湖南长沙市宁乡市第一高级中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026年高一年级10月阶段性检测数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，则 A． B． C． D． 3．下列各组函数中是同一个函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 4．若，，则下列不等式一定正确的是 A． B． C． D． 5．已知正数，满足，则的最小值为 A． B．9 C．5 D．6 6．“”是“函数在上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为x，y元/升（），甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油，哪种方式更经济实惠呢？（两次平均油价较低） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 8．集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为．则 A．0 B．1 C．-1 D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，若，则实数的取值可以是 A．0 B． C．1 D．3 10．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是 A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为 D．若，且，则的最小值为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为_______________ 13．已知，若，则实数的取值范围是_______________ 14．设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知函数． （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分） 已知命题P：对，都有成立；命题q：关于的方程有实数根． （1）若命题P为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 17．（本题满分15分） 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价×销量-成本． 18．（本题满分17分） 已知二次函数． （1）若，，求函数的值域： （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 19．（本题满分17分） 已知集合， （1）证明：； （2）证明：任何奇数都是中的元素； （3）判断偶数是否为的元素？请说明理由； （4）试求中第2026个正整数． 数学参考答案 1．D 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 7．A 【详解】设两次加油的油价分别为， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为，则乙方案的平均油价为，甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 8．C 【详解】由乘法分配律，展开后，每一项都对应集合的一个子集：选择因式中的元素项表示该元素被选入子集，选择1表示该元素不被选入． 因此，包含常数项在内的展开式各项之和为． 其中常数项1对应不选任何元素，而题目只统计非空子集，所以．故选：C 9．ABC 10．ABD 【详解】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确． 选项B：，又，所以， 而，所以，当且仅当时取等号，故B正确． 选项C：，代入，， 则， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误． 选项D：， 因为，所以，则，即，当且仅当时取等号，D正确． 11．ACD 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， 不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且-1和2是一元二次方程的两根，且， ，所以，， 把，代入可得， 因为，所以不等式的解集为，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得，把代入得，令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为8，D正确． 12． 13． 14．或或 【详解】因为，所以，，所以，当时，，所以，，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立，即在上恒成立，记， 所以只需，即，解得或或． 15．【详解】 证明：（1）因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以，解得， 所以所求实数的范围是． 16．【详解】 （1）命题为真命题：对任意实数都有恒成立， 当时，恒成立，当时，则，即，解得， 综上的取值范围为． （2）若为真命题，则，解得或， 若真假，则，则， 若假真，则，则或， 综上，或或． 17．【详解】 （1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元． （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得（舍去）或， 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元． 18．【详解】 （1）答案，过程略． （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为 （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 19．【详解】 （1）， （2）任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． （3），，且，同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是4的倍数． 一定是偶数，但不是4的倍数，所以数字不是集合中的元素． （4）因为相邻的4个整数中必有两个奇数和一个4的倍数，由（2）知这4个数中有3个是集合的元素． 因为，所以中第2026个正整数是 学科网（北京）股份有限公司 $