2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷 （南京卷）

【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （南京专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教制新教材九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别为（     ） A．3，1 B．，1 C．， D．3， 2．若为一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A．0 B．4 C． D．8 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（     ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B． C． D． 6．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 8．反比例函数的图象经过点，则________． 9．反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 10．设分别是一元二次方程的两个根，且，则________． 11．冰雪旅游季，某冰雪乐园2025年12月接待游客3万人次，2026年2月接待游客4.32万人次．设接待游客人数的月平均增长率为，则可列出的方程为__________． 12．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 13．在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 14．如图，是的直径，是的弦，，则___________． 15．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．下列说法正确的有__________． ①方程是“勾系一元二次方程”； ②关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； ③若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则； ④若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，则． 16．如图，在中，，，以点为圆心，为半径作，过上的动点作的切线，，过劣弧上一点作的另一条切线分别交，于点，，则周长的最小值为_________________ ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。 17．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 18．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究，某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，经过两年采用新技术种植后，每亩产量比两年前多0.5吨，求每亩产量的年平均增长率．（结果精确到） 19．已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 20．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 21．如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 22．如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段与的长，并直接写出的取值范围； (2)是否存在某一时刻，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1)的“”点是________； (2)若关于的一元二次方程：的“”点为，求，的值； (3)关于的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 26．在平面直角坐标系中，对于点，，当满足时，则称点P，Q互为“对消点”．如，互为“对消点”． (1)已知函数图象上的点A，B互为“对消点”． ①若A的横坐标为2，求B的坐标； ②记A，B的横坐标分别为a，b，求a，b的数量关系． (2)已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求t的值． 27．【特例感知】 (1)如图1，在中，，为边上的中线，，，则的长为____ 【一般推理】 (2)问题提出：如图2，中，为边上的中线，，，，求的值．（用，，的代数式表示） 小林尝试解答此问题，部分过程如下： 解：过图2中的点C作⊥于点，在中，， 同理可得：，，而，设，，则…… 请你完成小林剩余的解答过程： 【尝试应用】请用一般推理中的结论，解答下面问题． (3)中，为边上的中线，，，，求的长为_____． (4)如图，的半径为，，点和点在上，，点、分别为、的中点，求的长． (5)已知中，，，直接写出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （南京专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教制新教材九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别为（     ） A．3，1 B．，1 C．， D．3， 【答案】D 【详解】解：， 移项得， ∴当二次项系数为2时，一次项系数为3，常数项为． 2．若为一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A．0 B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】解：把代入，得， 解得． 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据形如（）的函数是反比例函数可知： A，B，D都不符合的形式，所以不是反比例函数．C中，符合反比例函数定义． 4．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（     ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义可得k的值，再由函数图象位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵函数为反比例函数， ∴，且， 解得：或， 又∵函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴． 5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：三角形外心是其三边垂直平分线的交点，故由作图方法可知只有C选项符合题意． 6．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 【答案】 【分析】已知圆锥底面半径和母线长，直接代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长， 将，代入公式，得， 该圆锥的侧面积为． 8．反比例函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， ， 解得． 9．反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【详解】解：由反比例函数可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大；即当时， y随x的增大而增大． 10．设分别是一元二次方程的两个根，且，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知的两根和求出的值，再计算两根的乘积． 【详解】解：对于一元二次方程 ，由根与系数的关系得， ∵ ， ∴ ， 解得， 再由根与系数的关系得， 将代入得． 11．冰雪旅游季，某冰雪乐园2025年12月接待游客3万人次，2026年2月接待游客4.32万人次．设接待游客人数的月平均增长率为，则可列出的方程为__________． 【答案】 【详解】解：从2025年12月到2026年2月经过两个月，由题意，可列方程为. 12．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 13．在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据解析式可判断函数图象所在的象限，以及在每个象限内的增减性，结合三个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵，位于第二象限，， ∴； 又∵位于第四象限， ∴， ∴． 14．如图，是的直径，是的弦，，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．下列说法正确的有__________． ①方程是“勾系一元二次方程”； ②关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； ③若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则； ④若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，则． 【答案】①②④ 【分析】①根据“勾系一元二次方程”的形式，对比所给方程，得出对应系数关系，求出，，的值，验证是否满足勾股定理即可判断； ②计算根的判别式，对比所给方程，得出对应A、B、C的值，根据，代入化简，求出与0的大小关系即可判定； ③将代入方程得到关于，，的方程，结合三角形边长均为正数的特点，得到，对比可判定结论； ④将代入方程中得到关于，，的方程，再根据四边形的周长得到，两个方程联立，消掉，，即可求出c． 【详解】解：①根据定义，“勾系一元二次方程”的形式为， 对比方程，可得对应系数关系：，，， 解得． 在中，根据勾股定理，需满足， 将，，代入验证：， 成立，所以该方程符合定义． 故说法①正确． ②判断一元二次方程是否有实数根，需要计算根的判别式， 在此方程中，系数分别为，，， 代入判别式公式： 因为，，是直角三角形的三边，满足， 将替换为： 因为任何实数的平方都是非负数，即， 所以， 当时，方程必有实数根． 故说法②正确． ③因为是方程的一个根，将代入方程：， 因为，，均为三角形边长，即，，，所以，这与方程矛盾， 因此，不可能是该方程的根． 故说法③错误． ④因为是方程的一个根，将代入方程：，即． 四边形的周长， 由图可知：，，，， 所以周长 即 将代入周长方程中： 解得． 故说法④正确． 16．如图，在中，，，以点为圆心，为半径作，过上的动点作的切线，，过劣弧上一点作的另一条切线分别交，于点，，则周长的最小值为_________________ ． 【答案】 【分析】先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，如图，则， ∵的半径不变，， ∴长随着的变化而变化，即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， 在中，，， 由勾股定理得：，点是的中点， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴的周长最小为． 三、解答题：本题共11小题，共88分。 17．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先把系数化为1得到，再根据平方根的意义直接开平方求出x的值； （2）把看成整体，直接开平方得到两个一元一次方程，分别解方程求出x． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 或， 或． 18．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究，某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，经过两年采用新技术种植后，每亩产量比两年前多0.5吨，求每亩产量的年平均增长率．（结果精确到） 【答案】 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每亩产量的年平均增长率约为． 19．已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在该反比例函数的图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 20．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 21．如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 【答案】(1)如图，点和点即为所求， (2) 【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 22．如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，是圆的直径， ， ； (2)6 【分析】（1）利用垂径定理可得，即可解答； （2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段与的长，并直接写出的取值范围； (2)是否存在某一时刻，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)存在， 【分析】（1）根据题意列代数式，结合当点Q运动到点C时，两点停止运动，即可得出t的取值范围； （2）根据题意得出，，根据面积公式列方程求解即可； （3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，． ∵ ，即， ∴． （2）解：存在，，理由如下， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ． 由 得， 解得或． ∵， ∴舍去，． （3）解：矩形的面积为． ∵五边形的面积为， 则 ，即 ， 解得． ∵，而 不在范围内，舍去； 在范围内． ∴存在，． 25．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1)的“”点是________； (2)若关于的一元二次方程：的“”点为，求，的值； (3)关于的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）求出方程的根，根据新定义即可得出结果； （2）根据根与系数的关系进行求解即可； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 26．在平面直角坐标系中，对于点，，当满足时，则称点P，Q互为“对消点”．如，互为“对消点”． (1)已知函数图象上的点A，B互为“对消点”． ①若A的横坐标为2，求B的坐标； ②记A，B的横坐标分别为a，b，求a，b的数量关系． (2)已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求t的值． 【答案】(1)①或；②或 (2) 【分析】（1）①设，求出点A的纵坐标为3，然后根据“对消点”的定义得到，进而求解即可； ②根据“对消点”的定义得到，然后化简求解即可； （2）首先求出和的中点坐标，然后得到四边形为平行四边形，设A的“对消点”为，得到，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，设， ∵点A在函数图象上，且点A的横坐标为2， ∴代入得， ∴点A的纵坐标为3， ∵点A，B为函数图象上互为“对消点”． ∴， ∴，， ∴B的坐标为或； ②由题意，∵点A，B为函数图象上互为“对消点”，且A，B的横坐标分别为a，b， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：如图， 由题意，∵，，，， ∴的中点为，的中点为． ∴与互相平分． ∴四边形为平行四边形，且中心为． 设A的“对消点”为， ∴，即点P所在的直线为． 又∵A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分， ∴该直线过平行四边形的中心， ∴， ∴． 27．【特例感知】 (1)如图1，在中，，为边上的中线，，，则的长为____ 【一般推理】 (2)问题提出：如图2，中，为边上的中线，，，，求的值．（用，，的代数式表示） 小林尝试解答此问题，部分过程如下： 解：过图2中的点C作⊥于点，在中，， 同理可得：，，而，设，，则…… 请你完成小林剩余的解答过程： 【尝试应用】请用一般推理中的结论，解答下面问题． (3)中，为边上的中线，，，，求的长为_____． (4)如图，的半径为，，点和点在上，，点、分别为、的中点，求的长． (5)已知中，，，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)过程补全如下： 由图可得，，． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； (3) (4) (5) 【分析】（1）在中，由勾股定理得斜边，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得； （2）将、用勾股定理展开相加，消去一次项后得，整理得中线平方的值为； （3）将，，代入公式，计算即可； （4）由圆的半径得，等腰中；中，故．是的中线，代入公式，结合，计算即可； （5）由公式变形得，故求最大值即求中线的最大值．为定角，为定弦，点A在对应外接圆上；当过圆心时取最大值，代入得最大值为． 【详解】（1）解：在中， ， ∵为边上的中线， ∴； （2）略 （3）解：由（2）可得，， ∵，，，即，，， ∴ ， ∴； （4）解：连接、、、，如图： ，P为中点， ， 在中， 半径为8， ， ∴， ，P为中点， ， ∴， 为中点， 是中边上的中线， 由（2）可得，， 又∵， ∴ ， ∴； （5）解：取的中点D，连接，如图： ∴， 由（2）可得， ， ， ∴， ∵要使最大， ∴需使最大， ，， 点A在以为弦、所对圆周角为的外接圆优弧上． 设外接圆圆心为O，连接、、，如图： ， ，D为中点， ， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， 当A、O、D三点共线，且O在A、D之间时，取得最大值为， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $