2.1 椭圆同步练-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2.1 椭圆 1.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：椭圆，其焦距为2，且过点，B为在第一象限内的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则面积的最小值为( ) A. B. C. D.2 2.如图所示，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为( ) A. B. C. D. 3.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道3所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是( ) A.焦距长约为150公里 B.长轴长约为3988公里 C.两焦点坐标约为 D.离心率约为 4.著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离（半径不计）之比为，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 5.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为( ) A. B. C. D. 6.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则椭圆C的标准方程为( ) A. B. C. D. （多选）7.若为椭圆的方程，则实数m的值可以为( ) A.3 B.6 C.8 D.1 8.已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为，若P在第一象限，则P点的纵坐标为______. 9.阅读下列有关光线的入射与反射的两个现象： 现象(1)：光线经平面镜反射满足反射角与入射角相等； 现象(2)：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后经过另一个焦点. 试结合上述现象，回答下列问题： 有一类似于椭圆形台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2))后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为s，则s的值为________(用a，b表示). 10.在平面内，已知两点，及动点M，若直线，的斜率之积是-3，则点M的轨迹方程为______. 答案以及解析 1.答案：B 解析：根据题意得，因为椭圆过点，且，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为. 设点，，由题知切线l的方程为， 易得，，所以的面积. 因为，当且仅当，时等号成立，所以，所以面积的最小值为.故选B. 2.答案：B 解析：由题意可得，，则，且，则.再由椭圆定义可得光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为.故选B. 3.答案：D 解析：设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为，，，，，，椭圆的离心率约为，故D项正确，A，B项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.故选D. 4.答案：C 解析：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，则，解得，即C的离心率为.故选C. 5.答案：D 解析：设椭圆C的标准方程为，则椭圆C的面积为，又，联立解得所以椭圆C的标准方程为. 6.答案：A 解析：因为椭圆C的焦点在x轴上，所以可设椭圆C的方程为，则由题意可知，椭圆C的面积为，又，，所以，，，所以椭圆C的标准方程为.故选A. 7.答案：AC 解析：方程，即， 依题意可得 解得且， 即实数m的取值范围为，结合选项可知A，C符合题意.故选AC. 8.答案：1 解析：由题知，，，，所以.因为的内切圆半径为，所以，即，得. 9.答案：或或4a 解析：由已知得， 因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能是长轴的两个端点及除这两个端点外的任一点，有三种情况， 所以或或， 即或或. 10.答案： 解析：设动点M的坐标为，因为，，所以的斜率，的斜率，则，化简得点M的轨迹方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $