2026-2027学年江苏省扬州市九年级上学期期中数学自编模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，其20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 当时，的二次项系数为0，不是一元二次方程.， ∴ A错误； ∵ 是一元二次方程， ∴ B正确； ∵ 选项C不是整式方程，不是一元二次方程， ∴ C错误； ∵ 化简，得，是一元一次方程， ∴ D错误． 2．（26-27九年级上·陕西·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移常数项至等号右侧后，等式两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·广东·期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设彩纸的宽度为，根据彩纸的面积恰好与原画面面积相等列方程即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【答案】C 【分析】根据雷达图读取五项能力的具体得分，结合给定的权重比例，利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解： 分， ∴他的综合得分为8分． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 8．（26-27九年级上·全国·期中）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由原方程的已知根推导出的一个根，结合，利用根与系数的关系求另一根． 【详解】解：∵ 一元二次方程有一个根为， ∴ ， 两边同乘得：，即 ， ∴ 是方程的一个根； 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（26-27九年级上·甘肃·期中）关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一根为，先将根代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为排除不符合的解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得或， ∵， ∴． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 11．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】需满足两个条件：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是有实数根要求根的判别式大于等于0，分别求解后取交集即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵原方程有实数根， ∴， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 12．（2022·江苏盐城·模拟预测）数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是_____． 【答案】3 【详解】解：数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是3， 故答案为：3． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图， P为外一点， 、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了切线长定理，灵活运用切线长定理和等线段代换是解决问题的关键． 根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵、分别切于点A、B，， ∴， ∵切于点E，分别交、于点C、D， ∴，， ∴三角形的周长 ， 故答案为：8． 14．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 【答案】5 【分析】根据题意得到，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴y关于x的函数解析式为， ∵，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数y的最小值为． 15．（2026·吉林松原·一模）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是______． 【答案】5 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为，圆心角为的扇形弧长是：， 设圆锥的底面半径是，则， 解得：． 故答案为：5． 16．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）数据2，2，3，3，5的离差平方和是________． 【答案】6 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方之和，即可得到结果． 【详解】解：这组数据为，，，，， 这组数据的平均数为， 离差平方和为：． 17．（2026·山东泰安·一模）如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，想办法求出，，,…，探究规律， 利用规律解决问题即可得出结论. 【详解】解：联立， 解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交轴于， 同理可证为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， 同理可得， 则， 即， ∴. 18．（改编题）在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且．则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】过点作轴，轴，则四边形是矩形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，即可得到点C的坐标. 【详解】解：过点作轴，轴， 则四边形是矩形， 易知是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 同理求得轴负半轴上的点坐标为． 故答案为：或 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解求解一元二次方程即可得出答案． （2）用公式法求解一元二次方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 提取公因式：， ∴或， 解得，． （2）解：， ∴判别式， ∴， ∴，． 20．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知，是x的正比例函数，是x的反比例函数．且当时，；当时，．求： (1)y关于x的函数关系式； (2)当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设，，表示出，然后利用待定系数法求解； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∴ 根据题意得， 解得 ∴； （2）解：当时，． 21．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求m的值． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴. ∵， ∴，即， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)的值为或． 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系，将已知等式变形为含两根和与两根积的形式，代入求解． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， 且， ∴ 代入得：， 整理得：， 解得：， 由（1）可知，两个值均满足方程有两个不相等的实数根 综上所述，的值为或． 22．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． (1)求，的值； (2)在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； (3)关于的不等式的解集为________． 【答案】(1) (2)点的坐标是或 (3)或 【分析】（1）把代入和求出即可； （2）设此直线交轴于点C，求得，，再根据面积求出点P坐标； （3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方时对应的x的值． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于， ∴把代入和，得： ，， 解得：； （2）解：由（1）知，直线表达式为，设此直线交轴于点C，如下图： ∴， 解得：， ∴， ∵直线，当时，， 解得：， ， ∵在轴上找一点，使得的面积等于12， ∴， ， ， ∴点的坐标是或； （3）解：由图可知，双曲线的图象在一次函数的图象的上方时满足不等式， ∴x的取值范围为或． 23．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过，，三点； (2)仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)分别作线段，的垂直平分线 两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆 ∴即为所求 (2)作直径，，连接、、 矩形即为所求 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可； （2）作直径，，连接、、，则矩形即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 24．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 (1)填空：__________，__________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； (3)该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 【答案】(1)6.5，7 (2)5.5 (3)估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据下四分位数的定义求解即可； （3）八年级参加竞赛成绩的人数是人，求出所占百分比，即可求解． 【详解】（1）解：， 八年级7出现次数最多，； （2）解：方法一：八年级成绩箱线图的下四分位数是前半部分数据的中位数，即7，7，8，9，9，9的中位数，； 方法二：∵， ∴八年级成绩箱线图的下四分位数是从小到大排列后的第3和第4个数的平均数，即；； （3）解：（人）， 估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 25．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400 件．批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为60元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于 30 元． 完成以下任务： (1)若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元? (2)设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为_________元，补进灯管的总价为_________元；(用含x的代数式表示) (3)在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花 10000元，求补进镇流器多少件? 【答案】(1)10700 (2) (3)100 【分析】（1）先用镇流器的实际售价乘以件数可得补进镇流器的总价，再求出补进灯管的总价，然后相加可得答案； （2）用镇流器的计划单价减去下降的钱数可得实际单价，再用补进灯管的单价乘以销售量表示出总价； （3）结合（2），用补进镇流器的总价加上补进灯管的总价等于10000列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：（元），（元） 则（元）， 所以学校补进镇流器和灯管共10700元； （2）解：（元），（元）， 所以补进镇流器的单价为元，补进灯管的总价为元； （3）解：根据题意，得， 解得（舍去）， 所以补进镇流器100件． 26．（26-27九年级上·全国·期末）如图，，是的两条直径，过点作交于点，交于点，在的延长线上取一点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如答图，连接． 是的直径， ， ． ， ． ， ， 即， ． 是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，通过角的数量关系证明即可； （2）阴影面积可看作的面积与扇形的面积的差，利用圆周角定理和垂径定理等得到，利用勾股定理列方程求出半径，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ，是的半径， ， ． 设，则． 在中，， ， 解得（负值已舍去）， 即， ． 27．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出与之间的函数关系式． (2)当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为______________． (3)【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 【答案】(1) (2) (3)①； ②当时，， ∴人很难闭上眼睛走到草坪对面. 【分析】（1）由题意设反比例函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可得到答案； （3）①设，可得，进一步结合勾股定理求解即可；②把代入反比例函数解析式，进一步比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意设反比例函数解析式为， 由表格可知，反比例函数过点， ∴， ∴，经检验符合题意． （2）解：当时，． （3）解：①∵在矩形中，，， ∴， ∵，设， ∴， ∴， 解得：， ∴弧所在圆的半径为； ②略 28．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）解答： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，则的外接圆半径的值为______； 【问题探究】 (2)如图2，的半径为，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值； 【问题解决】 (3)①如图3所示，，，是某新区的三条规划路，请在图3中用无刻度的直尺和圆规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； ②在（3）①的条件下，已知，，，，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点，，也就是，分别在、线段和上选取点，，．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路，和，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段，，之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)①如图，圆心即为所求； ②的最小值为． 【分析】（1）由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，根据圆周角定理，可得，结合，可得是等边三角形，从而可得的外接圆半径的值； （2）连接并延长，交于，连接，显然，即为的最大值，根据垂径定理求得的长，即可求得的最大值； （3）①作线段的垂直平分线；在上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所在圆的圆心；②分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，，由对称性可知，根据题意正确画出图形，得到点的位置，根据等边三角形的判定和性质，结合勾股定理进行求解，即可得的最小值． 【详解】（1）解：如图，设的外接圆的圆心为，连接， ，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的外接圆半径的值为． （2）解：如图，连接并延长交于，连接，，， 显然，， ∵，是的中点，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴的最大值为．    （3）解：①略； ② 如图，假设点即为所求点，分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由对称性可知， 当且仅当、、、在一条直线上时，， ∴即为最短距离， 如图，作所在圆的圆心连接，与交于，点即为使得最短的点， 取中点记为，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由对称可知，，，，， ∴，， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，其20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·陕西·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·广东·期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（26-27九年级上·全国·期中）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（26-27九年级上·甘肃·期中）关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 11．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 12．（2022·江苏盐城·模拟预测）数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是_____． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图， P为外一点， 、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为______． 14．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 15．（2026·吉林松原·一模）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是______． 16．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）数据2，2，3，3，5的离差平方和是________． 17．（2026·山东泰安·一模）如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 18．（改编题）在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且．则点C的坐标为 ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）解方程： (1)． (2) 20．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知，是x的正比例函数，是x的反比例函数．且当时，；当时，．求： (1)y关于x的函数关系式； (2)当时，y的值． 21．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求m的值． 22．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． (1)求，的值； (2)在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； (3)关于的不等式的解集为________． 23．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过，，三点； (2)仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 24．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 (1)填空：__________，__________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； (3)该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 25．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400 件．批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为60元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于 30 元． 完成以下任务： (1)若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元? (2)设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为_________元，补进灯管的总价为_________元；(用含x的代数式表示) (3)在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花 10000元，求补进镇流器多少件? 26．（26-27九年级上·全国·期末）如图，，是的两条直径，过点作交于点，交于点，在的延长线上取一点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 27．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出与之间的函数关系式． (2)当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为______________． (3)【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 28．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）解答： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，则的外接圆半径的值为______； 【问题探究】 (2)如图2，的半径为，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值； 【问题解决】 (3)①如图3所示，，，是某新区的三条规划路，请在图3中用无刻度的直尺和圆规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； ②在（3）①的条件下，已知，，，，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点，，也就是，分别在、线段和上选取点，，．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路，和，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段，，之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $