7.6直线与圆锥曲线位置关系讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.6直线与圆锥曲线位置关系 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 解析几何解答题的第一问几乎都在做同一件事：把直线方程代进曲线方程，得到一个一元二次方程，然后用判别式和韦达定理说话。这一步做不顺，后面的弦长、面积、定点、定值全都无从谈起。 从近几年新课标卷看，命题有三个稳定的落点：一是位置关系判定（含参直线与曲线有几个公共点，尤其要注意“二次项系数为零”的退化情形）；二是弦长与中点（弦长公式、点差法）；三是结构式求值或证明（斜率之和为零、数量积、倒数和），这类题的关键是把目标式化成只含 与 的式子。 表 1: 高考直线与圆锥曲线考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2024 新课标Ⅰ卷 16 椭圆上两点与过定点的弦，已知三角形面积反求直线，联立后算弦长与点线距 2023 新课标Ⅱ卷 21 双曲线中过定点的弦交同一支，证两线交点在某定直线上 2022 新高考Ⅰ卷 21 双曲线中 ，由韦达定理反求直线斜率 2021 新高考Ⅰ卷 21 双曲线右支，，求两弦斜率之和 2019 全国Ⅰ卷（理） 19 抛物线 的焦点弦，已知 反求直线 2018 全国Ⅰ卷（理） 19 椭圆中证明 ，转化为斜率之和为零 2018 全国Ⅰ卷（文） 20 抛物线中证明 ，同一结构 表 1 有两条信息值得注意。一是年份连续：从 2018 到 2024，解析几何解答题几乎每年都落在联立与韦达上，只是换了曲线和问法；二是问法收敛：七道题里有五道的第二问本质相同——要证两角相等，就证两条直线的斜率之和为零，而要证斜率之和为零，只能靠韦达定理把 与 代进去。此外，选择填空题还常单独考有“几个公共点”“弦长是多少”，那正是本讲的模型一与模型二。这就是本讲的核心链条。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 联立消元 代入曲线方程，整理成一元二次方程 会选消 还是消 判别式 两交点， 相切， 无交点；前提 会讨论退化 韦达定理 ， 会把目标式化为对称式 弦长公式 ；设 时改用 会选对“斜率归属” 点差法 椭圆 ，双曲线取正号 会推导，会验前提 二、知识梳理：把“联立”变成一套固定动作 这一节的四段内容合起来就是一条流水线：设线 → 联立 → 韦达 → 化归。每一段都有它的前提条件，缺一个就会在考场上丢分。 （一）联立：先决定“消谁” 把直线写成 代入曲线，消去 ，得到关于 的二次方程；也可以把直线写成 代入，消去 ，得到关于 的二次方程。两种写法算出的结果一致，但运算量差别很大： · 曲线含 与 且系数相差大时，消去“系数小”的那个变量更省力； · 目标是 、 的题（如焦点弦），直接消 保留 ； · 目标是 的题，消 保留 。 （二）判别式：位置关系的唯一判据，但有前提 联立得到 后，。结论是： 有两个不同公共点； 相切（一个公共点）； 没有公共点。 但这套结论的前提是 。对椭圆， 恒不为 0，可以放心用；对双曲线与抛物线， 可能为 0——此时方程退化为一次方程，直线与曲线仍恰有一个公共点，但它不是切点，而是“与渐近线平行”或“与对称轴平行”。 三种只有一个公共点的情形 相切： 且 ——直线与曲线在一点处“贴着走”。 与渐近线平行（双曲线）：——直线与一条渐近线平行，只穿过一支，恰一个交点。 与对称轴平行（抛物线）：消元后二次项系数为 0——直线与对称轴平行或重合，恰一个交点。 三者的共同结论都是“一个公共点”，但成因完全不同，题目若问“只有一个公共点”，三种都要算。 （三）韦达定理：目标式必须先化成对称式 设交点 ，，韦达定理给出 与 。凡是能用这两个量表示的式子，都叫对称式，可以一步算出；凡是不能的，就要先变形。 常用的三个变形要背熟： 其中 是最容易被卡住的一个，代入 后得 （四）弦长与中点：两个公式，两个前提 弦长公式的实质是“两点间距离 + 韦达定理”： 若直线设成 ，则把 换成 、把 换成 ：。这一步最容易错：设的是 ，却仍用 。 对抛物线 ，过焦点的弦还有更快的算法： 中点弦用点差法：把两个交点坐标分别代入曲线方程再相减，立刻得到斜率与中点坐标的关系。以椭圆 为例，设中点 ，则 这个公式只能给出“必要”的斜率，必须回头验证 ——否则会得到一条根本不存在的中点弦（例题 3 的检验、检测 B6 的反例都在这上面）。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 解析几何题的题面很长，但“该做什么”由三个特征决定：直线是定是动、问的是位置还是长度、给的是中点还是对称式。按这三点分成五个模型。 表 3: 直线与圆锥曲线的五个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 交点个数 问“有几个公共点”“求 的范围” 联立后看 例 1 二 · 弦长 给出 ，或问焦点弦长 韦达 + 弦长公式 例 2 三 · 中点弦 给出弦的中点坐标 点差法，再验 例 3 四 · 结构式 证角相等、斜率之和、数量积 目标式化对称式 例 4 五 · 退化型 双曲线/抛物线 + 含参直线 先查二次项系数 例 5 （一）模型一：交点个数——判别式说话 题面问“直线与曲线有几个公共点”或“求参数范围使它们有两个交点”，就是模型一。动作固定：联立、整理成二次方程、算 、按符号分类。要额外留意直线是否恒过定点——若定点恰在曲线上，那么“过该点的切线”就是一个天然的临界状态。 （二）模型二：弦长——先把弦长写成参数式 给出弦长求直线，或给出直线求弦长，都是模型二。关键是先写出一条含参数的弦长表达式（用韦达定理与 ），再让这个表达式等于（或最值于）题给数值。 （三）模型三：中点弦——点差法求斜率，回代验存在 给出弦的中点，求弦所在直线的斜率或方程，用点差法最快。但点差法只用了“相减”这一必要关系，没有用到“确实相交”，所以求出斜率后必须检验中点是否在曲线内部、直线是否真的与曲线交于两点。 （四）模型四：结构式——把目标翻译成对称式 证明两角相等、两直线垂直、“斜率之和为零”“某两个量的倒数和为定值”，都属于模型四。动作分三步：把几何结论翻译成代数等式（角相等 → 斜率之和为零；垂直 → 数量积为零），把等式中的 全部换成 ，最后用韦达定理代入。 （五）模型五：退化型——二次项系数可能为零 双曲线与抛物线联立时，二次项系数含参数，可能取到 0。这时方程不是二次的，判别式失效，“一个公共点”要单独算。题面若只问“只有一个公共点”，答案往往不止两个。 四、例题精讲 五道例题一一对应上面五个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 设线联立 → 韦达化归 → 验前提。最后一步专管四件事：二次项系数是否为零、 是否为正、设的直线形式有没有漏掉一类直线、中点弦是否真的存在。 （一）模型一：交点个数 例题 1（模型一·交点个数） 已知直线 ： 与椭圆 ：。当 为何值时， 与 恰有两个不同的公共点？ 第 1 步 · 认模型：给定含参直线与定曲线，问公共点个数——模型一，走判别式。 第 2 步 · 设线联立：直线已给，直接代入： 第 3 步 · 韦达化归：二次项系数 恒成立，故方程确实是二次的。判别式 于是 。 第 4 步 · 验前提： 时确实有两个不同公共点。再单独看 ：直线为 ，方程化为 ，只有一个根 ，即与椭圆相切于 (0,1)。 故当 时， 与 有两个不同的公共点。 图 1: 三条直线都过椭圆上的点 (0,1)：水平的一条相切，斜的两条各再交一点 定点在曲线上的题，临界状态是切线 本题三条直线都过 (0,1)，而 (0,1) 恰在椭圆上。过曲线上一点的直线，除切线外必与曲线再交一点，所以“两个公共点”与“一个公共点”的分界正好是切线。看出这一点，就能预判答案只可能漏掉 这一个值。 （二）模型二：弦长 例题 2（模型二·焦点弦长） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点。若 ，求直线 的方程。 第 1 步 · 认模型：给出弦长求直线，且直线过焦点——模型二，用焦点弦公式最快。 第 2 步 · 设线联立： 在 轴上，设 。这样设的好处是一次覆盖所有过 的直线（包括竖直线 ，对应 ），不必讨论“斜率是否存在”。 此时二次项系数为 ， 恒成立，故 与 恒有两个交点。 第 3 步 · 韦达化归：由韦达定理 抛物线的 ，焦点弦长 第 4 步 · 验前提：令 ，得 ，即 。分别代入： 时 ，即 ； 时 ，即 。 两条直线的斜率都存在且不为 0，与抛物线的交点确实有两个（ 已验证），前提齐全。 故 的方程为 或 。 图 2: 过焦点 的弦：长度等于两端点到准线的距离之和，即 焦点弦的三个秒算结论 抛物线 的焦点弦满足：（ 为倾斜角）；；。 第三条推出一个常用结论：过焦点的弦满足 ，与弦的方向无关。检测 C9 就是它的逆用。 （三）模型三：中点弦 例题 3（模型三·中点弦） 已知椭圆 ：，弦 的中点为 ，求直线 的斜率。 第 1 步 · 认模型：给出弦的中点，求弦的斜率——模型三，用点差法。 第 2 步 · 设线联立：设 、，则 第 3 步 · 韦达化归：两式相减： 把 、 代入，并记 ，得 第 4 步 · 验前提：两件事。 （1）中点必须在椭圆内部：，满足。 （2）这样的弦必须真的存在：直线 为 ，代入椭圆得 确有两个交点 (0,2) 与 (4,0)，其中点正是 (2,1)。 故直线 的斜率为 。 图 3: 中点弦 AB 的中点为 M，斜率由点差法求得 点差法只给“必要条件” 点差法用到的只是“两点都在曲线上”，它不保证“这样的两点真的存在”。检测 B6 会给出一个反例：按点差法算出的斜率代回去，直线与双曲线根本没有交点。所以中点弦题的第四步永远是“回代验 ”，不是可选项。 （四）模型四：结构式 例题 4（模型四·斜率之和为零） 设椭圆 ： 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，点 的坐标为 (2,0)。设 为坐标原点，证明：。 第 1 步 · 认模型：要证两角相等，而 、 都在 轴上，于是 与 分别在直线 、 与 轴的夹角上——两角相等等价于 。这是模型四。 第 2 步 · 设线联立： 在 轴上，设 ：。代入椭圆： 二次项系数 ， 恒成立。 第 3 步 · 韦达化归： 两者之间有一个漂亮的关系： 下面算斜率之和。由 得 ，于是 由 知分子为 0。分母 不为零。故 ，即直线 与 的倾斜角互补，从而 。 第 4 步 · 验前提：设 覆盖了所有过 且不与 轴重合的直线，但漏掉了 ：。补验：当 为 轴时，、 为椭圆的左右顶点 ，此时 、、、 共线，，结论成立。 综上，对任意过 的直线 ，都有 。 图 4: 过焦点 F 的弦 AB 与 x 轴上的点 M，两条虚线为目标直线 这类题的通用套路：三句口诀 角相等 → 斜率之和为零（倾斜角互补）；垂直 → 数量积为零（）；共线 → 斜率相等。 翻译完之后，把 一律换成 （或 ），目标式就只剩 与 ，韦达一代即得。 （五）模型五：退化型 例题 5（模型五·退化型） 已知双曲线 ：，直线 ：。若 与 只有一个公共点，求 的值。 第 1 步 · 认模型：双曲线与含参直线，问“只有一个公共点”——模型五。二次项系数可能为零，必须分类。 第 2 步 · 设线联立：代入消 ： 第 3 步 · 韦达化归：按二次项系数分类。 （1），即 。此时 是一次方程 ，恰有一个解。几何上是直线与双曲线的渐近线 平行，只穿过一支，故只有一个公共点。 （2），即 。此时 是二次方程，“只有一个公共点”当且仅当相切，即 解得 ，即 。 第 4 步 · 验前提：把四个值代回检验。 时 为 ，，，代入双曲线得 ，确实在曲线上。 时同理得 。 时 ，为切点。 故 的取值为 或 ，共四个。 图 5: 与渐近线平行的直线只与一支相交，故只有一个公共点 出现“只有一个公共点”，先问三个问题 一是二次项系数会不会为零（双曲线、抛物线必须查）；二是直线会不会与渐近线或对称轴平行；三是相切是否在允许的范围内。本题四个答案里，两个来自“平行”，两个来自“相切”——只算相切会丢一半分。 五、易错点辨析 表 4: 本讲五个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 双曲线题只算 忘了二次项系数可能为零 先令二次项系数为 0 单独解，再算 设 不谈竖直线 斜率不存在的那条被漏掉 定点在 轴上时改设 设 不补水平线 该形式覆盖不了 为常数的直线 单独补验 点差法求出斜率就写答案 没验中点弦是否真的存在 回代求交点，或验证 弦长用错 设的是 ， 已不是斜率 改用 表中五条是本章联立类题目最常失分的地方，共同特征是：算式本身没错，错在前提没查。做题时把最后一列当成检查清单，逐条过一遍即可。 六、当堂检测 A 组对应五个模型的基本动作，限时 20 分钟；B 组是结构式与反例辨析，限时 20 分钟；C 组是压轴小问。 （一）A 组：基础过关 A1 直线 与椭圆 的公共点个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 A2 已知抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 、 两点，求 。 A3 已知椭圆 的弦 的中点为 ，求直线 的斜率。 A4 直线 与双曲线 的公共点个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与 有关 （二）B 组：能力提升 B5 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线交于 、 两点，若 中点的纵坐标为 2，求直线 的方程。 B6 已知双曲线 ：，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 为 的中点。是否存在这样的直线 ？说明理由。 B7 设抛物线 ：，点 ，，过点 的直线 与 交于 、 两点。证明：。 B8 已知椭圆 与直线 ： 有两个不同的公共点，求 的取值范围。 （三）C 组：压轴突破 C9 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，且 ，求 的值。 C10 已知点 在双曲线 ： 上，直线 交 于 、 两点，且直线 、 的斜率之和为 0。求直线 的斜率。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：C。 提示：代入得 ，即 ，，故有两个公共点。易错点：解出 与 两个根后忘了它们对应的是两个不同交点，误答“1 个”。 A2答案：16。 提示：，，直线为 。代入得 ，，故 。也可用 验算。 A3答案：。 提示：点差法，，，，，故 。中点 (1,1) 在椭圆内（），弦确实存在。 A4答案：B。 提示：所求直线斜率与双曲线的渐近线 中的一条平行。代入得 ，二次项系数为零，方程退化为一次方程，恒有唯一解，与 无关。这正是“退化型”的典型。 （二）B 组 B5答案：。 提示：设 ，代入得 。中点纵坐标为 ，故 ，直线为 ，即 。注意 时中点在 轴上，不合题意。 B6答案：不存在。 提示：点差法。两点坐标代入 后相减，用 、 得 直线为 。代回双曲线： ，直线与双曲线没有交点。故这样的弦不存在。这就是“点差法只给必要条件”的教科书级反例。 B7答案：证明见下。 提示： 在 轴上，设 ：。代入 得 ，故 ，。要证 ，只需证 （因为 就是 轴正方向）： 分子 ，分母 ，故斜率之和为零。再补验 为 轴时的情形（此时 、 中一个与原点重合，两角都为 0）。 B8答案： 或 。 提示：代入得 ，二次项系数恒不为零。由 得 ，即 。 （三）C 组 C9答案：。 提示：设 ，代入 得 ，故 ，。于是 而 中的 ，故 由 得 。 C10答案：。 提示：把 代入得 ，化简得 ，故 ，双曲线为 。设 ：，联立得 由 去分母得 代入韦达定理并整理，得 。若 ，则 过点 ，与“ 交 于 、 两点”矛盾（此时 就是交点），故只能 。 学科网（北京）股份有限公司 $