1.1　第一课时　椭圆的标准方程 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习按基础巩固、综合运用、拓展提高分层设计，梯度清晰，覆盖椭圆标准方程的概念理解、运算应用及实际问题解决，助力知识从单一到综合的巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆定义、标准方程、焦点坐标等单一知识点|含教材链接题，通过选择、填空夯实概念理解与基本运算，培养抽象能力| |综合运用|椭圆定义与几何性质结合、焦点三角形问题|结合余弦定理等知识，通过多选、解答题发展推理能力，衔接中档题型| |拓展提高|椭圆实际应用（如鱼群洄游轨迹）|以现实情境为载体，通过解答题培养应用意识，体现数学与现实世界的联系|

第一课时　椭圆的标准方程 一、基础巩固 1.椭圆＝1的焦点坐标是(　　) A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 2.点P为椭圆＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A.13 B.1 C.7 D.5 3.“1<m<3”是“方程＝1表示椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A.(3，＋∞) B.(－∞，－2) C.(－∞，－2)∪(3，＋∞) D.(－6，－2)∪(3，＋∞) 5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 6.(多选)椭圆＝1的焦距是2，则m的值可以是(　　) A.3 B.4 C.5 D.不存在 7.(链接教材P89复习题二A组T9)椭圆C：＝1(a>0)上的点P(2，－1)到椭圆C的右焦点F的距离为　　　　.  8.椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝　　　　.  9.椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为　　　　.  10.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且椭圆经过点. (2)焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，长轴长为8. 二、综合运用 11.(多选)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 12.椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，则|PF2|＝　　　　；∠F1PF2的大小为　　　　.  13.在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程. 三、拓展提高 14.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求曲线C的标准方程； (2)某日研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定鱼群处的位置(即点P的坐标)? 第一课时　椭圆的标准方程 一、基础巩固 1.椭圆＝1的焦点坐标是(　　) A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 答案　C 解析　椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝a2－b2＝144，所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12). 2.点P为椭圆＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A.13 B.1 C.7 D.5 答案　D 解析　由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5. 3.“1<m<3”是“方程＝1表示椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当方程＝1表示椭圆时，必有所以1<m<3且m≠2；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆. 4.若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A.(3，＋∞) B.(－∞，－2) C.(－∞，－2)∪(3，＋∞) D.(－6，－2)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　因为椭圆焦点在x轴上， 所以即 解得a>3或－6<a<－2. 5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 6.(多选)椭圆＝1的焦距是2，则m的值可以是(　　) A.3 B.4 C.5 D.不存在 答案　AC 解析　∵2c＝2，∴c＝1.当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3. 7.(链接教材P89复习题二A组T9)椭圆C：＝1(a>0)上的点P(2，－1)到椭圆C的右焦点F的距离为　　　　.  答案　 解析　把P(2，－1)代入＝1(a>0)， 得＝1，∴a2＝6，a＝，c＝，椭圆C的右焦点为(，0)， ∴点P到椭圆C的右焦点的距离为 . 8.椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝　　　　.  答案　1 解析　由5x2＋ky2＝5得x2＋＝1. 因为焦点为(0，2)，所以a2＝，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝－1＝4，所以k＝1. 9.椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为　　　　.  答案　± 解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(O为坐标原点，F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＝1，即y2＝，∴y＝±，∴点M的纵坐标为±. 10.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且椭圆经过点. (2)焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，长轴长为8. 解　(1)根据题意，两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，故焦点在x轴上，c＝2， 又由椭圆经过点， 则2a＝＋＝2， 故a＝，则b2＝a2－c2＝10－4＝6， 故椭圆的标准方程为＝1. (2)由题意知，焦点在x轴上，c＝3， 又2a＝8，a＝4，故b2＝16－9＝7， 故椭圆的标准方程为＝1. 二、综合运用 11.(多选)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 答案　BC 解析　由题意知，定点F1(0，－2)，F2(0，2)，可得|F1F2|＝4，因为a>0，可得|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝4，当且仅当a＝，即a＝2时取得等号，当a＋＝4时，可得的|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2；当a＋>4时，可得|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆.故选BC. 12.椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，则|PF2|＝　　　　；∠F1PF2的大小为　　　　.  答案　2　120° 解析　由题意知a＝3，b＝，c＝. 由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6. 因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝2. 又因为|F1F2|＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝－，所以∠F1PF2＝120°. 13.在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程. 解　如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 在Rt△ABC中，|BC|＝. ∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＝2，且|PA|＋|PB|>|AB|， ∴由椭圆的定义知，动点P的轨迹E为椭圆， 且a＝，c＝1，b＝1. ∴曲线E的方程为＋y2＝1. 三、拓展提高 14.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求曲线C的标准方程； (2)某日研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定鱼群处的位置(即点P的坐标)? 解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4， 则c＝2，a＝4，故b＝2， ∴曲线C的方程＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3， 因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3， 即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里， 设P(x，y)，B(2，0)， 由|PB|＝3，得＝3， ∴解得或 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $