湖北黄石市大冶市还地桥教联体2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学练习卷

湖北黄石市大冶市还地桥教联体2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程，则方程可变形为(    ) A. B. C. D. 3.下列关于的函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 4.若，是一元二次方程的两个根，以下方程满足的是(    ) A. B. C. D. 5.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7.对于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 8.兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批精品瓜，若每千克盈利元，每天可售出千克经市场调查发现，若每千克降价元，每天可多售出千克设每千克降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 9.在同一平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 10.如图所示，已知二次函数的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线，给出以下四个结论：其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。 11.二次项系数之和为，且顶点关于轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是          ． 12.如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线        ． 13.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长厘米．要截得的矩形的边在上，顶点、分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是          不必写定义域 14.已知，则          ． 15.若是方程的解，则代数式的值为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.解方程： 四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 小球在某个斜坡上由静止开始向下滚动，它在斜坡上滚动的路程单位：与时间单位：之间的关系是． 当时间为时，小球在斜坡上滚动的路程是多少？ 若斜坡长，则小球何时到达斜坡底部？ 18.本小题分 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为米，宽为米． 【任务二】拟定设计方案，按照：的比例尺画出设计图纸． 第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为厘米，在边上确定中点，则的长应为______； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； 第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ 第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 19.本小题分 项目学习 “山西三日游”的调研分析 背景 山西，华夏文明的重要发祥地之一，犹如一座矗立千年的文化宝库太原、大同、平遥、运城等城市，承载着数千年的历史沧桑与王朝更迭的记忆走进山西，能领略古老与现代交织的独特传奇画卷，感受中华传统文化的深邃与博大从气势恢宏的云冈石窟到古朴沧桑的平遥古城，从巍峨险峻的雁门关到香火缭绕的五台山，每一处景点都诉说着山西厚重的历史故事为了让更多的人了解山西，感受山西深厚的文化底蕴，某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”旅行活动的定价和报名人数进行调研． 素材 活动推出后，月份报名参加“山西三日游”的人数为人随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，月份的报名人数达到人． 素材 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案：人起组团，每人的团费为元经调查发现，若每人的团费每降低元，平均每个团的报名人数会增加人，但每人的团费不低于元． 问题解决 任务 求，两个月“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率． 任务 若该旅行社要使平均每个团的总团费为元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务和任务． 20.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 若，求的值； 若此方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 21.本小题分 已知抛物线经过点． 抛物线的表达式为           写出抛物线上与点关于轴对称的点的坐标，并计算出的面积 抛物线上一点满足，求点的坐标． 22.本小题分 综合实践用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图所示的无盖纸盒硬纸片厚度忽略不计 若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； 如图，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形阴影部分，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23.本小题分 如图所示，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点不与点、点重合将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接、 求证： 当点在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论． 四边形的面积为， ________用含的代数式表示 试问是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 24.本小题分 定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”已知函数． 求证：函数与轴有两个不同的交点 若函数是在上的“极差函数”，且存在整数，，使得，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： 未知数的最高次数是； 二次项系数不为； 是整式方程； 含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； B、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误； D、符合二元一次方程的定义，故本选项错误； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：根据二次函数的定义逐一分析选项：  选项A：，自变量的最高次数为，是一次函数，不符合； 选项B：展开，自变量的最高次数为，是一次函数，不符合； 选项C：，分母含自变量，不是二次函数，不符合； 选项D：，符合其中，，的形式，是二次函数，符合， 4.【答案】  【解析】解：根据逐项分析判断如下： A.，，符合题意； B.，，不符合题意； C.，，不符合题意； D.，一次方程，不符合题意； 故选：． 根据逐一判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 5.【答案】  【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：，且． 故选：． 由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，，继而可求得的范围． 此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 6.【答案】  【解析】解：将原方程分解因式可得： ， 解得方程两根为：，， 两根之和， 两根之积， 点即为， 点的横坐标小于，纵坐标小于， 该点位于第三象限． 故选：． 先求解一元二次方程得到两个根，计算两根之和与两根之积，再根据点的横纵坐标符号判断所在象限． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 7.【答案】  【解析】解：由题知， 因为抛物线的解析式为， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 则选项不符合题意，选项符合题意； 因为当时，随的增大而减小， 所以选项不符合题意． 故选：． 根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质对所给选项依次进行判断即可． 本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】由题意得每千克降价元，则每千克盈利为元，每天销售量为千克，故选B． 9.【答案】  【解析】解：项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项A错误，不符合题意； 项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项B错误，不符合题意； 项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项C正确，符合题意； 项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项D错误，不符合题意． 故选：． 根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数之间的关系即可． 本题考查了一次函数的图象性质和二次函数的图象性质与系数的关系，掌握一次函数的图象性质和二次函数的图象性质与系数的关系是解题的关键． 10.【答案】  11.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：二次项系数之和为，且顶点关于轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， 函数的“关联函数”的二次项系数为， ， 它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， 函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：由点和都是抛物线上的点， 得和关于对称轴对称， 即对称轴过和的中点， 对称轴为直线， 故答案为：． 根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴． 本题考查了二次函数的性质，图象上函数值相等点的垂直平分线是抛物线的对称轴． 13.【答案】   【解析】是等腰直角三角形，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，，． 14.【答案】或  【解析】由题意知，设， 则． ， ． ． ． ， 整理得，解得，． 当， 即时，去分母整理，得，此方程有解 当，即时，去分母整理，得，此方程有解综上所述，或． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用整体代入法求代数式的值，一元二次方程的解等知识点，解决本题的关键是由题意求得根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可． 【解答】 解：是方程的一个解， ， 则 ． 16.【答案】【小题】， 开方得：， ， 【小题】， ，，， ， 所以原方程没有实数根   【解析】解：， 开方得：， ，； ， ，，， ， 所以原方程没有实数根． 用直接开平方法求解即可； 用公式法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 17.【答案】【小题】 解：当时，． 答：小球在斜坡上滚动的路程是． 【小题】 当时，，则． ，． 答：当时间为时，小球到达斜坡底部．   18.【答案】     【解析】由题意得：图纸上画出矩形的宽为厘米，矩形的长为米，宽为米． 故AD， 为边的中点， ， 故答案为：． 设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，得 ， 解得，舍去， 答：当小路的宽为时符合设计要求； 连接，，交于点， 则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得， 故， 故矩形的面积， 故矩形的面积，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 根据比例尺求出的长，结合中点求出的长即可； 设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； 连接，，交于点，阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 本题考查矩形的性质，比例尺，一元二次方程的实际应用，轴对称图形设计，熟练掌握矩形的性质，轴对称图形的设计，解方程是解题的关键． 19.【答案】解：任务：设“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，不符合题意，舍， 所以，月两个月“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为； 任务：设下调后每人的团费为元， 根据题意列一元二次方程得， ， 解得，不符合题意舍去， 所以下调后每人的团费为元．  【解析】解：任务：设“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，不符合题意，舍， 所以，月两个月“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为； 任务：设下调后每人的团费为元， 根据题意列一元二次方程得， ， 解得，不符合题意舍去， 所以下调后每人的团费为元． 任务，设月平均增长率为，再根据列出方程，求出解； 任务，设下调后每人的团费为元，再根据每人的团费乘以总人数等于列出方程，求出解，并舍去不合题意的解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 20.【答案】解：关于的一元二次方程  有两个实数根，   ， 解得：  ； 方程  的两个实数根为  ，  ，   ，  ，   ，   ，   ， 整理得：  ， 解得：  或者  ， 根据有  ， 即  ； 由可知：  ，  ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ， 根据有  ， 即  ．   【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键． 根据根的判别式列式计算即可； 利用根与系数的关系，结合完全平方公式计算即可； 先判定，再将已知条件两边平方，进而利用根与系数的关系求解即可． 21.【答案】【小题】 【小题】 点的坐标为，点关于轴对称的点的坐标为． ．． 【小题】 设点的坐标为． ，，即． 或当时，，无解当时，，解得． 点的坐标为或． 22.【答案】；       【解析】设剪去的正方形的边长为 ，  由题意得：，  解得：或舍去，  剪去正方形的边长为；  设剪去的正方形的边长为 ，  由题意得：，  解得：或不符合题意，舍去，  剪去的正方形的边长为． 设剪去的正方形的边长为 ，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；  设剪去的正方形的边长为 ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 23.【答案】证明：四边形是正方形， ， ， 由折叠可得，，， ，， ； 解：的周长不发生变化． 证明：如图，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， 由可知，， 在和中， ， ≌， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 的周长 ， 四边形是边长为的正方形， ， 的周长， 即的周长不发生变化； ； 如图，过作于点，设与交于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ，， 为折痕， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 由折叠可得，， 在中，， 即， ， ， 故答案为：； 由可知，， 由折叠可得，， ， ， 当时，的最小值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.【答案】【小题】 证明：函数， ． ，． 故函数与轴有两个不同的交点． 【小题】 解：， 抛物线的对称轴为直线． ， ． ． ． 当时，随着的增大而增大． 当时，取得最大值，当时，取得最小值． ． ，为整数，，． ， ，解得． 第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $