题的 关键． （1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可； ②利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：图 1 中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2－b2 ，拼成的图 2 是底为a +b ，高为a－b 的平行四边形，因此面积为(a +b)(a－b)， : 有a2 －b2 = (a + b )(a－b ) ， 故答案为：B； （2）①∵4a2－b2 = 24 ，即(2a +b )(2a－b )= 24 ，而2a +b = 6 ， ∴ 2a－b = 24 ÷ 6 = 4 ， 故答案为：4； ②162－152 +142－132 +122－112 + ...+ 22－1 = (16 +15). (16－15 )+ (14 +13 ). (14－13 )+ . . . + (2 +1 ). －1 ) = 16 +15 +14 +13 +12 +11+ ... + 2 +1 = 136 ． 21 ．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 17 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 2025 年 5 月 5 日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我 发现在因式分解中有一类形如二次三项式x2 + (p + q)x + pq的分解因式的方法 叫“十字相乘法” ，因式分解二次三项式的公式为 x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) ．例如：将二次三项式x2 + 7x +10 因式分解，这个 式子的二次项系数是 1 ，常数项10 = 2 × 5 ，一次项系数7 = 2 + 5 ，则 x2 + 7x +10 = (x + 2)(x + 5) ，如图所示． 任务： (1)因式分解：x2－ 9x +20= _________． (2)若二次三项式x2 + ax－10 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数 a 的所有可能的值． 【答案】(1)(x－ 4)(x－ 5) (2) ±3 ， ±9 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：(-4) + (-5) =－9 ，则常数项为(-4)× (-5) = 20 ，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为-10 ，相加为 a 的值即可． 【详解】（1）解：一次项为(-4) + (-5) =－9 ，常数项为(-4)× (-5) = 20 ， 则x2－ 9x +20 = (x－4)(x－5)； （2）解：若二次三项式x2 + ax－10 可以分解成两个一次因式乘积的形式， :-10 =－1´10,－10 = 1´(-10),－10 = 2´(-5),－10 =－2´5 则整数 a 的所有可能的值：-1+ 10= 9, 1+(-10)=－9, 2 +(-5)=－3,－2 + 5 = 3 ， 即整数 a 的所有可能的值： 9， 3 ． 22 ．发现：比任意一个奇数大5 的数与此奇数的平方差能被5 整除． 验证： （1）82 － 32 = ______ = ______ ×5 ． （2）设奇数为2n +1 ，试说明：比2n +1 大5 的数与2n +1 的平方差能被5 整除． 延伸： 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 18 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）请利用整数k 说明“比任意一个整数大5 的数与此整数的平方差被10 除的余数为5 ”． 【答案】（1）(8 + 3)(8－ 3) ，11；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式因式分解的应用，数字变化的规律，熟练掌握平方差公式是解 题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）设任意的整数为k ，则比k 大5 的数为k+ 5 ，利用平方差公式因式分解即可； （3）利用平方差公式和提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：（1）82－ 32 = (8 + 3)(8－ 3) = 11× 5， 故答案为：(8 + 3)(8－ 3) ；11； （2）(2n + 6)2－ (2n +1)2 = (2n + 6 + 2n +1)(2n + 6－ 2n－1) = 5 (4n + 7)， ∵n 为整数， ∴ 5 (4n + 7) 是5 的倍数， 即比2n +1 大5 的数与2n +1 的平方差能被5 整除； （3）设任意的整数为k ，则比k 大5 的数为k+ 5 ， ∵(k + 5)2 －k2 = (k + 5 + k )(k + 5－k ) = 10k + 25 = 10k + 20 +5 = 10(k + 2) + 5 ， 又∵k 为整数， ∴ 10(k+ 2) + 5被10 除余5 ， 即比任意一个整数大5 的数与此整数的平方差被10 除的余数为5 ． 23 ．阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解．具体步骤如下： 例如：分解因式2x2 + 3x + 4x + 6 = (2x2 + 4x )+ (3x + 6) = 2x (x + 2) + 3(x + 2) 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 19 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 = (2x + 3)(x + 2) 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式3x2 + 5x + 6x +10 ． 【方法深化】 分解因式4x3－ 6x2 + 2x－ 3 【拓展创新】 已知多项式ax2 + bx + c ，通过“多项式分裂重组法”可分解为(6x + 5)(7x + 4) ，求a、b、c 的值． 【答案】[基础应用](x + 2)(3x + 5) ；[ 方法深化] (2x－ 3) (2x2 +1) ；[ 拓展创新] a = 42 ，b = 59 ，c = 20 【分析】本题考查了因式分解，多项式分裂重组法的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． [ 基础应用] 仿照示例，把3x2 + 6x 和5x +10 各分成一组，提取公因式，即可进行因式分解； [ 方法深化] 仿照示例，把4x3 － 6x2 和2x－3 各分成一组，提取公因式，即可进行因式分解； [ 拓展创新] 把(6x + 5)(7x + 4) 展开后，与ax2 + bx + c 对照，即可得到a 、b 、c 的值． 【详解】解：[ 基础应用] 3x2 + 5x + 6x +10 = (3x2 + 6x) + (5x +10) = 3x (x + 2) + 5(x + 2) = (x + 2)(3x + 5)； [ 方法深化] 4x3－ 6x2 + 2x－ 3 = (4x3 － 6x2 ) + (2x－ 3) = 2x2 (2x－ 3)+ (2x－ 3 ) = (2x－ 3) (2x 2 + 1) ； [ 拓展创新] :(6x + 5)(7x + 4) = 42x2 + 24x + 35x + 20 = 42x2 + 59x + 20 = ax2 + bx + c , :a = 42 ，b = 59 ，c = 20 ． 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 20 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 24 ．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分 解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式x4 y4 ，分解因式的结果是(x2 + y2 )(x + y)(x y)． 当x = 9 ，y = 9 时，x2 + y2 = 162 ，x + y = 18 ，x y = 0 ，将 162 ，18 ，0 这三个数值按从大到小的顺序 排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当x = 8 ，y = 6 时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式x2 (x 2y)+ xy(2x y)分解因式，则当x = 23 ，y = 6 时，生成的密码是多 少？ (3)根据上述方法，若将多项式x2 2xy + y2 16 分解因式，则当x = 126 ，y = 7 时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)100142 (2)292317 (3)137129 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则和合并同类 项法则． （1）先求出当x = 8 ，y = 6 时，x2 + y2 ，x + y 和x y 的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密 码； （2）先根据单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把化简结果分解因式，并求出当 x = 23 ，y = 6 时各个式子的值，从而求出密码即可； （3）先将多项式x2 2xy + y2 16 分解因式，再代入x = 126 ，y = 7 ，即可解答． 【详解】（1）解： : 当x = 8 ，y = 6 时， 2 2 x + y = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 ， x + y = 8 + 6 = 14 ，x y = 8 6 = 2 ， : 生成的密码是：100142； （2）解：x2 (x 2y) + xy(2x y ) 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 21 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 = x3 － 2x2 y + 2x2 y－ xy2， 3 2 = x － xy ， = x(x2 － y2 ) ， = x(x－ y)(x + y) ， 当x = 23 ，y = 6 时， x－ y = 23- 6 = 17 ，x + y = 23+ 6 = 29 ， ∴生成的密码是 292317． （3）解：x2 － 2xy + y2 －16 ， = (x－ y )2 －16 = (x－y + 4)(x－y－ 4)； 当x = 126，y =－7 时， x－ y + 4 = 137 ，x－ y－ 4 = 129 ∴生成的密码是 137129． 25 ．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项， 使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是 一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些 与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2 + 2x－ 3. 原式= (x2 + 2x +1)- 4 = (x +1)2－ 4 = (x +1+ 2)(x +1- 2) = (x + 3)(x－1). 例如：求代数式x2 + 4x + 6 的最小值． 原式= x2 + 4x + 4 + 2 = (x + 2)2 + 2. : (x + 2)2 ≥ 0 ，: 当x =－2 时，x2 + 4x + 6 有最小值，最小值是2. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2 － 4m－ 5 = ______求代数式x2 － 6x +12 的最小值为______； (2)若y =－x2 + 2x－ 3 ，当x = ______时，y 有最______值( 填“大”或“小”) ，这个值是______； (3)当 a ，b ，c 分别为△ABC 的三边长，且满足a2 + b2 + c2 － 6a－ 10b- 6c + 43 = 0 时，求 △ABC 的周长． 【答案】(1)(m +1) (m－ 5) ；3 (2)1；大；-2 (3)11 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用因式分解进 行解答． 第十七章 因式分解 提升卷（解析版） 第 22 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和， 据此可得该式子有最小值． （2）将y 进行因式分解，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行因式分解，得到三个完全平方公式的和为 0 ，根据完全平方公式的非负性， 求出三条边，然后求出周长． 【详解】（1）解：m2 － 4m－ 5 = m2－ 4m + 4－ 4－ 5 = m2 － 4m + 4－ 9 = (m－ 2)2－ 32 = (m－ 2 + 3)(m－ 2－ 3) = (m +1)(m－ 5) ； x2 － 6x +12 = x2 － 6x + 9 + 3 = (x－ 3)2 + 3 ， : (x－ 3)2 ≥ 0 ， : 当x =3 时，x2 － 6x +12 有最小值，最小值是3 ， 故答案为：(m +1)(m－ 5) ；3 ； （2）y =－x2 + 2x－ 3 =－x2 + 2x－ 1- 2 =－(x－ 1)2 － 2 ， : (x－1)2 ≥ 0 ， :－ (x－1)2 ≤ 0 ， － (x－1)2 － 2 ≤－2 ， : 当x = 1 时，y =－x2 + 2x－ 3 有最大值，最大值是-2 ， 故答案为：1 ；大；-2 ． （3）a2 + b2 + c2 － 6a－ 10b－ 6c + 43 = 0 ， 即a2 － 6a + 9 +b2 －10b + 25+ c2 － 6c + 9 = 0 ， 即(a－ 3)2 + (b－ 5)2 + (c－ 3)2 = 0 ，所以a－ 3 = 0 ，b－ 5 = 0 ，c－ 3 = 0 ， 所以a = 3 ，b = 5 ，c = 3， ∴ a + b + c = 3+ 5+ 3 = 11 ， 答： △ABC 的周长是11． 第 24 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $