学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（湖北省卷专用，范围：新教材人教版九上第25～27章）

( 11 ) 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 一、 单项 选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 3 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 1 1 . _____________ 1 2 . _____________ 1 3 . _____________ 1 4 . ___________ __ 1 5 . _____________ 三 、解答题：本题共 9 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 。 1 6 .（ 8 分） （ 1 ） ； （ 2 ） ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 8 分） 18 ．（ 8 分） （1） （2） （3） （4） 19 ．（ 8 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 21．（8分） 22.（10分） （1） （2） （3） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 9 分） 24.（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一.选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 9 10 答案 A C B C C D D C 二.填空题（共5小题） 11.- 12.- 13.- 14. 或6· 15. 三.解答题（共9小题） 16.解：(1) 则 或 所以 (2) 则 第1页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以 17.解： △ 绕点顺时针旋转得到△，点恰好在上， 18.解：(1)由题意，函数为 该函数图象的开口方向是向上， 故答案为：向上 (2)由题意，令 抛物线与轴的交点坐标是 故答案为： (3)由题意， 当 时，取最小值为 当 时，则函数的最小值是· 故答案为： (4)由题意，令 或 抛物线开口向上， 第2页（共9页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当 时， 或 故答案为： 或 19.(1)证明：△ △ 该方程总有两个实数根： (2)解：该方程的两个实数根为，， 20.解：设竖彩条的宽度为 ，则横彩条的宽度为 ，除彩条之外的部分可合成长为 宽为 的长方形， 根据题意得： 整理得： 第3页（共9页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得： (不符合题意，舍去)， 答：横彩条的宽度是，竖彩条的宽度是 21.解：(1)当 时，则直线 解 得 或 (2)设点、的坐标分别为 直线 ,令，则 ,即点 将直线与二次函数的表达式联立得： 则： ,即为定值. 22.解：(1)设与之间的函数关系式为 将 和 分别代入 得 解得 与之间的函数关系式为 第4页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)根据题意得 解得 9 (舍， 答：当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元： (3)由题意得 当时， 随的增大而增大， 当 时， 最大为1680， 答：当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元. 23.(1)证明：连接，如图1， 0 0 P C 图1 由旋转的性质知， (2)解：①连接，如图2， 第5页（共9页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D E P 图2 由旋转的性质知， 由(1)知 ② 是线段 的中点.理由如下： 连接，延长 和交于点，如图3， H D 0 E B P C 图3 在 和 中， 第6页（共9页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在 和 中， ，即是线段 的中点. 24.解：(1)抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线， 抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， 即 (2)当点在轴上方时，过点作 轴于点，过点作 于点，如图所示： D 设点坐标为 点坐标为 第7页（共9页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的对称轴为直线， 解得，，或 ，或，或 点在第一象限， 或 (舍去)或 当点在轴下方时，同理可求点 综上所述：点坐标为 或 (3)把 代入 中得， 将 代入 ,中得 第8页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设 的解析式为 ,则 解得， 直线 的解析式为： 当 时， 直线 经过定点， 即直线 经过一个定点， 第9页（共9页） 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题） 1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．已知、满足且，以、为根的一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 4．有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（　　） A．596 B．428 C．512 D．604 5．将抛物线向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 7．如图，△绕点按顺时针方向旋转后得到△，且点恰好是边的中点，交于，则的值为（　　） A．3 B．2.5 C．4 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△中，，，，是上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二．填空题（共5小题） 11．已知二次函数，当　 　时，随的增大而增大． 12．用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是 　　 ． 13．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 　　． 14．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为　　 ． 15．如图，△中，，，，△把绕着点逆时针旋转得到△，连接，则的长是 　　． 三．解答题（共9小题） 16．解方程： （1）； （2）． 17．如图，在△中，，．将△绕点按逆时针方向旋转得△，使点落在边上，点的对应点为点，连接，求的度数． 18．已知函数． （1）该函数图象的开口方向是 　　； （2）抛物线与轴的交点坐标是 　　； （3）当时，则函数的最小值是 　　； （4）当时，则自变量的取值范围是 　　． 19．已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 20．如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？ 21．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）当时，求的长； （2）过点作轴于点，轴于点，求证：为定值． 22．阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 22 24 26 销售量（千克） 200 180 160 （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元最大？最大利润是多少元？ 23．在中，．将绕点顺时针旋转得到，旋转角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点，延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，，求线段的长； ②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． 24．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线（对称轴右侧）上，点在对称轴上，△是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题） 1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．已知、满足且，以、为根的一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 4．有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（　　） A．596 B．428 C．512 D．604 5．将抛物线向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 7．如图，△绕点按顺时针方向旋转后得到△，且点恰好是边的中点，交于，则的值为（　　） A．3 B．2.5 C．4 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△中，，，，是上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二．填空题（共5小题） 11．已知二次函数，当　 　时，随的增大而增大． 12．用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是 　　 ． 13．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 　　． 14．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为　　 ． 15．如图，△中，，，，△把绕着点逆时针旋转得到△，连接，则的长是 　　． 三．解答题（共9小题） 16．解方程： （1）； （2）． 17．如图，在△中，，．将△绕点按逆时针方向旋转得△，使点落在边上，点的对应点为点，连接，求的度数． 18．已知函数． （1）该函数图象的开口方向是 　　； （2）抛物线与轴的交点坐标是 　　； （3）当时，则函数的最小值是 　　； （4）当时，则自变量的取值范围是 　　． 19．已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 20．如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？ 21．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）当时，求的长； （2）过点作轴于点，轴于点，求证：为定值． 22．阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 22 24 26 销售量（千克） 200 180 160 （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元最大？最大利润是多少元？ 23．在中，．将绕点顺时针旋转得到，旋转角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点，延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，，求线段的长； ②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． 24．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线（对称轴右侧）上，点在对称轴上，△是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； ．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； ．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； ．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由抛物线解析式即可求得答案． 【详解】解： ， 抛物线顶点坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 3．已知、满足且，以、为根的一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程即可． 【详解】解：，， 以，为根的一元二次方程可以为． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 4．有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（　　） A．596 B．428 C．512 D．604 【答案】 【分析】设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有64人患了感冒；列出方程，求解，然后求出三轮之后患感冒的人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得，， ， ，不合题意，舍去， ． 则第三轮的感冒人数为：． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． 5．将抛物线向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移两个单位，再向上平移一个单位，那么新抛物线的顶点为； 可设新抛物线的解析式为，代入得：， 故选：． 【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且△，即，两个不等式的公共解即为的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且△，即，解得， 的取值范围为且． 当且时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义． 7．如图，△绕点按顺时针方向旋转后得到△，且点恰好是边的中点，交于，则的值为（　　） A．3 B．2.5 C．4 D． 【答案】 【分析】先由旋转的性质得出，，则△为等边三角形，再根据等边三角形、等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，然后在直角△与直角△中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，，则，进而求出的值． 【详解】解：△绕点按顺时针方向旋转后得到△， △△，， ，． △为等边三角形， ，． 点是边的中点， ， ， ， ． 在直角△中，，， ． 在直角△中，，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及三角形外角的性质，综合性较强，有一定难度，证明出是关键的一步． 8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由图可知；将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案． 【详解】解：由题可知：，， 发现规律是点坐标是8次一循环， ， 点的坐标等于点得坐标， 即 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法． 9．如图，在△中，，，，是上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，．由△△，推出，推出当时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． ，， ， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ，， △△， ， 当时，的值最小， 在△中， ，， ， 的最小值为2． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对、、的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论③，结论④进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】解：①抛物线的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故①正确，符合题意； ②由题意，当时，， 在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 根据对称性可得，抛物线与轴的另一个交点为， 结合抛物线开口向上，当时，， ，故②正确，符合题意； ③抛物线与轴的两个交点坐标分别为，， ， ，故③正确，符合题意； ④抛物线的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方，此时，即：，故④错误，不符合题意； 综上，正确的有①②③共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 二．填空题（共5小题） 11．已知二次函数，当　　时，随的增大而增大． 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案． 【详解】解： ， 抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 12．用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是 ． 【分析】根据求根公式确定出方程即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 则该一元二次方程是， 故答案为： 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 　　． 【答案】． 【分析】先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，开口向上， 而点离对称轴最近，点离对称轴最远， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 14．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为或6　 ． 【答案】或6． 【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线，再对抛物线的开口方向进行讨论即可解决问题． 【详解】解：因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为当时，的最小值为， 则当时， ， 解得； 当时， ， 解得， 综上所述，的值为或6． 故答案为：或6． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的最值，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 15．如图，△中，，，，△把绕着点逆时针旋转得到△，连接，则的长是 　　． 【答案】． 【分析】先根据勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：，，， ， △绕点逆时针旋转得到△， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理． 三．解答题（共9小题） 16．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：（1）， ， 则或， 所以； （2）， ， 则， 所以，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程直接开平方法，熟知因式分解法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 17．如图，在△中，，．将△绕点按逆时针方向旋转得△，使点落在边上，点的对应点为点，连接，求的度数． 【分析】由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数； 【详解】解：，， ． △绕点顺时针旋转得到△，点恰好在上， ，， ， ， ． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角． 18．已知函数． （1）该函数图象的开口方向是 　向上　； （2）抛物线与轴的交点坐标是 　　； （3）当时，则函数的最小值是 　　； （4）当时，则自变量的取值范围是 　　． 【答案】（1）向上；（2）；（3）；（4）或． 【分析】（1）依据题意，由函数为，从而可以判断得解； （2）依据题意，令，进而，故可以判断得解； （3）依据题意，由，故当时，取最小值为，进而可以判断得解； （4）依据题意，令，可得．从而或，又抛物线开口向上，故当时，或，进而可以得解． 【详解】解：（1）由题意，函数为， 该函数图象的开口方向是向上． 故答案为：向上． （2）由题意，令， ． 抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为：． （3）由题意，， 当时，取最小值为． 当时，则函数的最小值是． 故答案为：． （4）由题意，令， ． 或． 抛物线开口向上， 当时，或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． 19．已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【分析】（1）求出△，可知△，故总有两个实数根； （2）先求出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）证明：△ ， ， △， 该方程总有两个实数根； （2）解：该方程的两个实数根为，， ，， ． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 20．如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？ 【答案】横彩条的宽度是，竖彩条的宽度是． 【分析】设竖彩条的宽度为，则横彩条的宽度为，除彩条之外的部分可合成长为，宽为的长方形，根据除彩条之外的部分所占面积是图案面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出竖彩条的宽度，再将其代入中，即可求出横彩条的宽度． 【详解】解：设竖彩条的宽度为，则横彩条的宽度为，除彩条之外的部分可合成长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：横彩条的宽度是，竖彩条的宽度是． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）当时，求的长； （2）过点作轴于点，轴于点，求证：为定值． 【答案】（1）； （2），即为定值． 【分析】（1）解析式联立构成方程组，解方程组即可求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求得的长； （2）将直线与二次函数的表达式联立得：，则：，，，即可求解． 【详解】解：（1）当时，则直线， 解得或， ，， ； （2）设点、的坐标分别为，，，， 直线，令，则，即点， 将直线与二次函数的表达式联立得：， 则：，， ，即为定值． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，两点之间距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于中档题． 22．阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 22 24 26 销售量（千克） 200 180 160 （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元； （3）当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元． 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入即可求解； （2）根据题意得，然后解方程并检验即可； （3）由题意得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意得， 解得，（舍， 答：当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元； （3）由题意得， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大为1680， 答：当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．在中，．将绕点顺时针旋转得到，旋转角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点，延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，，求线段的长； ②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②连接，延长和交于点，证明，得到，，利用，得到，，进而证得，推导出，即是线段的中点． 【详解】（1）证明：连接，如图1， 由旋转的性质知，，， ， ， ； （2）解：①连接，如图2， ，，， ， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ； ②是线段的中点．理由如下： 连接，延长和交于点，如图3， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即是线段的中点． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解答本题的关键． 24．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线（对称轴右侧）上，点在对称轴上，△是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 【答案】（1）， ， （2）或． （3）直线经过一个定点． 【分析】（1）根据图象平移时遵循“左加右减，上加下减”的规律求解即可． （2）分别过点作轴于点，过点作于点，通过得出△△，再通过构造方程求解即可． （3）分别求出两直线与抛物线的交点，再利用韦达定理表示出两中点坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，最后求出时的值，从而得到直线经过一个定点． 【详解】解：（1）抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线， ， 抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ， 即， （2）当点在轴上方时，过点作轴于点，过点作于点，如图所示： 设点坐标为，， 点坐标为， 的对称轴为直线， ，， ， ， ， ，， △△， ， ， 解得，，或，或，或， 点在第一象限， 或， （舍去）或， ． 当点在轴下方时，同理可求点， 综上所述：点坐标为或． （3）把代入中得，， ， ， 将代入，中得， ， ， 设的解析式为，则 ， 解得，， 直线的解析式为：， 当时，， 直线经过定点， 即直线经过一个定点． 【点评】本题主要考查二次函数的综合题，在第一问中解题关键在于掌握图象平移规律，第二问中解题的关键在于利用三角形全等构造等量关系，建立方程求解．第三问中解题关键在于利用韦达定理表示出中点坐标． 第2页（共22页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。==。一-一。===-▣-▣=。▣=一=。。一=-=▣▣==一。一- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.51m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.MA][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4[A][B][CI[D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11 13 14. 15 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分) (1)2x2+x-3=0: (2)(3+)2-49=0. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) ⊙ E 18.(8分) (1) (2) (3) (4) 19.(8分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) 22.(10分) (1) (2) (3) (a) () H (0I)忆 园 园 阁 0 d o d ◇入 a (96)z :华壬著品阳海☒马的到狂鲜毋诺吊避‘号中海☒踞品阳目瑶号平學