14.3.1 角平分线的性质 课件2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十四章 全等三角形 14.3.1角平分线的性质 斜边、直角边 （HL） 内容 前提条件 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL） 在直角三角形中 复习导入 推理探究 想知道角平分线上点特殊在哪，得先比一比它到两条边上各点 的 连线长短 ，要害 就在这里. 观 察 看下图 ，OC 把∠AOB 平分 ，P 是 OC 上随便取的点， M、N 上各拿一处， OA、OB 上各取一点，比 PM 跟 PN 谁长谁短. C A B O M N P 看几何图形，通常先挑几个特殊位置下手.图里让OM 与 ON 取怎样的关系，PM = PN才成立？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. A B O (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. M N C (3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线. 试一试：已知∠AOB.求作∠AOB的平分线. 新知探究 1.以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短. 2.“以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作. 3.应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. 4.“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到 的是线段，而角的平分线是一条射线. 新知归纳 注意 换个方向：图中， M、N 各取自∠AOB 的边 OA、OB 上， OM = ON ，而 P 落在∠AOB 内部， PM = PN . 连 OP . A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 故P位于∠AOB的角平分线上. 推 理 照刚才的结论想一想，要平分一个角，动手时该怎样画？ 1 第一步：沿 角的两边 各取一处，到顶点一样远. 2 在 角的内部 里取一点，与两处等远. 3 自 角的顶点 引一条射线穿过那点. D 1.已知：∠AOB，如图所示. 求作：∠AOB的邻补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. A O B C E F 新知应用 作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 结论 2.已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. A O B E F C 新知应用 画法：看下图，给出∠AOB. (1) 以 O 为心，取合宜的长画弧，先与 OA 交出 M，再与 OB 交出 N. A B O M N C (3) 作射线OC ，OC 就平分∠AOB 了. 角的平分线怎么作 (2) 又拿 M，N 各作圆心，半径取得比 MN 还长，把两条弧画出来（想想道理在哪），它们在∠ AOB 内碰于一点 C. A B O M N 干嘛非要取比 MN 还长的半径： 半径若短于 MN ，两条弧就碰不着； 半径恰好等于 MN 时，画起来很别扭. 平分线画法的要点 发现：P1D1=P1E1， P2D2=P2E2， P3D3=P3E3，… 探究2 如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现? 猜想： 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 新知探究 证明几何命题的一般步骤： 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE. 证明： ∵OC是∠AOB的平分线∴∠1=∠2 ∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△OPD和△OPE中 ∴△OPD≌△OPE（AAS） ∴PD=PE 新知探究 1 2 已知：平角∠AOB. 要作：∠AOB 的平分线. A B O 【结论】把平角从中分开，无非是在那条线上立起一条垂线. 小练 尝 试 图中， OC 把∠ AOB 均分；取 P1，P2，P3，···（居于 OC 上），让 P1，P2，P3，···各自向 OA 与 OB 作 垂线 ，其垂足依次是 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 逐一比一比P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，从中看出点门道了吗？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 作图探究 符号语言： ∵OP平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE. 角的平分线的性质的两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 新知归纳 1.如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证:EB=FC 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中 ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴EB=FC 新知应用 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜一猜：点若在平分线上，两侧一样远 已知： 某点恰处在平分线上. 求证： 推证 说明它到角两边一样远. 平分线有什么性质 几何命题的证明流程 1. 先把题目里的已知、求证分别找出来； 2. 照着题目的意思画好图，再把已知、求证转成符号表达； 3. 想清楚条件怎样一步步推到结论，再落笔写成证明. 需要时先换成“若···则···”的样子 有的情形还不止一种 2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 证明： 过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D，E，F ∵BM平分∠ABC，且PD⊥AB,PE⊥BC ∴PD=PE 同理可得：PE=PF ∴PD=PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 新知应用 A C B P M N D F E 角的平分线 作一个角的平分线 角的平分线的性质 图示 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 图示 依据 符号 语言 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE. SSS 课堂总结 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 23 角平分线 尺规画法 定理 添上 辅助线 理由：SSS 点在哪： 量距离： 比结果： 平分线经过的点 它到两边有多远 两条垂线段等长 朝两边引垂线段，起点选在平分线上 谢谢大家聆听 $