精品解析：江苏盐城市东台市实验中学集团2026-2027学年九年级上学期第一次学科练习(9月 )数学试卷

2026年秋学期第一次学科练习九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．本次练习形式为闭卷，试卷共3页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 2．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； B．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； C．该函数是关于的反比例函数，此时，故此选项符合题意； D．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意． 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点(1，﹣3) B. y随x的增大而增大 C. 图象关于原点对称 D. 图象与坐标轴没有交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、反比例函数，当x＝1时y＝﹣3，说法正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数中k＝﹣3＜0，则该函数图象经过第二、四象限，需要强调在每个象限象限内y随x的增大而增大，故说法错误，本选项符合题意； C、反比例函数的图象关于原点对称，说法正确，故本选项不符合题意； D、图象与坐标轴没有交点，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】考查了反比例函数的性质，解题的关键是了解反比例函数的性质，属于反比例函数的基础性题目，比较简单． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程判别式符号直接判定其根的情况即可． 【详解】解：， ， 方程没有实数根 5. 用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（　　） A. （x﹣4）2＝5 B. （x+4）2＝21 C. （x﹣4）2＝14 D. （x﹣4）2＝8 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的过程进行配方，即可得出答案． 【详解】解：x2﹣8x+2＝0， x2﹣8x＝﹣2， x2﹣8x+16＝﹣2+16， （x﹣4）2＝14， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法——配方法. 掌握配方法的步骤是解题的关键． 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，特别是图象共存的问题，掌握以上知识是解题的关键．根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为6， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 8. 三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的候选值，再结合三角形三边关系筛选有效边长，计算周长. 【详解】解：， ， ∴，. 当第三边长为2时， ∵，不能构成三角形， 当第三边长为4时， ∵，能构成三角形， ∴三角形周长为． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）． 9. 把一元二次方程化为一般形式______ 【答案】 【解析】 【详解】解：展开原方程左边，得， 移项，将所有项移到方程左侧，得， 合并同类项，得． 10. 函数中，自变量x的取值范围是_________ 【答案】≠1的一切实数 【解析】 【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x-1≠0， 解得：x≠1． 故答案为x≠1． 【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 11. 一元二次方程的两根分别是，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数． 【详解】解：对于方程，二次项系数，一次项系数，则． 故答案为：5． 12. 若反比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的的值______． 【答案】１即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象经过第一、三象限，可得比例系数大于0，解不等式得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得， 取符合条件的即可． 13. 已知点、都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】将、两点的横坐标分别代入反比例函数解析式，得到和的具体值，再比较二者大小即可． 【详解】解：把代入，得． 把代入，得． ， ． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，结合图象，关于的不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】直接观察图象可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，据此即可解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， 关于的不等式的解集为：或． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，整理变形后即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∵， ∴． 16. 如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，连接，梯形的面积为36，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由轴可得，由可得，，设，，则由题意得可得，，然后根据以及梯形的面积求解即可． 【详解】解：∵轴， ∴， 由可得， 设，， 则由题意可得， ∴，可得， ，可得， 由可得，，则 ∵梯形的面积为36 ∴ 则 ∴ 解得 ∴ ∴． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 已知在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．求当时，该物体所受到的压强． 【答案】 【解析】 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，解答即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由函数图象得反比例函数经过点, ， 反比例函数的解析式为， 当时，， 物体所受到的压强为． 19. 某种药品原价125元/盒，经过连续两次降价，现价格为80元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】设这种药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得，解方程即可． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得 ， 解得，（舍去）， 这种药品平均每次降价的百分率是． 20. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求出与的函数表达式； （2）在所给网格中画出这个反比例函数图象， （3）当时，的取值范围为______． （4）当不小于时，的取值范围为______． 【答案】（1）y与x之间的函数表达式是 （2） （3） y的取值范围是 （4）x的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，将代入，计算即可； （2）在网格图中，描点，作图即可； （3）先求出当，时，y的值，再结合反比例函数的性质解答即可； （4）分两种情况，和，列不等式，解答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入，得: 解得， 所以y与x之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：当时，；当时，； 在第一象限内，y随x的增大而减小， 所以当时，y的取值范围是； 【小问4详解】 解：y不小于时，即， 当，图象在第一象限，， 当，图象在第三象限，，即， 综上所述，x的取值范围为或． 21. 已知关于的方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是，若．求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴方程总有实数根； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意有，， ∵， ∴， 解得． 故的值为 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将点代入反比例函数解析式求出系数，得到反比例函数；再将点的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标；最后将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和． （2）将的面积拆分为：，根据坐标求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数经过点， ∴， 反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴，即， 将、代入， ，解得 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于点C， 令，， 点 ． 23. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，平均每天可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．设该服装的售价每件提高元． （1）用含的代数式表示提价后的单件利润______元，以及提价后平均每天的销售量为______件； （2）若商店平均每天销售这种服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】（1）； （2）70元或80元 【解析】 【分析】（1）将提价后的服装售价减去成本就是单件利润，每天销售的800件减去每天减少的件数； （2）设该服装每件提高x元，根据销售这种服装平均每天的获利等于每件服装的利润乘以平均每天的销售量，列方程解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：提价后的单件利润， 提价后的单件利润元，以及提价后平均每天的销售量为件； 【小问2详解】 设该服装每件售价提高x元，由题意得 整理得：，解得：， 当时，；当时，； 这种服装每件售价是70元或80元． 24. 用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和一元二次方程，可得，如，解根号下含有未知数的方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得． 解下列方程： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式x，再因式分解可得，据此解之可得； （2）两边平方后整理可得，解之可得，注意x的取值． 【小问1详解】 解： 或或 ； 【小问2详解】 解： 由题意得：， ， 原方程化为：， ， 或， ，（舍去）． 25. 如图，平行四边形放置在平面直角坐标系中，已知点，，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）将平行四边形向上平移得到平行四边形，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连接，求的长及点的坐标． 【答案】（1） （2），点M的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等算出C点坐标，再将C点坐标代入反比例函数中求得k即可； （2）向上平移，B点和F点横坐标相等得到F点横坐标，根据F点在双曲线上算出F点纵坐标，对比B点和F点纵坐标得到长度；M点的纵坐标可由向上平移到得出，将点M纵坐标代入反比例函数解析式得M点横坐标，即可． 【小问1详解】 解：点， ， 四边形是平行四边形， ， 点C坐标为， 点C在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：向上平移得到， 点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是， 点F在反比例函数的图象上， 点F的坐标为， ， ， 点M的纵坐标， 点M在反比例函数的图象上， 点M的横坐标为， 点M的坐标为． 26. 若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“自等点”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为1，所以0和1都是的“自等点”． （1）下列是代数式的“自等点”的是______； ① ② ③ ④ （2）求代数式的“自等点”； （3）若代数式有且只有一个自等点，求的值． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）令，再解一元二次方程即可； （3）令，则由题意可得，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，故是代数式的“自等点”； 当时，，故不是代数式的“自等点”； 当时，，故是代数式的“自等点”； 当时，，故不是代数式的“自等点”； 故正确的答案是①③； 【小问2详解】 解：令， 整理得：， 解得， 即代数式的自等点为． 【小问3详解】 解：令， 则有， 则， 解得 27. 定义：一点把某线段分为两段，当较长线段与整体线段的比等于较短线段与较长线段的比时，则称此线段被这个点黄金分割，这个比值称为黄金比，这个点称为黄金点． （1）如图1，点是线段的黄金点，，若设，，求这个黄金比？ （2）由（1）得，若的长度为，则______． （3）如图2，动点B在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边相交于点，与对角线相交于点． ①若，点为的黄金点且，求证：点为的黄金点 ②当且时，探究点是否分别为的黄金点，并证明． 【答案】（1） （2） （3）①，点为的黄金点且， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点D在反比例函数的图象上，点D的横坐标为2， 点D的纵坐标是， ， ， ， ， 为的黄金点； ②， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，则， 点在反比例函数的图象上， 得：，由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：，解得：， （舍去）， ， ， ， ， 同理，，， ， 点为的黄金点； 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组， 解得：， ， 如下图，作 ， ， 同理 ， 点为的黄金点． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，解化简后的一元二次方程，即可得答案； （2）由（1）得，将代入计算即可； （3）①先求出点D的坐标，再求出，即可得答案；②先求出，设点，求出点D，E，F的坐标，求出，，即可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得 整理，得， 解得， ， ， 黄金比是； 【小问2详解】 由（1）得，即， ； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期第一次学科练习九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．本次练习形式为闭卷，试卷共3页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 2．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点(1，﹣3) B. y随x的增大而增大 C. 图象关于原点对称 D. 图象与坐标轴没有交点 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（　　） A. （x﹣4）2＝5 B. （x+4）2＝21 C. （x﹣4）2＝14 D. （x﹣4）2＝8 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 8. 三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）． 9. 把一元二次方程化为一般形式______ 10. 函数中，自变量x的取值范围是_________ 11. 一元二次方程的两根分别是，，则________． 12. 若反比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的的值______． 13. 已知点、都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，结合图象，关于的不等式的解集为______． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 16. 如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，连接，梯形的面积为36，则的值为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 已知在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．求当时，该物体所受到的压强． 19. 某种药品原价125元/盒，经过连续两次降价，现价格为80元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 20. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求出与的函数表达式； （2）在所给网格中画出这个反比例函数图象， （3）当时，的取值范围为______． （4）当不小于时，的取值范围为______． 21. 已知关于的方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是，若．求的值． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积； 23. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，平均每天可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．设该服装的售价每件提高元． （1）用含的代数式表示提价后的单件利润______元，以及提价后平均每天的销售量为______件； （2）若商店平均每天销售这种服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 24. 用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和一元二次方程，可得，如，解根号下含有未知数的方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得． 解下列方程： （1）． （2） 25. 如图，平行四边形放置在平面直角坐标系中，已知点，，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）将平行四边形向上平移得到平行四边形，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连接，求的长及点的坐标． 26. 若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“自等点”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为1，所以0和1都是的“自等点”． （1）下列是代数式的“自等点”的是______； ① ② ③ ④ （2）求代数式的“自等点”； （3）若代数式有且只有一个自等点，求的值． 27. 定义：一点把某线段分为两段，当较长线段与整体线段的比等于较短线段与较长线段的比时，则称此线段被这个点黄金分割，这个比值称为黄金比，这个点称为黄金点． （1）如图1，点是线段的黄金点，，若设，，求这个黄金比？ （2）由（1）得，若的长度为，则______． （3）如图2，动点B在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边相交于点，与对角线相交于点． ①若，点为的黄金点且，求证：点为的黄金点 ②当且时，探究点是否分别为的黄金点，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $