2.1.1 倾斜角与斜率（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“倾斜角与斜率”核心知识点，构建从倾斜角定义、范围到斜率概念、与倾斜角关系，再到两点斜率公式及方向向量应用的学习支架，脉络清晰，层层递进。 资料以课标为纲，突出数形结合思想，通过6类题型分类（含解题贴士）、随学随练及分层练习（基础到迁移创新），培养数学眼光观察几何特征、数学思维分析斜率规律，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

司 第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 课标要点 1.理解直线倾斜角的定义、取值范围，明确倾斜角刻画直线的倾斜程度。 2.理解直线斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系及变化规律。 3.熟练掌握过两点的直线斜率计算公式，能准确求解直线斜率。 4.体会数形结合思想，能用倾斜角和斜率分析直线的位置特征。 学习重难点 重点： 1.直线倾斜角的定义、取值范围及几何意义。 2.直线斜率的概念，倾斜角与斜率的转化关系。 3.两点式斜率公式的掌握与灵活运用。 难点： 1.理解倾斜角为90°时直线斜率不存在的特殊情况。 2.掌握倾斜角变化时斜率的正负、大小变化规律。 3.结合图像辨析倾斜角与斜率的对应关系，规避概念混淆与取值错误。 知识点 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 特别提醒 对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 随学随练 1．（25-26高二上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的斜率等于，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 特别提醒 倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 随学随练 1．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线经过两点，，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（    ） A．0 B．1 C． D．不存在 知识点 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 易错提醒 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 2、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 随学随练 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为____. 拓展 直线与线段的公共点问题 已知一条线段的端点及线段外一点，求过点的直线与线段有交点的情况下直线的斜率的取值范围，若直线，的斜率均存在，则步骤为①连接，；②由求出，；结合图形即可写出满足条件的直线的斜率的取值范围． 活学活用 1．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 求直线的倾斜角 ▌例1 （25-26高二上·江西·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 解题贴士 求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线上方向与轴的正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：． ▌对点练1-1 （25-26高二上·广东清远·阶段检测）若，两点的横坐标均为，则直线的倾斜角和斜率分别为（    ） A．， B．，不存在 C．， D．，不存在 ▌对点练1-2 （多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高二上·贵州六盘水·期中）已知直线经过原点和点，则直线的倾斜角（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 题型 求直线的斜率 ▌例2 （25-26高二上·江西宜春·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 解题贴士 求直线斜率的方法 （1）定义法：已知直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率． （2）公式法：已知直线任意两点的坐标，求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率． ▌对点练2-1 （25-26高二下·河南濮阳·期中）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 ▌对点练2-3 （25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率_________. 题型 斜率与倾斜角的概念辨析 ▌例3 （23-24高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 解题贴士 解题核心是明确倾斜角唯一对应直线倾斜状态、斜率反映倾斜程度的大小，牢记倾斜角取值范围与倾斜角为90°时斜率不存在的特殊情况，区分倾斜角越大斜率越大的分段变化规律，规避“倾斜角相等斜率一定相等、斜率正负与倾斜角混淆”等概念误区． ▌对点练3-1 （25-26高二上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 ▌对点练3-2 （25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是：（    ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 ▌对点练3-3 （25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型 图象中的斜率与倾斜角 ▌例4 （25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 结合函数与直线图象，根据直线升降趋势判断斜率正负，依据直线陡峭程度比较斜率大小，结合倾斜角锐角、钝角分类分析斜率变化，利用数形结合思想直观判断斜率与倾斜角的对应关系，快速解决图象辨析、大小比较类问题． ▌对点练4-1 （25-26高二上·广西·阶段检测）图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津河北·期中）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型 直线的方向向量与斜率关系 ▌例5 （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 解题贴士 已知直线斜率可直接构造对应方向向量，已知直线方向向量可通过坐标比值快速求解斜率，解题时利用方向向量坐标与斜率的比值关系相互转化，同时注意直线垂直x轴时方向向量横坐标为0、斜率不存在的特殊情况，实现向量与直线斜率的灵活互化应用． ▌对点练5-1 （25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的倾斜角为的一个方向向量为，则（    ） A． B．1 C． D．2 ▌对点练5-2 （25-26高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-3 （25-26高二上·天津红桥·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 题型 利用直线的斜率处理共线问题 ▌例6 （25-26高二上·河南安阳·阶段检测）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 解题贴士 证明三点共线有很多方法，而证明已知坐标的三点共线，利用斜率是最为简单的方法．若两直线，的斜率相等，则三点共线；反过来，若三点共线，则直线，的斜率相等（斜率存在时）或直线，的斜率都不存在． ▌对点练6-1 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练6-2 （25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-3 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知不能构成三角形，则_____． 基础通关 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 8．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 9．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 10．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 素养提升 11．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·天津·阶段检测）设直线l的斜率为k，且关于x的一元二次不等式的解集为空集，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（    ） A．1 B．或 C． D．或 15．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 迁移创新 16．（25-26高二上·湖北·期中）直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定.设直线经过点，它的一个方向向量是，是直线上的任意一点，则存在唯一的实数，使，即，我们把这个方程称为直线的参数方程.已知直线的参数方程为（为参数），则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为__________. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 课标要点 1.理解直线倾斜角的定义、取值范围，明确倾斜角刻画直线的倾斜程度。 2.理解直线斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系及变化规律。 3.熟练掌握过两点的直线斜率计算公式，能准确求解直线斜率。 4.体会数形结合思想，能用倾斜角和斜率分析直线的位置特征。 学习重难点 重点： 1.直线倾斜角的定义、取值范围及几何意义。 2.直线斜率的概念，倾斜角与斜率的转化关系。 3.两点式斜率公式的掌握与灵活运用。 难点： 1.理解倾斜角为90°时直线斜率不存在的特殊情况。 2.掌握倾斜角变化时斜率的正负、大小变化规律。 3.结合图像辨析倾斜角与斜率的对应关系，规避概念混淆与取值错误。 知识点 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 特别提醒 对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 随学随练 1．（25-26高二上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】因为轴是水平的直线，所以其倾斜角为0，故选：A． 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的斜率等于，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该直线的倾斜角为，，则，.故选：D. 知识点 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 特别提醒 倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 随学随练 1．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由斜率计算公式得： 直线的斜率 .故选：A 2．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线经过两点，，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（    ） A．0 B．1 C． D．不存在 【答案】B 【解析】因为直线经过两点，所以该直线的斜率不存在， 那么该直线的倾斜角为， 由于直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为.故选：B. 知识点 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 易错提醒 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 2、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 随学随练 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】. 2．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为____. 【答案】 【解析】是直线的一个方向向量，则的斜率为 拓展 直线与线段的公共点问题 已知一条线段的端点及线段外一点，求过点的直线与线段有交点的情况下直线的斜率的取值范围，若直线，的斜率均存在，则步骤为①连接，；②由求出，；结合图形即可写出满足条件的直线的斜率的取值范围． 活学活用 1．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设，当直线过点时，斜率， 当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为.故选：C. 2．（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此，故选：C 题型 求直线的倾斜角 ▌例1 （25-26高二上·江西·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限.故选：B. 解题贴士 求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线上方向与轴的正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：． ▌对点练1-1 （25-26高二上·广东清远·阶段检测）若，两点的横坐标均为，则直线的倾斜角和斜率分别为（    ） A．， B．，不存在 C．， D．，不存在 【答案】B 【解析】因为，两点横坐标相等，所以与轴垂直，故倾斜角为，斜率不存在.故选：B. ▌对点练1-2 （多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为．故选：AB ▌对点练1-3 （25-26高二上·贵州六盘水·期中）已知直线经过原点和点，则直线的倾斜角（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由直线经过原点和点，可得直线斜率为，即， 因为，所以，所以直线的倾斜角为.故选：C. 题型 求直线的斜率 ▌例2 （25-26高二上·江西宜春·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】点所在直线的斜率为.故选：A 解题贴士 求直线斜率的方法 （1）定义法：已知直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率． （2）公式法：已知直线任意两点的坐标，求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率． ▌对点练2-1 （25-26高二下·河南濮阳·期中）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以.故选：B. ▌对点练2-2 （25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【解析】由题意知，所以， 所以，解得.故选：A. ▌对点练2-3 （25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率_________. 【答案】 【解析】由图可知, 所以直线的斜率 . 题型 斜率与倾斜角的概念辨析 ▌例3 （23-24高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确； 对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确； 对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1， 由于，因此这条直线必过点，故D正确.故选：BCD 解题贴士 解题核心是明确倾斜角唯一对应直线倾斜状态、斜率反映倾斜程度的大小，牢记倾斜角取值范围与倾斜角为90°时斜率不存在的特殊情况，区分倾斜角越大斜率越大的分段变化规律，规避“倾斜角相等斜率一定相等、斜率正负与倾斜角混淆”等概念误区． ▌对点练3-1 （25-26高二上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【解析】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确； 命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误； 命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误； 命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误. 综上，正确的命题有1个.故选：B ▌对点练3-2 （25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是：（    ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【解析】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确；故选：BD ▌对点练3-3 （25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误;故选：AD. 题型 图象中的斜率与倾斜角 ▌例4 （25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，.故选：AD 解题贴士 结合函数与直线图象，根据直线升降趋势判断斜率正负，依据直线陡峭程度比较斜率大小，结合倾斜角锐角、钝角分类分析斜率变化，利用数形结合思想直观判断斜率与倾斜角的对应关系，快速解决图象辨析、大小比较类问题． ▌对点练4-1 （25-26高二上·广西·阶段检测）图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象可得，倾斜角， 故， 又在上单调递增， 故.故选：A. ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津河北·期中）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小.故选：B. ▌对点练4-3 （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知：，的倾斜角均为锐角，，的倾斜角均为钝角， 且的倾斜角小于的倾斜角，的倾斜角小于的倾斜角， 则．故选：B 题型 直线的方向向量与斜率关系 ▌例5 （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【解析】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 解题贴士 已知直线斜率可直接构造对应方向向量，已知直线方向向量可通过坐标比值快速求解斜率，解题时利用方向向量坐标与斜率的比值关系相互转化，同时注意直线垂直x轴时方向向量横坐标为0、斜率不存在的特殊情况，实现向量与直线斜率的灵活互化应用． ▌对点练5-1 （25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的倾斜角为的一个方向向量为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】因为直线的倾斜角为，所以其斜率， 又因为的一个方向向量为，所以，即．故选：D. ▌对点练5-2 （25-26高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是.故选：A. ▌对点练5-3 （25-26高二上·天津红桥·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过，两点的直线的方向向量，其中为原点， 依题意，，所以.故选：A 题型 利用直线的斜率处理共线问题 ▌例6 （25-26高二上·河南安阳·阶段检测）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【解析】因为、、三点共线，所以， 即，解得.故选：C． 解题贴士 证明三点共线有很多方法，而证明已知坐标的三点共线，利用斜率是最为简单的方法．若两直线，的斜率相等，则三点共线；反过来，若三点共线，则直线，的斜率相等（斜率存在时）或直线，的斜率都不存在． ▌对点练6-1 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由三点共线得，即，解得．故选：A. ▌对点练6-2 （25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线l的斜率. 因为，所以， 即直线l的斜率的取值范围是.故选：C ▌对点练6-3 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知不能构成三角形，则_____． 【答案】 【解析】已知不能构成三角形， 所以三点共线，因为，所以直线的斜率存在， 即. 基础通关 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，由正切函数的性质可得，故选：C. 2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则，． 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的方向向量坐标为，故直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为.故选：A 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】因为过两点的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为1，所以，解得． 故选：B． 5．（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以.故选：D 6．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】C 【解析】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错； B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错； C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对； D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错． 故选：C 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 8．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 【答案】 【解析】由题，， 又，所以. 9．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【解析】由题意，则，即. 10．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 素养提升 11．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴.故选：D. 12．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因在直线l上， 则直线的斜率. 当时，，当且仅当时，等号成立，则，即； 当时，，当且仅当时，等号成立，则，即. 综上，直线的斜率的取值范围是.故选：C 13．（25-26高二上·天津·阶段检测）设直线l的斜率为k，且关于x的一元二次不等式的解集为空集，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于的一元二次不等式的解集为空集， ，解得． 即，又， ．故选：C． 14．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由题意得直线斜率为2，有，则， 依题意有或， 当时，， 即，解得，即直线的斜率为； 当时，， 即，解得，即直线的斜率为； 综上所述，直线的斜率为或.故选：B． 15．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 迁移创新 16．（25-26高二上·湖北·期中）直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定.设直线经过点，它的一个方向向量是，是直线上的任意一点，则存在唯一的实数，使，即，我们把这个方程称为直线的参数方程.已知直线的参数方程为（为参数），则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的方向向量， 所以直线的斜率，又，则.故选：D 17．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示： 将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转， 当的倾斜角为锐角时，且当直线从靠近轴的位置旋转至直线时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则； 当的倾斜角为钝角时，且当直线从直线的位置旋转至靠近轴的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则， 当直线与轴重合时，. 综上所述，的取值范围是.故选：D. 18．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】   可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $