2.3 直线的交点坐标与距离公式（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的交点坐标与距离公式”核心内容，系统梳理联立直线方程求交点及判断位置关系，两点间、点到直线、平行线间距离公式，直线系方程等知识点，构建从代数求解到几何度量再到综合应用（对称、最值）的递进学习支架。 资料通过易错提醒、随学随练及题型分类设计，突出“化斜为直”等数学思维，以坐标法步骤培养数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过实例巩固知识，查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

司 第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 课标要点 1.掌握通过联立直线方程求解两条直线交点坐标的方法，能根据方程组解的个数判断两直线的位置关系。 2.理解并掌握两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式。 3.掌握过两直线交点的直线系方程，能利用直线系方程简化含参直线问题求解。 4.结合交点与距离公式综合解决平面几何求值、证明、最值等问题。 学习重难点 重点： 1.联立直线方程求交点坐标，依据方程组解的情况判定两直线相交、平行、重合。 2.两点间距离公式、点到直线距离公式、两平行线间距离公式的熟练应用。 3.利用距离公式求解线段长度、点线距离、平行线间距及相关参数。 难点： 1.根据方程组解的个数精准区分两直线平行与重合，避免位置关系误判。 2.灵活运用直线系方程规避复杂联立运算，解决含参数直线恒过定点问题。 3.结合距离公式、交点位置求解几何最值、动点轨迹等综合性问题。 知识点 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 3、判断两直线的位置关系 关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 4、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 随学随练 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【解析】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限，故选：B 知识点 两点间的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，． 3、坐标法解题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关代数运算； （3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 教材延伸 1、平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上的，是将不垂直于坐标轴的线段进行分解，转化成垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推导得出的．这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想． 2、已知斜率的直线上的两点，，由两点间的距离公式可得． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求点为. 由得，解得， 因此所求点为. 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【解析】点和点，且， 则，解得或． 知识点 点到直线的距离 过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 3、点到几种特殊直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． 易错提醒 1、直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． 2、点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． 3、点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 随学随练 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点到直线的距离为.故选：B. 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或.故选：C. 知识点 两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为： 易错提醒 在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 随学随练 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 2．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【解析】由题意可知，， 所以两直线之间的距离为． 拓展 点与直线的对称问题 1、点关于点对称 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点． （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 2、直线关于点对称 （1）实质：两直线平行 （2）法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 3、点关于直线对称 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． （2）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （3）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 4、直线关于直线对称 （1）当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． （2）当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 活学活用 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行，即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得.故选：C 2．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）直线的斜率为， 设，又， 依题意可得，解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上， 设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为， 则由，解得，即. 所以直线经过点，则， 所以直线的方程为，即. 拓展 与直线有关的距离最值 线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 活学活用 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为.故选：C 题型 两条直线的交点问题 ▌例1 （25-26高二上·青海·阶段检测）直线和直线的交点的坐标为___． 【答案】 【解析】设直线交点坐标为，则交点位于直线上， 联立直线方程，解得， 直线交点坐标为． 解题贴士 解题核心是联立两条直线的方程组成二元一次方程组，通过求解方程组的解确定交点坐标，根据方程组解的个数判定直线位置关系，有唯一解则两直线相交，无解则两直线平行，有无穷多解则两直线重合，可结合含参方程求解参数取值，精准区分平行与重合的易错情况． ▌对点练1-1 （25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. ▌对点练1-2 （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是．故选：D ▌对点练1-3 （25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 题型 三条直线的相交问题 ▌例2 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【解析】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 解题贴士 已知三条直线相交于同一点，求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解.若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同． ▌对点练2-1 （25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 【答案】 【解析】根据题意，联立方程，解得， 所以与相交于点， 因为三条直线与相交于一点， 所以点在上，即，解得 所以. ▌对点练2-2 （25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【解析】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD ▌对点练2-3 （25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）联立与的方程，得解得 即与的交点坐标为， 由题意知点在上，所以， 解得. （2）由（1）知， 当时，，所以， 当时，，所以， 当，，三条直线可以围成三角形，则且且， 故的取值范围为. 题型 过两直线交点的直线系方程 ▌例3 （25-26高二上·重庆·阶段检测）经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 【答案】 【解析】联立方程组，解得， 即的交点坐标为， 则过点和点的直线，即， 故答案为： 解题贴士 求过两直线交点的直线方程的方法 （1）方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程. （2）直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． ▌对点练3-1 已知直线与，求经过，的交点且与已知直线平行的直线l的方程． 【答案】 【解析】设直线l的方程为：， 化简得：， l与直线平行，故，解得， 所以直线l的方程为：． ▌对点练3-2 已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【解析】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． ▌对点练3-3 求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【解析】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点， 所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得， 将代入①，整理得． 题型 两点间的距离公式及应用 ▌例4 （25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意.故选：C 解题贴士 解决两点间距离公式逆用问题的思路已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解． ▌对点练4-1 （25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解析】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或.故选：C. ▌对点练4-2 （25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，.故选：A ▌对点练4-3 （25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【解析】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1. 题型 点到直线的距离公式及应用 ▌例5 （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为.故选：A. 解题贴士 1、点到直线的距离的求法： （1）先把直线方程化为一般式，再代入公式． （2）如果直线垂直于坐标轴，可结合图形求解． 2、应用点到直线的距离公式的注意点 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． （2）点在直线上即点到直线的距离为0，公式仍然适用． （3）在直线方程中，或时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可利用数形结合求解． ▌对点练5-1 （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【解析】点到直线的距离为， 所以.解得，或. 故答案为:或. ▌对点练5-2 （25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】表示点到原点的距离, 点到原点距离的最小值为原点到直线的距离.故选：C ▌对点练5-3 （25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或.故选：D. 题型 两条平行线的距离及应用 ▌例6 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【解析】. 解题贴士 解决两条平行直线间的距离问题的方法 1、转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想． 2、直接使用公式，其中，，需注意此时直线和的方程为一般式且与的系数分别对应相同． ▌对点练6-1 （25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为______． 【答案】 【解析】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. ▌对点练6-2 （25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【解析】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． ▌对点练6-3 （25-26高二上·甘肃白银·期末）（多选）已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，得，解得或. 当时，的方程为，即，， 则与间的距离为； 当时，，， 则与间的距离为. 故选：BD. 基础通关 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（    ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【解析】由两点间距离公式可得.故选：C 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 3．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立与， 将的代入得， 整理得， 化简得，所以.再将代入得，即交点为. 直线的斜率为，由垂直关系得直线斜率. 所以过点且斜率为的直线点斜式为，即.故选：D 4．（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线，即， 令，解得，所以直线恒过点， 不妨记点，点， 又，， 当直线与垂直时点到直线的最大距离，最大距离为， 此时，解得，符合题意；故选：B 5．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求.故选：B. 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且；故选：B. 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【解析】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或，故选：BD. 8．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【解析】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【解析】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 10．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则________. 【答案】或 【解析】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 素养提升 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线，，过点作斜率为的直线分别交，于两点，，且为中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】过点，斜率为的直线方程为，即. 联立该直线与直线的方程为： ，解得； ，解得. 因为是线段的中点， 所以有.解得.故选：C. 12．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 13．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即.故选：A 14．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即， 解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 15．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1)；(2)①或；② 【解析】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 迁移创新 16．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线可化为，由 可得，即直线恒过定点， 直线可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为， 由可得，即直线与轴交点为， 则四边形由点围成， 其面积， 当时，取得最小值.故选：D. 17．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 18．（25-26高二上·北京·期中）过点作直线， (1)若直线被直线所截得的线段被点平分，求直线的方程； (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或或. 【解析】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，与的交点为，与的交点为，线段的中点坐标为,不符合题意中的所截得的线段被点平分； 设直线的斜率为，直线的方程为：， 联立，解得交点坐标， 联立，解得交点坐标， 又因为点是线段的中点，所以，解得， 故所求直线方程为,即. （2）若直线将平面分成6个部分，则直线经过的交点或与直线或平行， 联立，解得交点，直线经过则直线的斜率为， 由点斜式写出直线方程为即， 当直线与平行时，直线的斜率与直线的斜率相等即， 由点斜式写出直线方程为即， 当直线与平行时，直线的斜率与直线的斜率相等即， 由点斜式写出直线方程为即， 综上所述直线的方程为：或或. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 课标要点 1.掌握通过联立直线方程求解两条直线交点坐标的方法，能根据方程组解的个数判断两直线的位置关系。 2.理解并掌握两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式。 3.掌握过两直线交点的直线系方程，能利用直线系方程简化含参直线问题求解。 4.结合交点与距离公式综合解决平面几何求值、证明、最值等问题。 学习重难点 重点： 1.联立直线方程求交点坐标，依据方程组解的情况判定两直线相交、平行、重合。 2.两点间距离公式、点到直线距离公式、两平行线间距离公式的熟练应用。 3.利用距离公式求解线段长度、点线距离、平行线间距及相关参数。 难点： 1.根据方程组解的个数精准区分两直线平行与重合，避免位置关系误判。 2.灵活运用直线系方程规避复杂联立运算，解决含参数直线恒过定点问题。 3.结合距离公式、交点位置求解几何最值、动点轨迹等综合性问题。 知识点 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 3、判断两直线的位置关系 关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 4、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 随学随练 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点 两点间的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，． 3、坐标法解题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关代数运算； （3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 教材延伸 1、平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上的，是将不垂直于坐标轴的线段进行分解，转化成垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推导得出的．这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想． 2、已知斜率的直线上的两点，，由两点间的距离公式可得． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 知识点 点到直线的距离 过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 3、点到几种特殊直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． 易错提醒 1、直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． 2、点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． 3、点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 随学随练 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 知识点 两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为： 易错提醒 在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 随学随练 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）两平行直线与之间的距离为________． 拓展 点与直线的对称问题 1、点关于点对称 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点． （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 2、直线关于点对称 （1）实质：两直线平行 （2）法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 3、点关于直线对称 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． （2）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （3）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 4、直线关于直线对称 （1）当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． （2）当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 活学活用 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 拓展 与直线有关的距离最值 线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 活学活用 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型 两条直线的交点问题 ▌例1 （25-26高二上·青海·阶段检测）直线和直线的交点的坐标为___． 解题贴士 解题核心是联立两条直线的方程组成二元一次方程组，通过求解方程组的解确定交点坐标，根据方程组解的个数判定直线位置关系，有唯一解则两直线相交，无解则两直线平行，有无穷多解则两直线重合，可结合含参方程求解参数取值，精准区分平行与重合的易错情况． ▌对点练1-1 （25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 题型 三条直线的相交问题 ▌例2 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 解题贴士 已知三条直线相交于同一点，求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解.若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同． ▌对点练2-1 （25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． ▌对点练2-2 （25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 题型 过两直线交点的直线系方程 ▌例3 （25-26高二上·重庆·阶段检测）经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 解题贴士 求过两直线交点的直线方程的方法 （1）方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程. （2）直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． ▌对点练3-1 已知直线与，求经过，的交点且与已知直线平行的直线l的方程． ▌对点练3-2 已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． ▌对点练3-3 求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 题型 两点间的距离公式及应用 ▌例4 （25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解题贴士 解决两点间距离公式逆用问题的思路已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解． ▌对点练4-1 （25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．无解 ▌对点练4-2 （25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练4-3 （25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 题型 点到直线的距离公式及应用 ▌例5 （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 解题贴士 1、点到直线的距离的求法： （1）先把直线方程化为一般式，再代入公式． （2）如果直线垂直于坐标轴，可结合图形求解． 2、应用点到直线的距离公式的注意点 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． （2）点在直线上即点到直线的距离为0，公式仍然适用． （3）在直线方程中，或时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可利用数形结合求解． ▌对点练5-1 （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． ▌对点练5-2 （25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 ▌对点练5-3 （25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D．或 题型 两条平行线的距离及应用 ▌例6 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 解题贴士 解决两条平行直线间的距离问题的方法 1、转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想． 2、直接使用公式，其中，，需注意此时直线和的方程为一般式且与的系数分别对应相同． ▌对点练6-1 （25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为______． ▌对点练6-2 （25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A．12 B． C． D．6 ▌对点练6-3 （25-26高二上·甘肃白银·期末）（多选）已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（    ） A．26 B．18 C． D．6 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（    ） A． B．0 C． D．2 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 10．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则________. 素养提升 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线，，过点作斜率为的直线分别交，于两点，，且为中点，则（    ） A． B． C． D．1 12．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 13．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 15．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 迁移创新 16．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 18．（25-26高二上·北京·期中）过点作直线， (1)若直线被直线所截得的线段被点平分，求直线的方程； (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $