1.2　第一课时　椭圆的简单几何性质 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-综合运用-拓展提高”三层设计，实现椭圆几何性质从概念辨析到综合应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆定义、标准方程、离心率等基础知识点|选择（含多选）、填空、解答结合，如第1题直接考查长轴短轴计算，强化概念理解| |综合运用|焦点三角形、几何应用（圆柱截面）|通过第12题圆柱截面情境，考查椭圆性质与几何直观，提升逻辑推理能力| |拓展提高|椭圆与直线综合问题|第14题结合焦点弦与余弦定理，培养综合应用与创新意识，适配分层教学需求|

第一课时　椭圆的简单几何性质 一、基础巩固 1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为(　　) A.＝1 B.＋y2＝1 C.＝1 D.x2＋＝1 3.(多选)已知椭圆＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为(　　) A.3 B. C. D. 4.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 5.曲线＝1与＝1(0<k<9)的关系是(　　) A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 6.(多选)已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为(　　) A.4 B. C.6 D. 7.已知椭圆C：＝1的长轴长为4，则C的焦距为　　　　.  8.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2＋my2－6x－7＝0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于　　　　.  9.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是　　　　.  10.已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为2，设P为椭圆上的一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求： (1)椭圆的标准方程； (2)△PF1F2的面积. 二、综合运用 11.设椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|＝λ|PF2|，∠F1PF2＝，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 12.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为　　　　 cm，离心率为　　　　.  13.已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，求·的取值范围. 三、拓展提高 14.设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 第一课时　椭圆的简单几何性质 一、基础巩固 1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6 答案　B 解析　椭圆方程可化为＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝，故选B. 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为(　　) A.＝1 B.＋y2＝1 C.＝1 D.x2＋＝1 答案　A 解析　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝，故所求椭圆的标准方程是＝1，故选A. 3.(多选)已知椭圆＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为(　　) A.3 B. C. D. 答案　AB 解析　当椭圆的焦点在x轴上时：a2＝5，b2＝m，则e2＝＝1－，解得m＝3.当椭圆的焦点在y轴上时：a2＝m，b2＝5，则e2＝1－＝1－，解得m＝.故选AB. 4.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＝1， ∴c2＝，∴e2＝，∴e＝. 5.曲线＝1与＝1(0<k<9)的关系是(　　) A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 答案　B 解析　曲线＝1的焦距为2c＝8，而曲线＝1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同. 6.(多选)已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为(　　) A.4 B. C.6 D. 答案　AB 解析　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m>0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或，故选AB. 7.已知椭圆C：＝1的长轴长为4，则C的焦距为　　　　.  答案　2 解析　因为椭圆C：＝1的长轴长为4，所以2＝4，解得m＝4，所以c2＝4－3＝1，即c＝1，故C的焦距为2c＝2. 8.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2＋my2－6x－7＝0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于　　　　.  答案　2 解析　由于x2＋my2－6x－7＝0是圆，∴m＝1，即圆x2＋y2－6x－7＝0，其中圆心为(3，0)，半径为4，那么椭圆的长轴长为8，即c＝3，a＝4，b＝，那么短轴长为2. 9.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是　　　　.  答案　＋y2＝1或＝1 解析　若焦点在x轴上，则a＝2. 又e＝，∴c＝. ∴b2＝a2－c2＝1， ∴方程为＋y2＝1. 若焦点在y轴上，则b＝2. 又e＝， ∴＝1－， ∴a2＝4b2＝16， ∴方程为＝1. 综上，椭圆的方程为＋y2＝1或＝1. 10.已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为2，设P为椭圆上的一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求： (1)椭圆的标准方程； (2)△PF1F2的面积. 解　(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 因为长轴长为6，焦距为2， 故a＝3，c＝， 所以b＝2， 故椭圆方程为＝1. (2)由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝6， 由余弦定理可得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝20， 整理得到|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝20， 又|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝36， 所以|PF1||PF2|＝， 故×|PF1||PF2|×sin 60° ＝×. 二、综合运用 11.设椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|＝λ|PF2|，∠F1PF2＝，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a. 可设|PF2|＝t(t>0)，可得|PF1|＝λt， 即有(λ＋1)t＝2a. ① 由∠F1PF2＝，可得|PF1|2＋|PF2|2＝4c2， 即(λ2＋1)t2＝4c2. ② 由②÷①2，可得e2＝. 令m＝λ＋1，可得λ＝m－1， 即有＝2. 设f(m)＝2，由≤λ≤2， 可得≤m≤3， 即≤≤， 则当m＝2时，f(m)取得最小值； 当m＝或m＝3时，f(m)取得最大值， 即有≤e2≤，得≤e≤， 所以椭圆离心率的取值范围为. 12.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为　　　　 cm，离心率为　　　　.  答案　8　 解析　由题图知短轴长等于底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)， 则c2＝(4)2－62＝12， 所以c＝2，所以离心率e＝. 13.已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，求·的取值范围. 解　由＝1，得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)， 则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0). 所以·－5＋. ① 又＝1，所以＝4－， 代入①， 所以·－1， 因为0≤≤9，所以0≤≤5， 所以－1≤·≤4， 所以·∈[－1，4]. 三、拓展提高 14.设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k， |AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k， |BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos ∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k). 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0， 故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a， 所以椭圆E的离心率e＝. 学科网（北京）股份有限公司 $