8.9 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

8.9　直线与圆锥曲线的位置关系 　1.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系,能根据位置关系求参数的值(或范围).　2.会利用方程及数形结合思想、根与系数的关系解决弦长、中点弦问题.　3.理解“设而不求”的思想,能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的综合应用问题. 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,相离无交点. (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). ①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有Δ>0时,直线l与曲线C相交;Δ=0时,直线l与曲线C相切;Δ<0时,直线l与曲线C相离. ②当a=0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0), 则|AB|= =|x1-x2| = 或|AB|=|y1-y2|=. 3.中点弦问题 (1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),直线AB的斜率k,将点A,B代入圆锥曲线的方程,两式相减,整理得,椭圆中k=-·;双曲线中k=·;抛物线中k=. 1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径,椭圆、双曲线中长为,抛物线中长为2p. 2.过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-;同理,双曲线中kPA·kPB=(以上焦点在x轴上). 3.若点P(x0,y0)在椭圆上,过点P的切线方程为+=1;同理,双曲线中为-=1(以上焦点在x轴上). 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.(√) (2)直线y=x与椭圆 +y2=1一定相交.(√) (3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.(×) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(×) 2.(人教A版选择性必修第一册例题改编)直线y=kx+2和椭圆+=1有交点,则k的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C. D. 解析　B　直线y=kx+2代入椭圆+=1,消去y, 可得(2+3k2)x2+12kx+6=0,∴Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48, ∵直线和椭圆有交点,∴72k2-48≥0,∴k≥或k≤-. 3.(人教A版选择性必修第一册习题改编)已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于(　　) A.3 B.4 C.3 D.4 解析　C　设直线AB的方程为y=x+b,由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,进而可求出AB的中点M,又由M在直线x+y=0上可求出b=1,∴x2+x-2=0,由弦长公式可求出|AB|==3. 4.过点P(1,4)作直线l交双曲线y2-=1于A,B两点,而P恰为弦AB的中点,则直线l的斜率为(　　) A.- B.-1 C. D.1 解析　C　设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为P为AB的中点,则所以将A,B代入双曲线y2-=1得, 两式相减得(-)-(-x2)2=0, 整理得=·,所以kAB==×=. 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1 (1)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 (2)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　.  答案　(1)C　(2)± 解析　(1)当直线的斜率不存在时,直线x=0符合题意. 当直线的斜率存在时,设直线的方程为y=kx+1, 由得k2x2+(2k-4)x+1=0, 当k=0时,符合题意; 当k≠0时,由Δ=(2k-4)2-4k2=0,可得k=1, 即当k=1时,符合题意.综上,满足条件的直线有3条. (2)联立x=3与-y2=1,解得y=±,这表明满足题意的直线斜率一定存在, 设所求直线斜率为k,则过点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x-3), 联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0, 由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0, 解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意. 在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形. 1.过双曲线C:x2-=1左焦点F和点A(0,2)的直线l与双曲线C的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　B　由题意得双曲线C:x2-=1左焦点为F(-2,0), 则直线l的斜率为k==, 故直线l的方程为y=x+2,而双曲线的渐近线方程为y=±x, 故直线l与y=x平行,且l过双曲线的左焦点, 故直线l与双曲线C的交点个数是1. 2.已知直线l:y=k(x+3)+1与曲线C:y=有两个公共点,则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　B　直线l:y=k(x+3)+1过定点(-3,1),曲线C是椭圆+y2=1的上半部分, 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时,直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间,直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为k=0, 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为k==-, 所以k的取值范围为. 考点二　弦长问题 例2 (2025·全国Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为,求|AB|. 解　(1)因为长轴长为4,故a=2,而离心率为,故c=, 故b=,故椭圆C的方程为+=1. (2)由题设直线AB的斜率不为0,故设直线l:x=t(y+2),A(x1,y1),B(x2,y2), 由可得(t2+2)y2+4t2y+4t2-4=0, 故Δ=16t4-4(t2+2)(4t2-4)=4(8-4t2)>0,即-<t<, 且y1+y2=-,y1y2=, 故S△OAB=×|2t|×|y1-y2| =|t| ==, 解得t=±, 故|AB|=|y1-y2|=×=×=. 弦长的求解方法 1.当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. 2.当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线、抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种: (1)|AB|=|x1-x2| =. (2)|AB|=|y1-y2| =(k≠0). 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,P(2,1)在C上,满足kPA·kPB=. (1)求C的方程; (2)过点Q(3,0)的直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点.若|MN|=,求直线l的方程. 解　(1)由题意A(-a,0),B(a,0),故kPA·kPB=·=,解得a2=4. 将P(2,1)代入-=1得-=1,所以b2=1, 故双曲线C的方程为-y2=1. (2)过点Q(3,0)的直线l(与x轴不重合),故设直线l:x=my+3. 设M(x1,y1),N(x2,y2),联立整理得(m2-4)y2+6my+5=0, Δ=36m2-20(m2-4)=16(m2+5)>0且m2-4≠0, 故故|MN|=×=. 即×=,则3(m4+6m2+5)=4(m2-4)2, 即m4-50m2+49=0,解得m2=1或m2=49,即m=±1或m=±7. 故l的方程为l:x±y-3=0或x±7y-3=0. 考点三　中点弦 例3 (2026·内蒙古包头模拟)直线l与双曲线-y2=1交于P,Q两点,线段PQ的中点为M(4,1),则直线l的方程为(　　) A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 解析　A　设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为线段PQ的中点为M(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2, 所以 两式相减可得-=-, 即=(y1+y2)(y1-y2), 所以·=,即=1, 所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-1=x-4, 化简为y=x-3,经检验符合题意. 弦及弦中点问题的解决方法 1.根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线、抛物线方程联立,消元,利用根与系数关系表示中点. 2.点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线、抛物线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率. 4.(2026·湖北武汉模拟)已知抛物线Γ:y2=2x,直线l与Γ交于A,B两点,M(2,1)为弦AB的中点,则直线l的斜率为　　　　.  答案　1 解析　由题意直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=k(x-2)+1,与抛物线方程联立: 得k2(x-2)2+2k(x-2)-2x+1=0, 即k2(x-2)2+2(k-1)(x-2)-3=0, ∴x1-2+x2-2=-,x1+x2=-+4=2×2,解得k=1. 1.直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 解析　A　直线y=k(x-1)+2过定点(1,2), ∵12<4×2,∴(1,2)在抛物线x2=4y内部, ∴直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y相交. 2.若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:-=1有两个不同交点,则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　B　双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x, 直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:-=1有两个不同的交点, 又直线l过原点,则k>,则k的取值范围是. 3.已知直线l:y=x+2与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点M(1,3)是弦AB的中点,则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B. C. D.3 解析　A　设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,且-=1, 所以-=0,整理得到:=, 因为M(1,3)是弦AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=6,=1,所以=即=3,所以e==2. 4.已知椭圆C:+y2=1,过原点O且倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点,则|AB|=(　　) A. B. C. D. 解析　D　依题意,可得直线的方程为y=x,代入+y2=1中,整理解得x=±, 当x=时,y=;当x=-时,y=-,故有A,B, 则|AB|=·=×=. 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若|BF|=3|AF|,则直线l的方程为(　　) A.y=±2(x-1) B.y=±(x-1) C.y=±(x-1) D.y=±(x-1) 解析　C　设点A,B的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2), 由题意,点F的坐标为(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1), 联立方程消去y后整理为k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 有x1+x2=,x1x2=1, 由抛物线的性质,有|BF|=x2+1,|AF|=x1+1,可得 解得有=3+,解得k=±,故直线l的方程为y=±(x-1). 6.已知椭圆C:+=1,过点P的直线与椭圆C交于A,B两点且AB的中点为P,则坐标原点O到直线AB的距离为(　　) A.1 B. C.2 D.2 解析　B　设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0, 由条件可知,x1+x2=1,y1+y2=3,即+=0, 并且由对称性可知,x1≠x2,所以=-1, 所以直线AB的斜率为-1,所以直线AB的方程为y-=-,即x+y-2=0, 所以原点到直线AB的距离d==. 7.(多选)已知椭圆C:+y2=1与直线l:x-y+m=0相交于两个不同的点A,B,点M为线段AB的中点,则(　　) A.-<m< B.m<-或m> C.弦长|AB|的最大值为 D.点M一定在直线x+4y=0上 解析　AD　设A,B两点的坐标为:A(x1,y1),B(x2,y2), 联立椭圆C:+y2=1与直线l:x-y+m=0的方程,得5x2+8mx+4(m2-1)=0, 由判别式Δ=(8m)2-4×5×4(m2-1)>0,得m2<5,即-<m<,故A正确,B错误; 由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=(m2-1), 弦长|AB| =·=·, 当m=0时,弦长|AB|取最大值,|AB|= ,故C错误; 由直线l:y=x+m,线段AB中点M的坐标为, 即M,所以点M的坐标满足直线方程x+4y=0,故D正确. 8.(多选)已知点M,N是双曲线C:-=1上不同的两点,则(　　) A.当M,N分别位于双曲线的两支时,直线MN的斜率k∈ B.当M,N均位于双曲线的右支上时,直线MN的斜率k∈ C.线段MN的中点可能是(2,2) D.线段MN的中点可能是(1,2) 解析　AD　双曲线渐近线为y=±x,当M,N分别位于双曲线的两支时,直线MN较渐近线更平缓,故k∈, 当M,N均位于双曲线的右支上时,直线MN较渐近线更陡,故k∈∪,故A正确,B错误; 记M(x1,y1),N(x2,y2),中点P(x0,y0),由M,N是双曲线C上的点,有两式相减可得-=0,当x1≠x2时,有-k·kOP=0⇒k·kOP=, 对于C,kOP=1⇒k=,MN:y-2=(x-2)与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点,故C错误; 对于D,kOP=2⇒k=∈,故此时M,N分别位于双曲线的左右两支,故D正确. 9.(2026·山西临汾模拟)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F且倾斜角为45° 的直线与E的左支交于A,B两点,M为线段AB的中点,若|MF|=4|OF|(O为坐标原点),则双曲线E的离心率是　　　　.  答案　 解析　设双曲线E的半焦距为c,则F(-c,0),直线AB方程为y=x+c, 由消去y得(a2-b2)x2+2a2cx+a2(c2+b2)=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,y1+y2=x1+x2+2c=-, 于是点M,|MF|===4c, 解得=,所以双曲线E的离心率e==. 10.(2026·天津模拟)已知圆C1:x2+y2=7与圆C2:x2+y2+2x-y-6=0相交的两个公共点所在直线为l,若l与抛物线x2=4y交于A,B两点,则|AB|= 　　　　.  答案　20 解析　已知圆C1:x2+y2=7,圆C2:x2+y2+2x-y-6=0,将两式相减消去二次项可得直线l的方程:2x-y-6=-7,即2x-y+1=0. 联立直线l与抛物线方程将y=2x+1代入x2=4y可得:x2=4(2x+1),即x2-8x-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=8,x1x2=-4. 根据弦长公式|AB|=·(其中k为直线l的斜率),直线l的方程为2x-y+1=0,其斜率k=2,则: |AB|=·=·=·=20. 11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,且·=0. (1)求C的离心率; (2)射线AF1与C交于点B,且|AB|=,求△ABF2的周长. 解　(1)依题意可得上顶点A(0,b),左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0), 所以=(-c,-b),=(c,-b),又·=0, 所以·=-c2+(-b)2=0,即b2=c2,即a2-c2=c2, 所以a2=2c2,所以离心率e==. (2)由(1)可得b=c,a=c,则椭圆方程为+=1, 射线AF1的方程为y=x+b=x+c,联立整理可得3x2+4cx=0, 解得x=0(舍)或x=-c,则y=-c,即B, 所以|AB|==c=,解得c=,则a=2, 所以△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8. 12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆+y2=1的焦点重合,其渐近线方程为y=±x. (1)求双曲线C的方程; (2)若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称,直线l:y=x过AB的中点,求直线AB的斜率. 解　(1)椭圆+y2=1的焦点为(±2,0),故a2+b2=4, 由双曲线的渐近线为y=±x,故=,故b=1,a=, 故双曲线C的方程为-y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M, 因为M在直线l:y=x,故yM=xM, 而-=1,-=1, 故-(y1-y2)(y1+y2)=0, 故-(y1-y2)yM=0, 由题设可知AB的中点不为原点,故xMyM≠0,所以==1, 故直线AB的斜率为1. 此时AB:y=x-xM+xM=x-xM, 由可得x2-3=3,整理得到:2x2-4xMx++3=0, 当Δ=16-8=-24>0,即xM<-或xM>, 即当xM<-或xM>时,直线AB存在且斜率为1. 13.(多选)(2026·湖北襄阳模拟)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P为其上一动点,当P运动到(t,1)时,|PF|=2,直线l与抛物线相交于A,B两点,下列结论正确的是(　　) A.抛物线的方程为x2=8y B.抛物线的准线方程为y=-1 C.当直线l过焦点F时,以AF为直径的圆与x轴相切 D.|AF|+|BF|≥4 解析　BC　对于A,当P运动到(t,1)时,|PF|=1+=2,故p=2,即抛物线为x2=4y,故A错误; 对于B,由x2=4y,故抛物线的准线方程为y=-1,故B正确; 对于C,当直线l过焦点F时,设A为(x0,y0),则|FA|=y0+=y0+1, 故以AF为直径的圆的半径为,又F(0,1),故以AF为直径的圆的圆心坐标为, 圆心到x轴的距离与该圆半径相等,即该圆与x轴相切,故C正确; 对于D,由题意直线l斜率存在,设l的方程为y=kx+m,联立 整理得x2-4kx-4m=0,Δ=(-4k)2+16m>0,即k2+m>0, 所以xA+xB=4k,xAxB=-4m, 所以yA+yB=k(xA+xB)+2m=4k2+2m,yAyB=·=m2, 所以|AF|+|BF|=yA+1+yB+1=yA+yB+2=4k2+2m+2, 不能确定|AF|+|BF|什么时候最小,故D错误. 14.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过F且垂直于AB的直线交l:x=-于E,过点A作直线l的垂线,垂足为D,则(　　) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 解析　ACD　对于A,对于抛物线C:y2=6x,则p=3,其准线方程即为直线l:x=-,焦点F, 则|AD|为抛物线上点到准线的距离,|AF|为抛物线上点到焦点的距离, 由抛物线的定义可知,|AD|=|AF|,故A正确. 对于B,过点B作准线l的垂线,交于点P, 由题意可知AD⊥l,EF⊥AB,则∠ADE=∠AFE=90°, 又|AD|=|AF|,|AE|=|AE|,所以△ADE≌△AFE, 所以∠AED=∠AEF,同理∠BEP=∠BEF, 又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°, 所以∠AEF+∠BEF=90°,即∠AEB=90°, 显然AB为△ABE的斜边,则|AE|<|AB|,故B错误. 法一　对于C,易知直线AB的斜率不为0, 设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得y2-6my-9=0,易知Δ>0,则y1+y2=6m,y1y2=-9, 又x1=my1+,x2=my2+, 所以|AB|=x1+x2+p =m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6, 当且仅当m=0时等号成立,故C正确. 对于D,在Rt△ABE与Rt△AEF中,∠BAE=∠EAF, 所以Rt△ABE∽Rt△AEF,则=,即|AE|2=|AF|·|AB|, 同理|BE|2=|BF|·|AB|, 又|AF|·|BF|==(my1+3)(my2+3)=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1), |AB|=6m2+6=6(m2+1), 所以|AE|2·|BE|2=|BF|·|AF|·|AB|2=9(m2+1)×36(m2+1)2, 则|AE|·|BE|=3(m2+1×6(m2+1)=18(m2+1≥18,故D正确. 法二　对于C,当直线AB的斜率不存在时,|AB|=2p=6; 当直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为y=k,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y,得k2x2-(3k2+6)x+k2=0, 易知Δ>0,则x1+x2=3+,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2|=× =×=6>6, 综上,|AB|≥6,故C正确. 对于D,在Rt△ABE与Rt△AEF中,∠BAE=∠EAF, 所以Rt△ABE∽Rt△AEF,则=,即|AE|2=|AF|·|AB|, 同理|BE|2=|BF|·|AB|, 当直线AB的斜率不存在时,|AB|=6,|AF|=|BF|=|AB|=3, 所以|AE|2·|BE|2=|BF|·|AF|·|AB|2=3×3×62,即|AE|·|BE|=18; 当直线AB的斜率存在时,|AB|=6, |AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=++=9, 所以|AE|2·|BE|2=|BF|·|AF|·|AB|2=9×36, 则|AE|·|BE|=3×6=18>18; 综上,|AE|·|BE|≥18,故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.9　直线与圆锥曲线的位置关系 　1.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系,能根据位置关系求参数的值(或范围).　2.会利用方程及数形结合思想、根与系数的关系解决弦长、中点弦问题.　3.理解“设而不求”的思想,能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的综合应用问题. 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有 、 、 ;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,相离无交点. (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). ①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有Δ>0时,直线l与曲线C ;Δ=0时,直线l与曲线C ;Δ<0时,直线l与曲线C . ②当a=0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的 平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的 平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0), 则|AB|= =|x1-x2| = 或|AB|=|y1-y2|= 3.中点弦问题 (1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),直线AB的斜率k,将点A,B代入圆锥曲线的方程,两式相减,整理得,椭圆中k=-·;双曲线中k=·;抛物线中k=. 1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径,椭圆、双曲线中长为,抛物线中长为2p. 2.过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-;同理,双曲线中kPA·kPB=(以上焦点在x轴上). 3.若点P(x0,y0)在椭圆上,过点P的切线方程为+=1;同理,双曲线中为-=1(以上焦点在x轴上). 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.( ) (2)直线y=x与椭圆 +y2=1一定相交.( ) (3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.( ) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.( ) 2.(人教A版选择性必修第一册例题改编)直线y=kx+2和椭圆+=1有交点,则k的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C. D. 3.(人教A版选择性必修第一册习题改编)已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于(　　) A.3 B.4 C.3 D.4 4.过点P(1,4)作直线l交双曲线y2-=1于A,B两点,而P恰为弦AB的中点,则直线l的斜率为(　　) A.- B.-1 C. D.1 7 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1 (1)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 课堂笔记： (2)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　.  课堂笔记： 在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形. 1.过双曲线C:x2-=1左焦点F和点A(0,2)的直线l与双曲线C的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知直线l:y=k(x+3)+1与曲线C:y=有两个公共点,则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 考点二　弦长问题 例2 (2025·全国Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为,求|AB|. 弦长的求解方法 1.当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. 2.当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线、抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种: (1)|AB|=|x1-x2| =. (2)|AB|=|y1-y2| =(k≠0). 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,P(2,1)在C上,满足kPA·kPB=. (1)求C的方程; (2)过点Q(3,0)的直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点.若|MN|=,求直线l的方程. 考点三　中点弦 例3 (2026·内蒙古包头模拟)直线l与双曲线-y2=1交于P,Q两点,线段PQ的中点为M(4,1),则直线l的方程为(　　) A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 课堂笔记： 弦及弦中点问题的解决方法 1.根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线、抛物线方程联立,消元,利用根与系数关系表示中点. 2.点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线、抛物线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率. 4.(2026·湖北武汉模拟)已知抛物线Γ:y2=2x,直线l与Γ交于A,B两点,M(2,1)为弦AB的中点,则直线l的斜率为　　　　.  1.直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 2.若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:-=1有两个不同交点,则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3.已知直线l:y=x+2与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点M(1,3)是弦AB的中点,则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B. C. D.3 4.已知椭圆C:+y2=1,过原点O且倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点,则|AB|=(　　) A. B. C. D. 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若|BF|=3|AF|,则直线l的方程为(　　) A.y=±2(x-1) B.y=±(x-1) C.y=±(x-1) D.y=±(x-1) 6.已知椭圆C:+=1,过点P的直线与椭圆C交于A,B两点且AB的中点为P,则坐标原点O到直线AB的距离为(　　) A.1 B. C.2 D.2 7.(多选)已知椭圆C:+y2=1与直线l:x-y+m=0相交于两个不同的点A,B,点M为线段AB的中点,则(　　) A.-<m< B.m<-或m> C.弦长|AB|的最大值为 D.点M一定在直线x+4y=0上 8.(多选)已知点M,N是双曲线C:-=1上不同的两点,则(　　) A.当M,N分别位于双曲线的两支时,直线MN的斜率k∈ B.当M,N均位于双曲线的右支上时,直线MN的斜率k∈ C.线段MN的中点可能是(2,2) D.线段MN的中点可能是(1,2) 9.(2026·山西临汾模拟)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F且倾斜角为45° 的直线与E的左支交于A,B两点,M为线段AB的中点,若|MF|=4|OF|(O为坐标原点),则双曲线E的离心率是　　　　.  10.(2026·天津模拟)已知圆C1:x2+y2=7与圆C2:x2+y2+2x-y-6=0相交的两个公共点所在直线为l,若l与抛物线x2=4y交于A,B两点,则|AB|= 　　　　.  11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,且·=0. (1)求C的离心率; (2)射线AF1与C交于点B,且|AB|=,求△ABF2的周长. 12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆+y2=1的焦点重合,其渐近线方程为y=±x. (1)求双曲线C的方程; (2)若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称,直线l:y=x过AB的中点,求直线AB的斜率. 13.(多选)(2026·湖北襄阳模拟)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P为其上一动点,当P运动到(t,1)时,|PF|=2,直线l与抛物线相交于A,B两点,下列结论正确的是(　　) A.抛物线的方程为x2=8y B.抛物线的准线方程为y=-1 C.当直线l过焦点F时,以AF为直径的圆与x轴相切 D.|AF|+|BF|≥4 14.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过F且垂直于AB的直线交l:x=-于E,过点A作直线l的垂线,垂足为D,则(　　) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 学科网（北京）股份有限公司 $