题组1：导数的概念及运算 A层讲义-2027届高三数学一轮复习

题组1：导数的概念及运算 目录 ⊙知识清单⊙ 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则..-1- 3.复合函数的导数…。 …2- 4.常用结论 5.导数运算的常见形式及其求解方法.-2- ⊙典型例题⊙ 考点1：导数的运算 …3 母题1：导数的加、减法求导… -3- 母题2：导数的乘法求导… -5- 母题3：导数的除法求导… 母题4：复合函数的导数运算. …-8- 母题5：导数的混合求导… …-11 考点2：方程思想的应用… …-14- 题组1：导数的概念及运算 ⊙知识清单⊙ 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 f(x)=x"(nEO") f'(x)=x"-l f(x)=e" f'(x)=e" f(x)=sin x f'(x)=cosx f(x)=log。x(a>0,a≠1) f()=1 xIna f(x)=cosx f(x)=-sinx f(x)=Inx f)=1 x f(x)=a'(a>0,a≠1) f'(x)=a*Ina f(x)=C f'(x)=0 2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 3)/0=f8-f8'四g≠0) g(x) [g(x)] 3.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y:=y·:, 即y对x的导数等于y对μ的导数与4对x的导数的乘积。 4.常用结论 ②ny=1 ®点合e0: ④[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x). -2- 5.导数运算的常见形式及其求解方法 先展开化为多项式的形式，再求导 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 先化为和、差的形式，再求导 先化为分数指数幂的形式，再求导 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 如含∫'(x),a,b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导 ⊙典型例题⊙ 考点1：导数的运算 母题1：导数的加、减法求导 母题探究并 求下列函数的导函数 (1)y=x-l0g2x; (2)y=Inx+I 」复盘总结： 导数的加、减运算法则：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) 母题演练汝 1.求下列函数的导数. 1=e (2)f(x)=cos x-2* (3)y=Igx-e* .3 2.求下列函数的导函数 1 (1)y=Inx+-;(2)f(x)=e*+Inx;(3)y=x18+sinx-Inx (4)y=2+sin’cos; 2 s2:(5)y=x-sin *cos 2 2 母题2：导数的乘法求导 母题探究并# 求下列函数的导数. (1)f(x)=xInx (2)f(x)=x2 sin x 1复盘总结： 导数的乘法运算法则：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 母题演练#章 1.求下列函数的导数 (1)y=e*.cos x 2)y= 1 -4 2.（多选)下列导数的运算中正确的是（) A.3=3ln3 B.(x2In x)'=2xInx+x c(m2外- D.(sin x cos x'=cos 2x 3.求下列函数的导函数 (1)y=x2sinx;(2)y=e'sinx-cosx;(3)y=3*e*-2*+e; 母题3：导数的除法求导 母题探究汝汝 求下列函数的导数， 1)f)= 2 (2)f(x)=cosx 1复盘总结： 」导数的四则运算法则： =f'8)-f)8'6四(g)≠0) 1 g(x) [g(x)]2 -5 母题演练并※ 1.已知函数f)二，则其导函数f)=() A.I+x e C.1+x D.1-x 2.求下列函数的导函数 g@y:3)yg,④ 3.下列导数运算错误的是() A.f到=e,则到=x+eB.f=m子，则f到=cos号 C=,则点 D.,则 -6 母题4：复合函数的导数运算 母题探究汝汝 求下列函数的导数： (1)y=ln(6x+4); (2)y=V2x-1;(3)y=cos2x;(4)y=sim2x+ 」复盘总结： (1)概念：一般地，对于两个函数y=f()和u=g(),如果通过变量“，y可以表示成x的函数，那1 1 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)。 1 (2)求导：复合函数y=f(g(x》的导数和函数y=f(0),u=g()的导数间的关系为y片=。u，1 I即y对x的导数等于y对山的导数与M对x的导数的乘积。 母题演练汝 1.求下列函数的导数 (1)f)=(-2x+12;(2)f(x)=n(4x-1);(3)f(x)=2x+2;(4)f(x)=5x+4; -7. 2.下列求导数的运算中正确的是() A.(log,x)=In2 B sinx+cos cos x-sin 3 3 C.(3=x3 .a2x-=2 2x-1 3.(多选)下列求导正确的是() A.(1og2)3'= 1 3ln2 ga2奶- C.(sin2x)'=sin 2x cos x= D.x coSx+sinx x2 4.求下列函数的导数 (1)f(x)=V3-2x (2)f(x)=xln(2x+1) (3)f(x)=e2x-e-x (4)f(x)=sin 2x+cos2x (5)y=f (6)y=ln(2x-5) -8 母题5：导数的混合求导 s.o 母题探究汝 (多选)下列求导正确的是() A.(e=3e B.(2sin x-3)'=2 cosx D.(x cos x)'=cos x-xsin x !复盘总结： ㄧ对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商的求导法则，直接转化为基本函数求导问题。 母题演练杂： 1.【多选题】下列函数的求导运算中，正确的是() A.x2+3e'=2x+3e B.(2sin x-3)'=2cos x b-hs D.(x cos x)'=cos x-xsin x 2.下列式子求导正确的是() A.（x2-cosx=2x-sinx B C.(xe）=1-x)e D.m2y=号 -9 3.求下列函数的导数. (1)f(x)=(-2x+1)2; (2)f(x=ln(4x-1: (3)f(x=2x2; (4)f(x)=V5x+4; (5)y=(3x2-4x)(2x+1); (6)y=3e-2+e; (7)y= Inx 2+15 (8)y=(x2+3)(e+lnx). 考点2：方程思想的应用 母题探究杂汝 已知f=0+4x,则f0=一，f3) !复盘总结： 」求导赋值，通过解方程进行求解 -10- 母题演练并※ 1.己知函数f(x的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'()+lnx,则"（四=(） A.1 B.月 C.-1 D.e 2.已知函数f(x)=f'(0)e2-e,则f(0)= 3.已知函数fx)的导函数为f(x),且满足fx)=x+x2f'+2x-1,则f(2)等于() A.1 B.-9 C.-6 D.4 4.函数的导面数为，若=+号}m,则君- 5.已知函数fx=xlnx+ax2+2,若f'e=0,则a=一 -11-题组1：导数的概念及运算 目录 ⊙知识清单⊙ 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则..-1- 3.复合函数的导数…。 …2- 4.常用结论 5.导数运算的常见形式及其求解方法.-2- ⊙典型例题⊙ 考点1：导数的运算 …3 母题1：导数的加、减法求导… -3- 母题2：导数的乘法求导… -5- 母题3：导数的除法求导… 母题4：复合函数的导数运算. …-8- 母题5：导数的混合求导… …-11 考点2：方程思想的应用… …-14- 题组1：导数的概念及运算 ⊙知识清单⊙ 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 f(x)=x"(nEO") f'(x)=x"-l f(x)=e" f'(x)=e" f(x)=sin x f'(x)=cosx f(x)=log。x(a>0,a≠1) f()=1 xIna f(x)=cosx f(x)=-sinx f(x)=Inx f)=1 x f(x)=a'(a>0,a≠1) f'(x)=a*Ina f(x)=C f'(x)=0 2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 3)/0=f8-f8'四g≠0) g(x) [g(x)] 3.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y:=y·:, 即y对x的导数等于y对μ的导数与4对x的导数的乘积。 4.常用结论 ②ny=1 ®点合e0: ④[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x). -2- 5.导数运算的常见形式及其求解方法 先展开化为多项式的形式，再求导 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 先化为和、差的形式，再求导 先化为分数指数幂的形式，再求导 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 如含∫'(x),a,b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导 ⊙典型例题⊙ 考点1：导数的运算 母题1：导数的加、减法求导 母题探究并※ 求下列函数的导函数 (1)y=-og:*:(2)y=Inx+1 【答案】(1)y=1-1 11 h2;(2) x X2 【解析】(1)因为y=x-log2x,所以y'=1- 1 !复盘总结： 1 导数的加、减运算法则：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) -3 8 题演练汝 1.求下列函数的导数. (1)y=lgx-x (2)f(x)=cosx-2* (3)y=Igx-e* 【答案】(1)y'= 1n10+:2)f'()=-smx-2*h2:(3y=- 1 -ex xIn10 【解析】 1)y=g-(x=1+2 xIn10x3 (2)f(x)=(cos x)-(2*)=-sin x-2*In 2 (3)'=gx-e)=g'-(e=1 2.求下列函数的导函数 (1)y=Inx+;(2)f(x)=e*+Inx;(3)y=x8+sinx-Inx; (4)y+sino 2 (5)y=x-sin*cos 2 2 【答案】(1y是，(8四=e+片：(3》-1：4 x x2 y'=2n2+5cosx;(5)y'=1- 【解析】 y-(-( (2)f'(x)=e+ (3)y=18x”+cosx-1 (4)因为y=2+sincos5=2+)sinx,所以y=2n2+)cosx: 2 2 2 (5》=x2mx,则y=1-。 1 cosx. 2 母题2：导数的乘法求导 母题探究汝汝 求下列函数的导数. (1)f(x)=xInx (2)f(x)=x2 sin x 答案：(1)f'(x)=lnx+1(2)f'(x)=2 x sin x+x2cosx 」复盘总结： ！导数的来法运算法则：[fxg(=f"(x)g()+f)8'() 母题演练汝 1.求下列函数的导数 (1)y=e*.cosx;(2)y=- cos 解析：(1)y'=(e'cosx+e*(cosx)'=e*cosx-e"sinx a-(w小m+mr--o: 13 1 2-2C0sx- cosx 1 sin x cosx 1 一X =sin x r 2vx √x 2x√x 、 cosx+2xsinx 2xVx 2.（多选)下列导数的运算中正确的是（) A.3=3n3 B.(x2In x)'=2xIn x+x ch2r-月 D.(sin x cos x'=cos 2x 解析：ABD -5 因为ln2是常数，所以(ln2'=0,选项C错误，其余都正确 3.求下列函数的导函数 (1)y=x2sinx;(2)y=e'sinx-cosx;(3)y=3*e*-2*+e; 【解析】 (1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx (2)y'=(e*sin x)'-(cosx)'=e*sinx+e*(sin x)'+sin x e*(sin x+cosx)+sinx. (3)y'=(3e）-(2+e'=(3e+3e-(2》 3*e*In 3+3*e*-2*In 2 =(ln3+13e'-2rln2 母题3：导数的除法求导 母题探究杂女 求下列函数的导数， 1)fm=-2 (2)f()=c0sx e 答案：(1)f)=6 (2)f'(x)=- sin x+cosx ; 〡复盘总结： ㄧ导数的四则运算法则： fr=f'x8四-8'6)(g)≠0) 8(x) [g(x)]2 母题演练汝女 1.已知函数)=之，则其导函数了)=() -6 A.1+x Bx C.1+x D.1-x 解析：选B函数f八x)=,则其导函数f=C-C_1-t ,故选B· 2.求下列函数的导函数 (1)y=h.②)y=smx eo(3)y-os.(④fx=sm x2+2x 【答案】①n@roa (3)sco()coxx)-sin(x+2 x2 x2+2x 1 【详解】(1)y-nx-lnxy_ L.x-Inx 1-mnx x2 x2 (2)山已知v-,所以y.血oa_产a- cos2x cos-a cos2a (3)因为y=0,所以/=仁so+o. x2 (4)f(x)=-sinx ,)=cosx(+2)-sinx(2x+2) x2+2x (x2+2x 3.下列导数运算错误的是() A.f(x)=xe*,f(x)=(x+1)e* B.f=sin于，则fx=cos于 C.f刘=G,则f(x=, 2 D.fx)=nx,则"x=1nx x2 【答案】B【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可 【解析】A选项，f(x)=e,则f'(x=(xe+xe=e+xe=(x+1e,A正确： B选项，f八=sm导f-(m到=-0，B错误 C选项，=店=，f到2 2’C正确： D选项，f=，f到-血-nxd-血，D正确 x2 故选：B 母题4：复合函数的导数运算 .7. 母题探究并※ 求下列函数的导数： (1)y=ln(6x+4);(2)y=V2x-1; (3)y=cos'x;(4)y=si 2x+ 解析：)y八-16x+4=、3 6x+4 3x+2 @y-222x--2 (3)y'=2 cos x.(cos x'=-2 cos x.sin x =-sin 2x ④设u=2x+子则)=血，测广产mw=co π 2x+ 3 ∴.y'=2cos π 2x+ 3 」复盘总结： (1)概念：一般地，对于两个函数y=f()和山=g(x),如果通过变量“，y可以表示成x的函数，那1 I 么称这个函数为函数y=f()和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)。 (2)求导：复合画数y=f(g(x)》的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y:=y4:, I即y对x的导数等于y对4的导数与对x的导数的乘积。 母题演练## 1.求下列函数的导数 (1)f(x=(-2x+1)2;(2）)f(x=ln(4x-);(3)f(x=22;(4)f(x=5r+4; 【答案】8-4：@：8x22:④2w4 5 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果 -8 【详解】(1)因为f(x)=(-2x+1)2=4x2-4x+1,所以f"(x=8x-4. (2)因为f(=ln(4x-,所以f=4x- 4 (3)因为f(x)=23*2,所以f'(x)=3×2r+21n2 5 4因为八=5x+4,所以八=25x+425 2.下列求导数的运算中正确的是( A.(log,x)=In2 π B sin x+cos cosx-sin n.2x-=2 2 C. 3=x3 x-1 【答案】D [对于A,(1og,x1 故A错误； xIn2 对于B, sin x+cos =COSx,故B错误； 3 对于C,3'=3n3,故C错误： 对于D,2x-明=，与×2= 2 2x-12-2 2二故D正确.故选D 3.(多选)下列求导正确的是() A.(log23'= 3ln2 B.[ln2x=」 (sinx)'=sin 2x cos x) cosx+sinx C. 【答案】BC[对于A,(log,3'=0,故A错误 对于B,[ln2x小=(n2+lnx'=(ln2+lnx'=二故B正确： 对于C,(sin2x'=2 sin xcosx=sim2x,故C正确； 对于D, coS x cos x)'x-x'cos x-sin x.x-cos x ,故D错误.故选BC.] X 水米米水米水水 -9 4.求下列函数的导数 (1)f(x)=3-2x (2)f(x)=xln(2x+1) (3)f(x)=e2x-e-x (4)f(x)=sin 2x+cos2x )= (6)y=ln(2x-5) 答案： 1)f'()=- 1 3-2x (2)f()=ln(2x+1)+,2x 2x+1 (3)f'(x)=2e2r+e (4)f'(x)=2cos 2x-sin 2x 6)y-f2 2 (6)y'= 2x-5 母题5：导数的混合求导 母题探究：女 (多选)下列求导正确的是() A.(e=3e2 B.(2sin x-3)'=2cos x D.(xcos x)'=cos x-xsin x 解析：BD 对于A中，由(e=3r，所以A错误；对于B中，由 (2sinx-3'=(2inx'-3'=2cosx,所以B正确；对于C中，由 川2+2++2。所以C错碳：对于D中 (2x+1月 (2x+12 x cos x'=cosx-x sinx,所以D正确.故选B、D .es -10- !复盘总结： 〡对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商的求导法则，直接转化为基本函数求导问题， -I 母题演练汝※ 1. 【多选题】下列函数的求导运算中，正确的是() A.x2+3e=2x+3e B.(2sin x-3)'=2 cos x 1+Inx x x2 D.(x cos x)'=cos x-xsin x 【答案】ABD 【解】对于A,x2+3e=x2+3e=2x+3e,故A正确. 对于B,(2sinx-3'=(2sinx'-3'=2cosx,故B正确. 1 对于C, x-lnx1-lnx,故C错误. r? t? 对于D,x coS x'=x'cosx+x·cosx'=cosx-xsin x,故D正确.故选ABD 2.下列式子求导正确的是() A.(x2-cosx)=2x-sinx B. 【答案】C【详解】(cosx'=-sinx,.(x2-cosx=2x-(-sinx=2x+sinx, (=a,可得日-=-2 (xe-)=x'e*+x(e-)'=e*+x(-e-)=(1-x)e, ,ln2是常数，而常数的导数为0，∴.n2y'=0, 故选：C 3.求下列函数的导数 (1)f(x)=(-2x+1); (2)f(x=ln(4x-1; -11- (3)fx)=2*2; (4)f(x)=V5x+4; (5)y=(3x2-4x)(2x+1); (6)y=3e-2+e; Inx (7)y= x2+19 (8)y=(x2+3)(e+lnx). 【答案】D8-4:2):8)3x22:(424 5 (5)y'=18x2-10x-4;(6)y'=(ln3+1(3e'-2ln2;(7)y'=x2+1-2x21nxx x2+12:y1-2xilx (8)y=e+2x+3)+2xx+x+3 x·x2+12 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果。 【详解】(1)因为f(x)=(-2x+1)2=4x2-4x+1,所以f"(x)=8x-4. 2)因为=b4小，所- (3)因为f(x=22,所以f'(x=3×2x*21n2 因为f=54,所以r- 5 (5)y=(3x2-4x2x+1)=6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x .y'=18x2-10x-4 (6)y'=(3e-2+e'=3'e+3e-2=3eln3+3e-2ln2 =(ln3+·(3e'-2ln2 )y1x+x+1-2xx x2+12 x2+12 x2+1-2x2Inx xx2+12 8y+3e+n刘++3e+h-2e+n++3e+ -ex+2x+3)+2xx+x+3 考点2：方程思想的应用 -12- 母题探究并※ 已知f=四+4x,则f①)= ，f'(3)= 【答案】f0=2:f13)=34 【解答】解：)=-0+4，∫0=-f'0+4,0=2 ·fw=-2 9 故答案为：f0=2:f3)=34 !复盘总结： ㄧ求导赋值，通过解方程进行求解。 母题演练杂# 1. 己知函数f(x)的导函数为∫'(x),且满足f(x)=2xf')+lnx,则"()=() A.1 B.月 C.-1 D.e 【答案】C【分析】在等式f(x=2x'(+lnx求导，再令x=1,可得出关于'(1的等式，解之 即可 【详解】在等式)=2")+1x两边求导得了(=2r+上，所以，∫'=2"+1，解得 f'(1=-1, 故选：C 2.己知函数f(x)=f'(0)e2x-e,则f(0)= 【答案】-2【解析】由函数f(x)=f'(0)e2r-e求导得：f'(x)=2f'(0)e2x+e,当x=0时， f(0)=2f(0)+1,解得f'(0)=-1, -13- 因此，f(x)=-e2x-e,所以f(0)=-2. 故答案为：-2 3.已知函数x)的导函数为f(x),且满足fx)=x3+x2f'1+2x-1,则f2)等于() A.1 B.-9 C.-6 D.4 答案C解析因为fx)=x3+x2f'1+2x-1 所以f'x)=3x2+2xf'1+2 把x=1代入f'x) 得'1=3×1+2f1+2,解得f'1=-5 所以(x)=3x2-10x+2,所以f'2)=-6 4函数f的导画数为r,若=+血，则君)- 答案π+2 363 解析· f'(x)=2x+f' cos x 八3 π）_4π ,f=r+ 3 Art sin x 3 -π2,2元 636+3 5. 己知函数fx)=xlnx+axr2+2,若f'(e=0,则a= 【答案】 -1 e 【解析】由题意得f'x)=1+lnx+2a ·f'e)=2ae+2=0,解得a=- 0 -14-