专题2.1 直线的倾斜角与斜率 重难点题型专训讲义（2个知识点+12大基础题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高二上学期数学重难点专训（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学讲义以“直线的倾斜角与斜率”为核心，通过表格对比（如倾斜角与斜率对应关系表）和知识框架图系统梳理2个知识点，涵盖定义、公式及平行垂直判定，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于12大基础题型与2大提高题型的分层设计，如“直线与线段相交求斜率范围”培养数学思维，“平行垂直判定几何应用”强化数学语言表达。每个题型配典型例题与即时训练，基础学生可夯实概念，优秀学生能深化探究，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题2.1 直线的倾斜角与斜率重难点题型专训 （2个知识点+12大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、直线的倾斜角 题型二、直线斜率的定义 题型三、斜率与倾斜角的变化关系 题型四、已知两点求斜率 题型五、已知斜率求参数 题型六、斜率公式的应用 题型七、直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八、由斜率判断两条直线平行 题型九、由斜率判断两条直线垂直 题型十、已知直线平行求参数 题型十一、已知直线垂直求参数 题型十二、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 第二部分·练提高题型 题型一、倾斜角与斜率的相关求解 题型二、两条直线平行和垂直的判定 第三部分・自我检测 知识点01 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【即时训练】 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 知识点02  两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【即时训练】 1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 2．（25-26高二上·上海·期末）若直线：与直线：互相垂直，则______． 【基础题型一 直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期末）直线的倾斜角为___________. 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【基础题型二 直线斜率的定义】 【例2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南驻马店·期末）直线的斜率为（    ） A．0 B． C． D．不存在 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B．平行于轴的直线的倾斜角是或 C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 3．（24-25高三上·福建三明·期末）已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为___． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知下列直线的倾斜角或斜率，求相应的斜率或倾斜角： (1)； (2)； (3)； (4)－1． 【基础题型三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【基础题型四 已知两点求斜率】 【例4】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山东青岛·期末）经过、两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）（多选）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为_________． 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段检测）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【基础题型五 已知斜率求参数】 【例5】（25-26高二上·江苏常州·期中）经过，两点的直线的倾斜角为0，则实数的值为（   ） A．-1 B． C．1 D．3 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津西青·期中）已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为__________. 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【基础题型六 斜率公式的应用】 【例6】（25-26高二上·广西·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 4．（2026高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【基础题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例7】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 1．（24-25高二上·河北·阶段检测）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西长治·阶段检测）（多选）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 4．（25-26高二上·黑龙江七台河·阶段检测）经过点作直线，且直线与连接点，的线段没有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围． 【基础题型八 由斜率判断两条直线平行】 【例8】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）（多选）下列说法错误的有（   ） A．若两直线斜率相等，则两直线平行； B．若，则； C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【基础题型九 由斜率判断两条直线垂直】 【例9】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）（多选）已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为（   ） A． B． C． D．不存在 3．（25-26高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______． 4．（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【基础题型十 已知直线平行求参数】 【例10】（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 1．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A．1或 B．1 C． D．不存在 2．（25-26高二上·陕西西安·期中）（多选）若平面内两条直线与平行，则实数（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 4．（25-26高二·全国·课堂例题）设为实数，直线，．若，求的值． 【基础题型十一 已知直线垂直求参数】 【例11】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 1．（25-26高二上·山东济南·期末）已知直线与垂直，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 4．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）给出两条直线，，其中. (1)设，求； (2)求的值，使得 【基础题型十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例12】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）直线的图象与直线的交点个数是（     ） A．1个 B．0个 C．0个或1个 D．1个或2个 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【提高题型一 倾斜角与斜率的相关求解】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州·期中）（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 4．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【提高题型二 两条直线平行和垂直的判定】 【例2】（24-25高二上·广西玉林·阶段检测）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 1．（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 3．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 4．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 2．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 5．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若直线：与：互相垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 6．（24-25高二上·河北衡水·期中）（多选）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 7．（24-25高二上·江苏南京·期中）（多选）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 8．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）（多选）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 9．（25-26高二上·辽宁大连·期中）（多选）已知直线和直线，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 11．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 12．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 14．（2026高二·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是______． 15．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 16．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 17．（24-25高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 18．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 19．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 20．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率重难点题型专训 （2个知识点+12大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、直线的倾斜角 题型二、直线斜率的定义 题型三、斜率与倾斜角的变化关系 题型四、已知两点求斜率 题型五、已知斜率求参数 题型六、斜率公式的应用 题型七、直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八、由斜率判断两条直线平行 题型九、由斜率判断两条直线垂直 题型十、已知直线平行求参数 题型十一、已知直线垂直求参数 题型十二、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 第二部分·练提高题型 题型一、倾斜角与斜率的相关求解 题型二、两条直线平行和垂直的判定 第三部分・自我检测 知识点01 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【即时训练】 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 【答案】 【分析】根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知，解之得. 故答案为： 知识点02  两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【即时训练】 1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【答案】A 【分析】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【详解】若，则，解得或3， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则时，. 故选：A. 2．（25-26高二上·上海·期末）若直线：与直线：互相垂直，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线：与直线：互相垂直，得， 所以. 故答案为： 【基础题型一 直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 3．（24-25高一上·上海·期末）直线的倾斜角为___________. 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【答案】 【分析】根据5颗星的位置情况知，过作轴的平行线并确定的大小，即可知所在直线的倾斜角. 【详解】都为五角星的中心点， 平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为知：， 过作轴的平行线，如下图，则，   直线的倾斜角为. 【基础题型二 直线斜率的定义】 【例2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系即可得解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为, 则， 又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：C. 1．（25-26高二上·河南驻马店·期末）直线的斜率为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程 （， 为常数），其中 就是直线的斜率，所以要确定直线 的斜率，只需根据斜截式方程的形式，找出对应的 值即可. 【详解】因为（， 为常数），其中 为直线的斜率， 为直线在 轴上的截距， 将直线 与斜截式方程 进行对比，可得 ，， 因此，直线 的斜率为 . 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B．平行于轴的直线的倾斜角是或 C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 【答案】AC 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，A对； 对于B选项，平行于轴的直线的倾斜角是，B错； 对于C选项，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等，C对； 对于D选项，若两条直线的倾斜角都是直角时，则这两条直线的斜率都不存在，D错. 故选：AC. 3．（24-25高三上·福建三明·期末）已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为___． 【答案】或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分） 【分析】由题意利用一条直线到另一条直线的夹角公式，求得与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率. 【详解】解：某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为， 设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为，且， 则， 解得. 故答案为：或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分） 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知下列直线的倾斜角或斜率，求相应的斜率或倾斜角： (1)； (2)； (3)； (4)－1． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）求角的正切值； （2）求角的正切值； （3）由角的正切值求角； （4）由角的正切值求角． 【详解】（1）斜率为； （2）斜率为； （3）设倾斜角为，则，又，所以； （4）设倾斜角为，则，又，所以． 【基础题型三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 【基础题型四 已知两点求斜率】 【例4】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 1．（25-26高二上·山东青岛·期末）经过、两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，经过、两点的直线斜率为. 故选：B. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）（多选）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】求出极端位置的斜率即可得到答案. 【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故. 对比选项可知ABC符合题意． 故选：ABC. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段检测）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 【基础题型五 已知斜率求参数】 【例5】（25-26高二上·江苏常州·期中）经过，两点的直线的倾斜角为0，则实数的值为（   ） A．-1 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直线平行于轴，则，可解. 【详解】根据经过，两点的直线的倾斜角为0， 即直线平行于轴， 则，解得. 故选：C 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据过两点的直线的斜率公式求的值. 【详解】由题意：. 故选：D 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可． 【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，， 当点B在轴上时，设，由，可得，解得， ， 所以点B坐标为或. 故选：BC. 3．（25-26高二上·天津西青·期中）已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为__________. 【答案】2 【分析】根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】因为直线过两点且斜率为1， 则，解得， 所以实数的值为2. 故答案为：2. 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【分析】由点在坐标轴上，分轴两类情况设点的坐标，由斜率建立等式求解方程可得. 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 【基础题型六 斜率公式的应用】 【例6】（25-26高二上·广西·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率与倾斜角关系即可得到答案. 【详解】设其倾斜角为，则，因为， 则. 故选：B. 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 3．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 4．（2026高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 【基础题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例7】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 1．（24-25高二上·河北·阶段检测）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式，即可结合图形，结合斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B    2．（25-26高二上·山西长治·阶段检测）（多选）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，求出直线、的倾斜角即得解. 【详解】设，由题得,所以直线的倾斜角为. 由题得,所以直线的倾斜角为. 由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角. 故选：BC 3．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 4．（25-26高二上·黑龙江七台河·阶段检测）经过点作直线，且直线与连接点，的线段没有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围． 【答案】倾斜角的范围是，斜率的范围是. 【分析】先求出与线段相交时直线的倾斜角的范围与斜率范围，再讨论不相交的情况即可. 【详解】解：因为，， 所以，当直线与线段相交时，由图可知，，即， 所以或， 由于在及均为增函数， 所以直线的倾斜角的范围为：. 故倾斜角的范围为，斜率的范围是. 所以，直线与连接点，的线段没有公共点时，倾斜角的范围为，斜率的范围是. 【基础题型八 由斜率判断两条直线平行】 【例8】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 1．（25-26高一上·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【分析】由两直线的位置关系进行判断． 【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）（多选）下列说法错误的有（   ） A．若两直线斜率相等，则两直线平行； B．若，则； C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行. 【答案】ABD 【分析】利用直线平行或相交的判断进行分析即可. 【详解】当时，与平行或重合，故A错误； 当斜率不存在时，与也平行，故B错误； 一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则它们必然相交，故C正确； 两直线斜率都不存在，与平行或重合，故D错误. 故选：ABD. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【基础题型九 由斜率判断两条直线垂直】 【例9】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）（多选）已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】BD 【分析】分为和，两种情形，根据两直线垂直和斜率的关系可得结果. 【详解】当时，由知，.故B可能正确； 当时，的斜率不存在，故D可能成立. 故选：BD 3．（25-26高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【详解】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 4．（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据判断直线垂直； （2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直； （3）方法一：根据判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 【基础题型十 已知直线平行求参数】 【例10】（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 1．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A．1或 B．1 C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可. 【详解】因为，所以，解得 时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去. 时，两直线不重合，满足题意. 故选：C 2．（25-26高二上·陕西西安·期中）（多选）若平面内两条直线与平行，则实数（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】BD 【分析】根据两直线平行，利用直线平行的条件列出方程求解即可. 【详解】与平行， 故，解得或， 经检验，和均符合题意. 故选：BD 3．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且， 解得，即实数. 4．（25-26高二·全国·课堂例题）设为实数，直线，．若，求的值． 【答案】． 【分析】平行的两条直线的斜率相等.故只需验证其斜率存在的情况下分别求得两条直线的斜率，令它们相等，解方程即可解决. 【详解】由直线的方程可知，它的斜率． 因为，所以直线的斜率存在，设为，且． 又由直线的方程可知，它的斜率， 所以，解得． 将代入直线得即，所以当时两直线平行且不重合. 【基础题型十一 已知直线垂直求参数】 【例11】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 1．（25-26高二上·山东济南·期末）已知直线与垂直，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两条直线垂直的公式求解. 【详解】将直线化为， 直线与垂直， ，. 故选：C. 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】CD 【分析】根据两条直线垂直系数关系列式计算求解. 【详解】直线与直线垂直， 则，所以或. 故选：CD. 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 【答案】1或 【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 4．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）给出两条直线，，其中. (1)设，求； (2)求的值，使得 【答案】(1) (2) 【分析】直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与相交； （4）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以时， （2）当时，即时， 【基础题型十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例12】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 1．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）直线的图象与直线的交点个数是（     ） A．1个 B．0个 C．0个或1个 D．1个或2个 【答案】C 【分析】根据两条直线的位置关系即可求解 【详解】当两条直线平行时，无交点；当两条直线相交时，有1个交点； 所以直线的图象与直线的交点个数是0个或1个， 故选：C 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    4．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【提高题型一 倾斜角与斜率的相关求解】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 1．（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，根据倾斜角变化得到斜率变化. 【详解】如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到轴的过程中，倾斜角变大到，斜率增大到正无穷，此时斜率为，此时直线的斜率的取值范围为， 从轴旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始增大，此时斜率为， 此时直线的斜率的取值范围为，综上直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 2．（25-26高二上·贵州·期中）（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可. 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 4．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 【提高题型二 两条直线平行和垂直的判定】 【例2】（24-25高二上·广西玉林·阶段检测）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】两直线斜率存在时，根据直线平行和垂直位置关系的判定可知①③正确；②④的直线中均可以有斜率不存在的直线，则②④错误. 【详解】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确； 当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误； 根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确； 当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直， 但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 故选：B 1．（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 3．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 4．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当时，即时，与相垂直. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 2．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 4．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行系数关系列式计算再检验是否重合即可求解. 【详解】直线与直线平行， 则，所以或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 故选：A. 5．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若直线：与：互相垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可. 【详解】直线的斜率.当时，直线的斜率不存在，不满足. 当时，直线的斜率. 由，得，即，解得. 故选：C 6．（24-25高二上·河北衡水·期中）（多选）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解. 【详解】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确； 故选：ACD. 7．（24-25高二上·江苏南京·期中）（多选）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 【答案】ABD 【分析】分别计算出直线过点,时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得. 已知，，根据直线斜率公式，可得. 根据题意，直线与线段有交点，则. 故选：ABD. 8．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）（多选）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 9．（25-26高二上·辽宁大连·期中）（多选）已知直线和直线，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据两直线平行求的值，可判断AB的正误；根据两直线垂直求的值，可判断CD的真假. 【详解】由或. 故A正确，B错误； 由. 故CD正确. 故选：ACD 10．（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 11．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    12．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，再利用表示斜率，解不等式即可． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率， 又因为，可得直线的斜率，解得， 即的范围为， 故答案为：． 14．（2026高二·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是______． 【答案】平行 【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】由题意可得， 则方程， 即， 它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故表示与平行的直线， 故答案为：平行 ． 15．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用两直线垂直条件可得两直线斜率之积为，从而可求得坐标. 【详解】由点P在y轴正半轴上，可设点， 由点和，可得 因为∠APB为直角，所以， 即， 因为，所以，即点， 故答案为： 16．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 17．（24-25高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)，，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    18．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 19．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 20．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)(I);(II) 【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断； （2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断； （3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解. 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 学科网（北京）股份有限公司 $