精品解析：江苏省锡山高级中学锡西分校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

江苏省锡山高级中学锡西分校2026-2027学年秋学期10月阶段检测 高二数学 时间：120分钟 总分：150分 命题人：贺恩惠 审核人：杨耘 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 2. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知在菱形中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线的距离为 10. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 原点关于的对称点的坐标是 B. 直线关于的对称直线的方程是 C. 直线关于点的对称直线的方程是 D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 11. 如图，正三棱柱中，，点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点A(－1,1)，B(2，－2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是________________． 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 14. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体．现有一“刍童”，如图所示，，，，，与的交点为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，． （1）用基底表示向量，； （2）利用空间向量证明； （3）求的长． 16. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆心为C的圆的一般方程； （2）已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 17. 在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学锡西分校2026-2027学年秋学期10月阶段检测 高二数学 时间：120分钟 总分：150分 命题人：贺恩惠 审核人：杨耘 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】向量，由，得， 解得，则；由，得，解得，则， 因此，所以. 2. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】由题设，，， 在方向上的投影向量为. 故选：D 3. 圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程定义求解即可. 【详解】设圆心坐标为，则由题意知，解得， 故圆的方程为． 故选：A 4. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量基底的定义解答即可. 【详解】因为能与，构成基底的向量与，不共面. 又，，， 则，，都分别与，共面，故ABC错误； 假设与，共面， 则存在，使得， 则， 所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立， 所以与，不共面，可构成基底，故D正确. 故选：D. 5. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意将圆的方程化为，再利用的几何意义可求其最大值． 【详解】实数，满足，即， 表示圆上的点到的距离， 又圆心到的距离为，故的最大值为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：代数式表示的几何意义为点到的距离，这是解决此题的关键. 6. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 7. 已知在菱形中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设菱形的边长为2，取中点，中点，中点，连接,由二面角的定义可得，由直角三角形的性质可得,由异面直线的定义可知为异面直线与所成角或补角，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】设菱形的边长为2， 因为， 所以均为等边三角形，如图所示： 取中点，中点，中点， 连接, 则于于, 所以为二面角的平面角， 所以，且, 所以， 又因为为中点， 所以, 又因为, 所以为异面直线与所成角或补角， 又因为, 在中，由余弦定理可得. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出直线所过定点即可判断，对于B，漏掉了过原点的直线，对于C，两条直线垂直求出的值有2个，对于D，求出两条平行线的距离可判断. 【详解】对于A，，即， 直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确； 对于B，直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为， 截距为0时为，故B错误； 对于C，由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D，直线的距离为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 原点关于的对称点的坐标是 B. 直线关于的对称直线的方程是 C. 直线关于点的对称直线的方程是 D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合点关于直线对称、直线关于直线对称、直线关于点对称的性质，以及两直线垂直的斜率关系逐一验证各个选项． 【详解】选项A、设原点关于直线的对称点为， 满足两个条件：①线段中点在直线上， 即，化简得； ②两点连线与直线垂直，斜率乘积为， 即，化简得 联立方程解得， 所以原点关于的对称点的坐标是，选项A正确； 选项B、联立， 解得直线与的交点为，该点在对称直线上， 取上的点， 由选项A可知原点关于的对称点为， 过两点和的直线斜率为， 所以直线关于的对称直线的方程是，即，选项B正确； 选项C、直线关于点对称后与原直线平行，故斜率仍为2， 取直线：上的点，其关于的对称点为， 直线关于点的对称直线的方程是，即，选项C正确； 选项D、已知直线：， 则与直线垂直的直线斜率为， 所以过点，垂直于直线的直线的方程是，即，选项D错误． 11. 如图，正三棱柱中，，点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB；把放置于同一平面内，计算两点间距离判断C；利用等体积法计算判断D. 【详解】在正三棱柱中，取BC的中点O，连接OA， 则，又底面ABC，则， 又，平面， 所以平面，在平面内作， 以O为原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 设，则，， 设，则， 所以，，则. 对于A，，， 要使，则，解得， 所以当时，存在点P，使得，故A不正确； 对于B，，， 设，则， 所以， 则， 因为，所以当时，取得最小值，故B正确； 对于C，将和沿展开在同一平面内，如图， 连接交于点T，可知，当点P与点T重合时取得最小值， 依题意，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理，得， 则，即的最小值为，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：BD. 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点A(－1,1)，B(2，－2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本道题目先绘图，然后结合图像判断该直线的位置，计算斜率，建立不等式，即可． 【详解】 要使得与线段AB相交,则该直线介于1与2之间,1号直线 的斜率为,2号直线的斜率为,建立 不等式关系转化为,所以或解得m范围为 【点睛】本道题考查了直线与直线的位置关系，结合图像，判断直线的位置，即可． 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 14. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体．现有一“刍童”，如图所示，，，，，与的交点为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，结合已知条件得出，再以为基底，表示向量，进而利用向量数量积计算求解． 【详解】设，则， 由题意知， ， 故 ， 当时，取最大值，最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，． （1）用基底表示向量，； （2）利用空间向量证明； （3）求的长． 【答案】（1） （2），，， 则夹角为，夹角为， 故 ， 故，即． （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，把目标向量拆解成的线性组合。 （2）把用基底表示，计算数量积，算出结果为0，进而证明垂直； （3）根据向量模长公式，代入各基底模长与两两数量积． 【小问1详解】 由菱形的性质得， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 夹角为，夹角为，夹角为， 则 ． 16. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆心为C的圆的一般方程； （2）已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【小问1详解】 ∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 17. 在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. 【小问1详解】 设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）； （3） 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $