江苏 南京市第二十九中学2026-2027学年第一学期 九年级阶段性练习（10月）

2026~2027学年第一学期南京二十九中学阶段性练习 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7． 8．1 9． 10． 11． 12．> 13．5 14．或者 15．或 16．或 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1），； （2），； （3）， 18．【解析】解：过点O作于点G，则， ，，即． 在与中， ，， ，即是等腰三角形． 19．【解析】（1）证明：， ， ∴无论k取何实数，该方程总有实数根； （2）解：原方程变形为， 由题意可得：，，解得． 20．【解析】（1）证明：，． ，，． （2）解：，， ，， ，． 21．【解析】解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为． 根据题意得：，，， ，，解得，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个生物园的边长为5 m． 22．【解析】（1）如图所示 （2）设．，， ，， 在中，则有，解得，∴卡槽所在圆的半径的长为． 23．【解析】（1）16 （2）解：设每千克特产应售价为x元．， ，， ，， 得，． 要使销售量尽可能大，售价应更低，故． 答：每千克特产应售价为14元． 24．【解析】方法一：作差法 ，，， 当时，，即；当时，，即． 方法二：作商法 ， 当a，b同号时，，即； 当a，b异号时，，即． 综上：当a，b同号时，；当a，b异号时，． 25．【解析】（1），，解得，． ，符合“倍邻根方程”定义，因此方程是“倍邻根方程”． （2）设方程的两根为、，且． 由根与系数的关系得，代入得：，， ，． （3）证明：设方程的两根为、，且． 由根与系数的关系得：，， 将代入：，， 将代入：，， 把代入上式：， ，，． 26．【解析】（1）解：．连接，，设半径为r． ，，，（垂径定理）． ，． 在中，，在中，． ，，即． （2）尺规作图：如图所示： 27．【解析】（1）正方形车轮：轴心O的运动轨迹如下： 理由：设正方形边长为a． 以某个触地顶点为支点转动时，O到支点的距离恒等于半对角线长， 故O的轨迹是以该支点为圆心、为半径的一段圆弧； 当正方形转过后，另一个顶点成为新的支点，圆弧随之换圆心，O到新支点的距离仍为； 因此O的运动轨迹是由依次相接的圆弧组成的曲线： 每段圆弧的圆心是当时的触地顶点，半径是半对角线长，圆心角为； 相邻两段弧在“一边贴地”处相接，此处运动方向发生突变，曲线出现向下的尖点． 高度变化：一边贴地时O离地最低，为； 一条对角线竖直时O离地最高，为． （2）A （3）①由得． 圆中最长的弦是直径，所以． 当M位于C的对径点（即为直径）时取等号． 此时M在处，对应（秒），落在内，故最大值可以取到． 故：的最大值为． ② 说明：当时，射线与弧相交，而弧是以C为圆心、6为半径的圆弧， 故保持不变，图像是一条水平线段； 当时，射线与弧相交，N沿弧由B运动到C，由6逐渐减小到0； 当时，射线与弧相交，N沿弧由C运动到A，由0逐渐增大到6； 图像关于直线对称． ③等边三角形边长为6，故，且； 由、知直线是的垂直平分线， 所以．传递垂直．因为，所以， 于是B到的距离就是这条弦的弦心距，O、B、垂足三点共线． 用勾股求弦心距． D，E在弧上，而弧是以B为圆心、6为半径的圆弧， 所以是半径为6的圆的一条弦．设B到的距离为d， 由“半径、弦心距、半弦”的直角三角形：，即． 相减得距离．位于弦与弧之间的内， O也在从B出发垂直于的这条射线上， 故：O到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期南京二十九中学阶段性练习 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．方程的解是（ ） A．， B．， C． D． 3．对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（ ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 4．在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，与y轴交于点C，点D是x轴上一点，若，的面积为3，则的值为（ ） A．8 B．6 C．-6 D．-8 6．当常数m取不同的值时，的值随的变化描述： ①的值随x的增大而增大；②的值随x的增大而减小； ③的值随x的增大先增大后减小；④的值随x的增大先减小后增大． 其中所有可能出现的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．函数有意义的自变量x的取值范围是__________________． 8．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为__________． 9．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 10．据统计，2024年某地区手机支付用户的为3.58亿，经过连续两年增长，2026年约为5.27亿．已知第二年的增长率是第一年的2倍，设第一年的增长率为x，可列方程______________________________________． 11．设，是方程的两实数根，__________． 12．在中，有两条弦和，若，则__________．（填“>”“<”或“=”） 13．如图，，是的两条弦，且，，．则的半径为__________． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________________________________． 15．点与点在反比例函数上，若，则n的取值范围是______________． 16．关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分） 计算：（1）； （2）； （3）． 18．（6分）如图，的半径，分别交弦于点E，F，且．求证：是等腰三角形． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为__________． 20．（7分）如图，已知是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 21．（7分）学校打算用长16 m的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一面靠墙，墙长为8 m．求这个生物园的边长． 22．（7分）北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形控件的底座（如图1）采用木雕工艺制作．它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹）； （2）求卡槽所在圆的半径的长． 23．（8分）某特产专卖店销售一种特产，其进价为每千克8元，按每千克20元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克． （1）若每天的销售量为200千克，则每千克特产的售价为__________元； （2）专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1500元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元？ 24．（7分）已知，用两种不同的方法比较与的大小． 25．（9分）如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“倍邻根方程”． （2）若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值． （3）若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：． 26．（8分） （1）如图①，，是上的两条弦，，，垂足分别为E、F．如果，和的大小有什么关系？为什么？ （2）如图②，是的弦．求作弦，使，且与的夹角为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 27．（11分）【思考】车轮为什么要做成圆形？ 如图1，车轮做成圆形的优点，当车轮在水平地面上滚动时，其中心O到地面的距离始终等于半径，保持不变；同时，车轮上最高点到地面的距离始终等于直径，也保持不变． 【探究】 （1）如图2，当正方形车轮在水平地面上滚动时，请画出其中心O的运动轨迹，写出必要的文字说明． （2）分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由这三段圆弧围成的封闭图形称为莱洛三角形． 如图3，当莱洛三角形在水平地面上滚动时，其最高点和中心O所形成的图形大致为（ ） A． B． C． D． 【延伸】 （3）如图4，过莱洛三角形的三个顶点A，B，C作．动点M从点A出发，以每秒的速度绕点O按逆时针方向旋转一周，线段与莱洛三角形交于点N．设M的运动时间为t秒，记，．部分数据记录如下： t（秒） 0 … 240 … 6 … … … 0 … ①的最大值为__________． ②在给定的平面直角坐标系中描出关于t的函数图像，写出必要的文字说明． ③连接，若D，E是莱洛三角形边界上的两点，且，，求点O到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期南京二十九中学阶段性练习 九年级数学(10月) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C) A.x+y=1 B.3x+y2=2 C.2x-x2=3 D.x+1=4 2.方程x2+2x=0的解是(B) A.c1=0,x2=2 B.D1=0,c2=-2 C.x=2 D.x=-2 3.对于反比例函数y=6，以下四个结论中错误的是(A) A.y随x的增大而减小 B.函数的图象经过点(-2，-3) C.函数的图象在第一、三象限 D.当x<-3时，-2<y<0 4在平面直角坐标系中，函数y=一2的图象是(C） 尽、个 5.如图，点A,B分别在反比例函数y= =(c<0)和y=(c>0)的图象上，AB∥r轴，与y轴交于点 C,点D是x轴上一点，若BC=2AC,△ABD的面积为3，则kk的值为(D) A.8 B.6 C.-6 D.-8 6.当常数m取不同的值时，+的值随x>0)的变化描述：（B) ①r+m的值随的增大而增大；②x+m的值随x的增大而减小： 23 ③x+m的值随x的增大先增大后减小；④x+m的值随x的增大先减小后增大。 其中所有可能出现的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 第1页共10页 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应 位置上) 7函数y=千1有意义的自变量的取值范围是 ≠-1 8.已知关于x的方程c2+2x十m=0有两个相等的实数根，则m的值为1 9.己知反比例函数y=k一1，当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k<1· 10.据统计，2024年某地区手机支付用户的为3.58亿，经过连续两年增长，2026年约为5.27亿。己知第二 年的增长率是第一年的2倍，设第一年的增长率为x,可列方程 3.581+x)(1+2c)=5.27 1.设1，，是方程-”-3=0的两实数根，上+1=一青 12.在⊙O中，有两条弦AB和CD,若AB=2CD,则B 2CD。(填“>”“<”或“=”) 13.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB⊥AC,AB=8,AC=6。则⊙O的半径为5 (第14题) (第13题) 14.如图，一次函数y=十b与反比例函数y=的图象相交于A,B两点，己知一个交点为A2,3),则关 于x的不等式x十b>k的解集为 -3<x<0或者x>2 15.点A(,n)与点B3,尘在反比例函数y=飞上，若m<3,则n的取值范围是n<0或n>≥ 16.关于x的方程(1-m)x?+2mc-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 m=1或m>2 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.（12分) 计算：（1)x2-2x-1=0: (2)x(x+4=-3(x+4): (3)（x-3)2=(3x+1)2 【答案】 1=1+2,=1-2:②）=-4，=-3：③)=号=-2 第2页共10页 18.(6分)如图，⊙O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF。 求证：△OEF是等腰三角形。 (第18题) 【解析】 解：过点O作OG⊥CD于点G,则CG=DG, CE=DF,.CG-CE=DG-DF,即EG=FG。 在△OEG与△OFG中， OG=OG LOGE=∠OGF,∴.△OEG≈△OFG EG-FG G D ∴.OE=OF, 即△OEF是等腰三角形。 19.(6分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+2弘=0(k为常数)。 (1)求证：不论k为何值，该方程总有实数根： (2)不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为 【解析】 (1)证明：x2-(2k+1)c+2k=0. :△=[-2k+1)]2-4×2k=4-4+1=(2k-1)2≥0， ∴无论k取何实数，该方程总有实数根： (2)解：原方程变形为x2-2c-2)k-x=0, 由题意可得：2m-2=0,(2x-2)=0, 解得D=1。 20.(7分)如图，己知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=65,BC=CD。 (1)求证：△BOC≈△DOC: (2)求∠ABD的度数。 2 【解析】 (第20题) (1)i证明：BO=CD,.∠BOC=∠DOC。:OC=OC,OB=OD, ∴.△BOC≥△DOC(SAS)。 (2)解：OC=OB,∴.∠ABC=∠OCB=65, ∴.∠COB=180°-∠ABC-∠OCB=50°， 第3页共10页 ∴.∠DOC=∠BOC=50°， ∴.∠AOD=180°-∠DOC-∠BOC=80°， .∠ABD=1∠AOD=40。 21.(7分)学校打算用长16m的篱笆围成一个面积是30m的矩形生物园饲养小兔。如图，生物园的一面靠 墙，墙长为8m。求这个生物园的边长AB. A 【解析】 解：设垂直于墙的一边长为xm,则平行于墙的一边长为(16-2x)m。 根据题意得： x(16-2x)=30 16c-2x2=30 2x2-16c+30=0 x2-8x+15=0 (c-3)(x-5)=0 解得c1=3,=5。 当x=3时，16-2c=10>8,不符合题意，舍去： 当x=5时，16-2c=6<8,符合题意。 答：这个生物园的边长AB为5m 22.(7分)北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产。某圆形控件的底座（如图1）采用木雕工艺制作。它的 卡槽是圆弧形。卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦AB的长）为16cm,弓形高（即弧的中点到弦 的距离)为4cm。 (1)用尺规作出AB所在圆的圆心（保留作图痕迹）： B (2)求卡槽所在圆的半径的长。 图 图2 【解析】 (1)如图所示 (2)(2)设OA=OF=rcm。OF⊥AB, A0-2B-号AB-号×16=Sam 2 EF=4cm,∴.OE=(r-4)cm,在Rt△OAE中， 则有2=(r-4)+8,解得r=10, ∴.卡槽所在圆的半径的长为10cm。 第4页共10页 23.(8分)某特产专卖店销售一种特产，其进价为每千克8元，按每千克20元出售，平均每天可售出100千 克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克。 (1)若每天的销售量为200千克，则每千克特产的售价为 元； (2)专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1500元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少 元？ 【解析】 (1)16 (②)解：设每千克特产应售价为x元。 (c-8)=1500 (x-8)(600-25x)=1500 -25x2+800m-4800=1500 x2-32x+252=0 (x-14)(w-18)=0 解得x1=14,=18。 要使销售量尽可能大，售价应更低，故x=14。 答：每千克特产应售价为14元。 24(7分)已知0<a<b,用两种不同的方法比较。与方的大小。 a 【解析】 方法一：作差法 1-1=b-a a b ab "a<b.∴.b-a>0 当b>0时，ba>0,即1> ab a bi 当b<0时，b=a<0,即L< ab a b 方法二：作商法 a 当a,b同号时， 6>1,即1> a bi 当a,b异号时， 6 a <0<1,即<名 a 综上： 当a,b同号时， 1>1 a bi 当a,b异号时， 25.(9分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其中 一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”。 (1)通过计算，判断方程x2-4+3=0是否是“倍邻根方程”。 (2)若一元二次方程x2-10x+k=0是“倍邻根方程”，求k的值。 (3)若一元二次方程ax2+bx-1=0(b为常数)是“倍邻根方程”，求证：(a+b)(a-2b)=9a。 第5页共10页 【解析】 (1) x2-4w+3=0 (x-1)(x-3)=0 解得1=1,2=3。 2×1+1=3,符合“倍邻根方程”定义， 因此方程x2-4知+3=0是“倍邻根方程”。 (2)设方程的两根为12，且1=22十1 由根与系数的关系得1+=10，代入得： 2x2+1+x2=10 3g=9 03=31=2×3+1=7 k=x103=3×7=21 (3)证明：设方程的两根为12，且1=22十1。 由根与系数的关系得：西十，=。，西，=1 a a 将=2+1代入十=占： a 3a3+1=-6 a x:=-a+6 3a 将的=2+1代入x1m=-1 a (2+10x=-1 a 2m3+=-1 a 把四=-a+也代入上式： 3a a 2(a+b)2-3a(a+b)=-9a (a+b)(2b-a)=-9a (a+b)(a-2b)=9a 第6页共10页 26.(8分) (1)如图①，AB,CD是⊙O上的两条弦，OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F。如果AB> CD,OE和OF的大小有什么关系？为什么？ (2)如图②，AB是⊙O的弦。求作弦CD,使CD=AB,且CD与AB的夹角为45°（要求：尺规作图， 保留作图痕迹，写出必要的文字说明)。 (第26题) 【解析】 (1)解：OE<OF。连接OA,OC,设⊙O半径为r。 ~0E1AB,0FLCD,∴AE=号AB,CF=CD(垂径定理)。 2 AB>CD,∴AE>CF。 在Rt△OAE中，OE2=r2-AE, 在Rt△OCF中，OF2=r2-CF2。 .AE>CF, ∴.0E2<0F2, 即OE<OF。 (2)尺规作图： 如图所示： 27.(11分)【思考】车轮为什么要做成圆形？ 如图1，车轮做成圆形的优点，当车轮在水平地面上滚动时，其中心O到地面的距离始终等于半径，保持 不变；同时，车轮上最高点到地面的距离始终等于直径，也保持不变。 图1 图1 (第27图) 【探究】 (1)如图2，当正方形车轮在水平地面上滚动时，请画出其中心O的运动轨迹，写出必要的文字说明。 第7页共10页 (2)分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由这三段圆弧围成的封闭图形称为莱洛三 角形。 0 图3 如图3，当莱洛三角形在水平地面上滚动时，其最高点和中心O所形成的图形大致为() B 【延伸】 (3)如图4，过莱洛三角形的三个顶点A,B,C作⊙O。动点M从点A出发，以每秒1°的速度绕点O 按逆时针方向旋转一周，线段OM与莱洛三角形交于点N。设M的运动时间为t秒，记CM=y1,CN= y2。部分数据记录如下： t(秒) 0 240 yI 6 y2 0 ①y的最大值为 ②在给定的平面直角坐标系中描出y2关于t的函数图像，写出必要的文字说明。 060120180240300360地 ③连接AC,若D,E是莱洛三角形ABC边界上的两点，且DE∥AC,DE=4,求点O到DE的距离。 第8页共10页 【解析】 (1)正方形车轮：轴心O的运动轨迹如下： 轴心O的轨迹 (90°圆弧链·带尖点)】 a/2` iv2a/2 地面 支点 理由：设正方形边长为a。 以某个触地顶点为支点转动时，0到支点的距离恒等于半对角线长巨 故0的轨迹是以该支点为圆心、2。为半径的一段圆弧： 2 当正方形转过90°后，另一个项点成为新的支点，圆弧随之换圆心，0到新支点的距离仍为2 a: 因此O的运动轨迹是由依次相接的圆弧组成的曲线： 每段圆弧的圆心是当时的触地顶点，半径是半对角线长，圆心角为90： 相邻两段弧在“一边贴地”处相接，此处运动方向发生突变，曲线出现向下的尖点。 高度变化：一边贴地时0离地最低，为号 条对角线竖直时O离地最高，为2 ao 2 (2)A 最高点的轨迹：水平直线（地：宽度6，始终不变 轴心0的轨迹：波浪线(3次起伏) ®)①油a=6得R=0A=0B=0C冷2W3 圆中最长的弦是直径，所以 h=C1M≤2R=4W/3 当M位于C的对径点（即CM为直径）时取等号。 此时M在∠AOM=60°处，对应t=60(秒)，落在0≤t≤360内， 故最大值可以取到。 故：幼的最大值为W3 ② (120.6) (360.6) 水平段 180.3.11 下降段 上升 240,0 120 180 300 360tU 第9页共10页 说明：当0≤t≤120时，射线OM与弧AB相交，而弧AB是以C为圆心、6为半径的圆弧， 故y=CN=6保持不变，图像是一条水平线段： 当120≤t≤240时，射线OM与弧BC相交，N沿弧BC由B运动到C,CN由6逐渐减小到0： 当240≤t≤360时，射线OM与弧CA相交，N沿弧CA由C运动到A,CN由0逐渐增大到6： 图像关于直线t=240对称。 3 等边三角形边长为6，故04=O8=0C=看=25.且∠40B=10 由OA=OC、BA=BC知直线OB是AC的垂直平分线， 所以OB⊥AC。传递垂直。因为DE∥AC,所以OB⊥DE 于是B到DE的距离就是这条弦的弦心距，O、B、垂足三点共线。 用勾股求弦心距。 D,E在弧CA上，而弧CA是以B为圆心、6为半径的圆弧， 所以DE是半径为6的圆的一条弦。设B到DE的距离为d, 由“半径、弦心距、半弦”的直角三角形： f+(=6,即d=v62=V厘=2 相减得距离。DE位于弦AC与弧CA之间的内， O也在从B出发垂直于AC的这条射线上(BO=2W3), 故： O到DE的距离=W/2-2/3 第10页共10页