第09讲 幂函数以及函数的应用期中复习讲义（3大知识点+7大题型归纳+测试）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第09讲 幂函数以及函数的应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、幂函数概念 3 知识点二、幂函数的图象及性质 3 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 4 03 题型精讲 5 题型一：幂函数定义 5 题型二：图像问题 6 题型三：解不等式 8 题型四：单调性与奇偶性综合 10 题型五：定义域与值域 12 题型六：函数的实际应用 14 题型七：幂函数的综合应用 16 04 过关测试 21 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 考点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 考点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 题型一：幂函数定义 【典例1】（2026·高一·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 【变式1-1】（2026·高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意得，，则，则. 【变式1-2】（2026·高二·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【答案】A 【解析】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 【变式1-3】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 题型二：图像问题 【典例2】（2026·高一·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【解析】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 【变式2-1】（2026·高一·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D 【变式2-2】（2026·高一·宁夏银川·期中）对，记，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】和都是偶函数， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时， 在同一平面直角坐标系中作出和的图象，如图： 表示与的较大者，所以图象是两个图象较高的， 故选：A. 【变式2-3】（2026·高一·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 题型三：解不等式 【典例3】（2026·高一·江苏苏州·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为，不合题意； 当时，，定义域为，合题意． 所以，即，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为． 【变式3-1】（2026·高一·广东·期中）若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，代入点得，解得. 则，则，即，即，解得. 故选：A. 【变式3-2】（2026·高一·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为幂函数在上是增函数， 所以，所以. 又幂函数是定义在上的增函数， 所以. 故选：C 【变式3-3】（2026·高一·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 题型四：单调性与奇偶性综合 【典例4】（多选题）（2026·高一·云南昆明·期中）下列函数既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】选项A，不是奇函数，是增函数，不符合题意； 选项B，是奇函数，又是增函数，符合题意； 选项C，是反比例函数，为奇函数，但不是增函数，不符合题意； 选项D，，为奇函数，在R上为增函数，符合题意． 故选：BD 【变式4-1】（多选题）（2026·高一·湖南张家界·期中）已知幂函数互质，下列结论正确的是（     ） A．m，n是奇数，为奇函数 B．m是奇数，n为偶数时，为偶函数 C．m是偶数，n为奇数时，为偶函数 D．当时，在上是增函数 【答案】ABD 【解析】， A选项，是奇数，的定义域为， ，是奇函数，A选项正确. B选项，是奇数，是偶数，的定义域为， ，是偶函数，B选项正确. C选项，是偶数，是奇数，的定义域为，是非奇非偶函数，C选项错误. D选项，根据幂函数的性质可知，当时，在上是增函数，D选项正确. 故选：ABD 【变式4-2】（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】设幂函数，则，解得，所以， 所以的定义域为，在上单调递增，故A正确， 因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误， 当时，，故C正确， 当时，， 又，所以，D正确． 故选：ACD. 【变式4-3】（多选题）（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数且在区间上单调递减，则实数m的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 因为，所以或3， 当时，函数为偶函数，符合题意； 当时，函数为偶函数，符合题意， 综上，或. 故选：BC. 题型五：定义域与值域 【典例5】（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 【变式5-1】（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【解析】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【变式5-2】（2026·高二·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 【变式5-3】（2026·高一·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【解析】（1）令,则，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； （2）令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. （3）令因为，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 题型六：函数的实际应用 【典例6】（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军嘉兴市场．该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志．嘉兴市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台．设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． (1)求； (2)求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入－成本）； (3)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 【解析】（1）（万元）． （2）生产万台的成本为万元，销售收入为万元， 当时，， 当时，， 故． （3）当时，在上单调递增， 故（万元）， 当时，， 当即时取等，故（万元）， 因为，所以当年产量为29万台时利润最大，最大利润为2360万元． 【变式6-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）在排球训练中，一名同学在距地面高度处，以初速度竖直上抛一排球．若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系：，其中．设排球距地面的高度为（单位：）． (1)求关于的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： (2)若排球达到距地面以上才能有效拦网，求排球在距地面以上的停留时间： (3)若教练要求排球在距地面以上停留时间至少，求的最大值． 【解析】（1）排球距地面高度为起抛高度加上相对起抛点高度：， 排球回到击出点高度时，，即，解得（舍去）或， 所以所需时间为. （2）球在距地面以上，即， 整理得，解得：， 所以停留时间为． （3）由得：，即，      设关于的方程的两根为， 对应方程的判别式为，即，      距地面以上停留时间：，   则，解得：，所以的最大值为. 【变式6-2】（2026·高一·北京通州·阶段检测）李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 【解析】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为元. 当时，元， 当且仅当件时等号成立. 综上所述，当年产量为件时，获利最大. 【变式6-3】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）南阳某甜品店应对市场需求生产一种蛋糕，经核算生产该蛋糕每年固定成本为15万元，每生产x千个，需要另外投入成本C(x)万元，其中，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千个)的函数解析式； (2)年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕生产中所获利润最大. 【解析】（1） （2）当时，， 故当时，此时取到最大值83， 当，时，，当且仅当时取到等号， 由于，故取到最大值83，此时. 题型七：幂函数的综合应用 【典例7】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式7-1】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）已知幂函数（为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【解析】（1）因为幂函数（为常数）的图象经过点， 则，所以，故； （2）， （i）在区间上单调递增，证明如下： 设，所以， 因为，所以，所以， 所以，可得函数在区间上单调递增； （ii）由（i）知，为增函数. ∴由得，恒成立， ∴ 恒成立 又在区间为减函数， 当时，， 所以的范围为. 【变式7-2】（2026·高一·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． （2）①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 【变式7-3】（2026·高一·广东汕头·期中）已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． (1)若，求函数的最值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若对于，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，，， 所以函数的最小值为，最大值为3； （2）由题意，关于x的不等式的解集为， 即不等式对于恒成立， 当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. （3）由题意，对于，，使得成立， 则. 对于函数，，由（1）知，. 对于函数，， ①若，，则，而，不符合题意. ②若，易知开口向上，对称轴， 所以， 则，即，不符合题意； ③若， 当，即时，， 则，即，所以； 当，即时，， 则，即，所以此种情况不合题意； 当时，， 解不等式得 ，结合本情形的条件可得 ； 综上所述，实数m的取值范围为. 1．（2026·高三·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 2．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 3．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由幂函数在单调递减，可得指数， 因此排除指数为正的选项A，B， 再由图像关于轴对称，说明是偶函数， 对于C：，，定义域为， 因为，所以是奇函数，关于原点对称，故C不符合要求， 对于D：，，定义域为， 因为，所以是偶函数，关于轴对称，因此答案选D. 4．（2026·高一·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增，故A错误； 对于B，因为 是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由于 是对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增，故Ｃ错误； 对于D，由于 是幂函数，幂指数， 根据幂函数性质，幂指数为负时，函数在上单调递减，故D正确. 5．（2026·高一·北京西城·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，在上单调递减，错误； 对于B，在区间上单调递增，正确； 对于C，在上单调递减，错误； 对于D，在上单调递减，错误. 故选：B 6．（2026·高一·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B 7．（2026·高一·山东济南·期中）比较实数与的大小，正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【解析】设函数，则在上单调递增； 又，所以，即. 故选：C. 8．（2026·高一·四川广安·期中）已知，且满足，则的值为（   ）. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】，， 设，， ， 是上的奇函数， 在上是单调递增函数，在上是单调递增函数 是上的单调递增函数， ，， ，， 是上的单调递增函数， ，. 故选：D. 9．（多选题）（2026·高一·云南昆明·期中）下列叙述正确的是（    ） A．两个函数，表示的是同一个函数 B．函数的值域为 C．已知幂函数过点，则 D．若函数，则 【答案】BCD 【解析】对于A，函数的定义域为且，函数的定义域为，二者定义域不同，故不是同一个函数，故A错误： 对于B，由函数的定义域为，且函数在定义域上单调递增可知，，即值域为，故B正确； 对于C，由幂函数过点，可得，即，所以，故C正确； 对于D，令，则，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列说法中正确的有（   ） A．与是同一个函数 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 【答案】CD 【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 在定义域内不单调，故B错误； 对于C，在函数中，，则， 因此函数的定义域为，故C正确； 对于D，若方程有两个正实数根，则，解得，故D正确. 故选：CD. 11．（多选题）（2026·高一·河北·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【解析】由的定义域为，且， 即为奇函数，所以A正确； 由的定义域为，且，即为偶函数，所以B正确； 令的定义域为，且，不是偶函数，所以C不正确； 由的定义域为，显然定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数， 所以D正确. 故选：ABD. 12．（2026·高一·辽宁·期中）写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【解析】令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则 ， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 13．（2026·高二·陕西西安·期中）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【答案】 【解析】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 14．（2026·高一·广东·期中）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为__________ 【答案】 【解析】因为函数为幂函数，所以设， 由. 所以. 又在上单调递增， 所以. 故所求不等式的解集为. 故答案为： 15．（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式； (2)若，求的最小值． 【解析】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以 （2）因为， 所以， 所以,当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 16．（2026·高一·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 【解析】（1）设，， 则由题意可知，，，，得，，， 则，； （2）， 令，则，对称轴为， 又，，，则， 故函数在上的值域为. 17．（2026·高一·四川绵阳·期中）已知二次函数,满足，且在区间上的最大值为3． (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式． 【解析】（1）由，所以，即 即， 由可知在上单调递增， 所以在区间上的最大值为， 所以； （2）由上可知等价于， 若，显然该不等式无解； 若，则； 若，则； 综上所述：时，解集为，时，解集为，时，解集为. 18．（2026·高一·山东枣庄·期中）设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）. （1）已知函数在是下凸函数（即凹函数）．求证：； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：． 【解析】（1）因为， ， 且， 所以，当且仅当时，等号成立 即不等式得证 （2）因为幂函数在内是凹函数． 所以，即，当且仅当a=b时，等号成立． 又因为幂函数在内是增函数， 所以．当且仅当a=b时，等号成立． 同理可证：，当且仅当b=c时，等号成立． ，当且仅当c=a时，等号成立． 三式相加得：， 又a＋b＋c＞0， 所以当且仅当a=b=c时，等号成立． 不等式得证． 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 幂函数以及函数的应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、幂函数概念 3 知识点二、幂函数的图象及性质 3 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 4 03 题型精讲 5 题型一：幂函数定义 5 题型二：图像问题 5 题型三：解不等式 6 题型四：单调性与奇偶性综合 7 题型五：定义域与值域 7 题型六：函数的实际应用 8 题型七：幂函数的综合应用 10 04 过关测试 12 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 考点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 考点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 题型一：幂函数定义 【典例1】（2026·高一·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【变式1-2】（2026·高二·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【变式1-3】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 题型二：图像问题 【典例2】（2026·高一·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【变式2-1】（2026·高一·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】（2026·高一·宁夏银川·期中）对，记，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 题型三：解不等式 【典例3】（2026·高一·江苏苏州·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·广东·期中）若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：单调性与奇偶性综合 【典例4】（多选题）（2026·高一·云南昆明·期中）下列函数既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选题）（2026·高一·湖南张家界·期中）已知幂函数互质，下列结论正确的是（     ） A．m，n是奇数，为奇函数 B．m是奇数，n为偶数时，为偶函数 C．m是偶数，n为奇数时，为偶函数 D．当时，在上是增函数 【变式4-2】（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【变式4-3】（多选题）（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数且在区间上单调递减，则实数m的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：定义域与值域 【典例5】（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_____________． 【变式5-1】（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【变式5-2】（2026·高二·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【变式5-3】（2026·高一·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 题型六：函数的实际应用 【典例6】（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军嘉兴市场．该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志．嘉兴市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台．设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． (1)求； (2)求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入－成本）； (3)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 【变式6-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）在排球训练中，一名同学在距地面高度处，以初速度竖直上抛一排球．若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系：，其中．设排球距地面的高度为（单位：）． (1)求关于的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： (2)若排球达到距地面以上才能有效拦网，求排球在距地面以上的停留时间： (3)若教练要求排球在距地面以上停留时间至少，求的最大值． 【变式6-2】（2026·高一·北京通州·阶段检测）李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 【变式6-3】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）南阳某甜品店应对市场需求生产一种蛋糕，经核算生产该蛋糕每年固定成本为15万元，每生产x千个，需要另外投入成本C(x)万元，其中，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千个)的函数解析式； (2)年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕生产中所获利润最大. 题型七：幂函数的综合应用 【典例7】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式7-1】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）已知幂函数（为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【变式7-2】（2026·高一·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【变式7-3】（2026·高一·广东汕头·期中）已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． (1)若，求函数的最值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若对于，使得成立，求实数的取值范围． 1．（2026·高三·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 2．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·北京西城·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·高一·山东济南·期中）比较实数与的大小，正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较 8．（2026·高一·四川广安·期中）已知，且满足，则的值为（   ）. A．0 B．2 C．4 D．6 9．（多选题）（2026·高一·云南昆明·期中）下列叙述正确的是（    ） A．两个函数，表示的是同一个函数 B．函数的值域为 C．已知幂函数过点，则 D．若函数，则 10．（多选题）（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列说法中正确的有（   ） A．与是同一个函数 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 11．（多选题）（2026·高一·河北·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 12．（2026·高一·辽宁·期中）写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 13．（2026·高二·陕西西安·期中）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 14．（2026·高一·广东·期中）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为__________ 15．（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式； (2)若，求的最小值． 16．（2026·高一·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 17．（2026·高一·四川绵阳·期中）已知二次函数,满足，且在区间上的最大值为3． (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式． 18．（2026·高一·山东枣庄·期中）设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）. （1）已知函数在是下凸函数（即凹函数）．求证：； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：． 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $