第07讲 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数期中复习讲义（6大知识点+6大题型归纳+测试）2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第07讲 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1、函数的概念 3 知识点2、区间： 3 知识点3、函数的三要素 3 知识点4、函数的相等 3 知识点5、函数的表示方法 4 知识点6、分段函数 4 03 题型精讲 5 题型一：函数的概念 5 题型二：具体与抽象函数定义域 6 题型三：函数值域 8 题型四：函数解析式求解 10 题型五：分段函数 12 题型六：函数综合问题 16 04 过关测试 20 知识点1、函数的概念 设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ,. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集. 知识点2、区间： 定义 名称 符号 数轴表示 闭 区 间 开 区 间 半开半闭区间 半开半闭区间 知识点3、函数的三要素 （1）定义域； （2）对应关系； （3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定. 知识点4、函数的相等 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. 知识点5、函数的表示方法 （1）解析法 （2）图象法 说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域. 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3）列表法 知识点6、分段函数 （1）分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 （1） ， （2）. 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围. ③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式. ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. （2）分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. 题型一：函数的概念 【典例1】（2026·高一·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 【变式1-1】（2026·高一·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 【变式1-2】（2026·高一·江苏南京·期中）函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．10个 【答案】C 【解析】因为，所以值域中必有元素， 当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足； 当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或， 若值域中的两个元素是时，则或， 若值域中的两个元素是时，则或， 此时有个函数满足； 当值域中有三个元素，即值域为， 只能，此时有个函数满足， 综上所述，共有个函数满足要求， 故选：C. 【变式1-3】（2026·高一·四川·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【解析】令，则，解得或， 当时，令，则，解得， 令，则，矛盾， 则， 又，且，所以， 令，则，所以. 题型二：具体与抽象函数定义域 【典例2】（2026·高一·全国·期中）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解析式得 ，解得且，即函数定义域为. 【变式2-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 【变式2-2】（2026·高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【变式2-3】（2026·高一·山东枣庄·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， 所以，所以的定义域为， 则函数有意义， 有，得，得， 则函数的定义域为：， 故选：D 题型三：函数值域 【典例3】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）（1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 【解析】（1）由得，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最大值为； （2）令，则，则，故即为， 而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，即， 故函数的值域为； （3）， 因为，所以，， 则函数的值域为； （4）由， 因为，由基本不等式，当且仅当取等号， 因为，所以，令，则，则有， 因为，所以， 当且仅当，即，即，即时取等，所以函数的最小值为， 当时，，故函数无最大值． 【变式3-1】已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【解析】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 【变式3-2】（2026·高一·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 【解析】（1）由函数表达式：得：二次函数开口向上，对称轴为：； 定义域为：，在定义域内，所以时，取得最小值为； 又因为，根据函数的对称性可知，时，取得最大值为； 综上所述：函数在上的值域为. （2），定义域为：； 当时，，所以，所以，所以； 当时，，所以，所以，所以； 综上所述：在上的值域为. 【变式3-3】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）求下列函数的值域. (1) (2) 【解析】（1）,函数的定义域为,在上单调递增，在上单调递减， ,又因为,所以. 所以函数的值域为 （2）, 当且仅当取等号,函数的值域为. 题型四：函数解析式求解 【典例4】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）（1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知为一次函数，若，求的解析式． 【解析】（1）由已知得，所以； （2）因为一次函数，设（，为常数）. 则. 因为，所以解得或. 所以或. 【变式4-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【解析】（1）令，则， ，故． （2）设二次函数，则， ， ， 故，解得，故． （3），解得，故． 【变式4-2】（2026·高一·四川内江·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，，求的解析式； （2）已知函数满足：对任意非零实数x，都有，求的解析式． 【解析】（1）由是二次函数，设，由，得， 由，得， 化简并整理得，因此，解得， 所以的解析式为． （2）由，得， 用替换，得， 由，得， 所以的解析式为，． 【变式4-3】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【解析】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 题型五：分段函数 【典例5】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）给定函数，，． (1)在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记．例如，当时，．请在图二中画出函数的图象并求其解析式、单调区间及值域； (3)解不等式． 【解析】（1）的图象是过点，的直线， 的图象是开口向上、顶点为、与轴交于，两点的抛物线，如图一所示． （2）令，即，整理得， 解得或． 当时，由（1）中的图象可知，此时较大者为，即； 当或时，，即． 所以为分段函数：当或时，；当时，． 函数的图象如图二所示，在与处两段函数值相等（依次为与0），图象连续不断开． 当时，的对称轴为，其在上单调递减； 当时，单调递增； 当时，在上单调递增， 因此的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （3）①当时，即， 等价于，不成立，此时无解； ②当或时，即， 整理得，解得或，符合定义域要求， 综上，不等式的解集为． 【变式5-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 【解析】（1）因为函数， 所以，，， 因此，. （2）因为，分三种情况： ①若：则，解得，满足，是有效解； ②若：则，解得，满足，是有效解； ③若：令，解得，满足，是有效解. 因此或或. （3）当时：函数图象是反比例函数​在第三象限的分支； 当时：函数图象是一次函数的一段，是一段线段； 当时：函数图象是一次函数的一部分，是一条射线. 作出函数图象如下： 【变式5-2】（2026·高一·北京丰台·阶段检测）已知函数 (1)计算的值； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象 (3)若，求实数的值； (4)若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 【解析】（1）因为，所以， 因此. （2）当时，是开口向上的抛物线，顶点为，过、，保留左侧（含）部分，为实心点， 当时，是斜率为的射线，过（空心点，不含端点），向右下方延伸. （3）因为， 当时，，即，解得，满足； 当时，，解得，满足； 综上，实数的值为或. （4）结合图象走势分析： 抛物线段（）值域为，射线段（）值域为， 当时，抛物线对应2个交点、射线对应1个交点，总计3个公共点， 因此直线与函数的图象有3个公共点时，的取值范围是. 【变式5-3】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)求，，的值； (2)求不等式的解集． 【解析】（1）函数， ，， 又，. （2）当时，，，； 当时，，，． 综上所述，不等式的解集为． 题型六：函数综合问题 【典例6】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）二次函数 满足 ，且 ．． (1)求 的解析式； (2)对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； (3)对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 【解析】（1）设（），由，得， 又，与比较同次项系数，得， 解得，，所以． （2）由小问1，等价于，即． 令，由二次函数的性质，在上单调递减，故其最小值为． 由于该最小值可以取得，要使对任意恒成立，必要且充分条件是． （3）由小问1，在上单调递增，其值域为； 在上单调递增，其值域为． 题意要求的每一个值都能被取到，等价于，即，解得． 【变式6-1】（2026·高一·山西太原·阶段检测）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． (1)当时，求函数的值域； (2)求的解集； (3)若的解集为，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 当时，，当时，， 当时，，则函数的值域为. （2）由，即， ，则，所以. 所以的解集为. （3）不等式，即， 方程，可得或. 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 综上，或，故的取值范围为. 【变式6-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知函数满足：. (1)求的解析式: (2)若在的最小值为6，求m的值 (3)对任意实数，都有恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）令，则， 由，得， 所以； （2）由（1）可得. 当，即时，， 所以，解得，符合题意； 当，即时，， 所以，解得，不符合题意； 当，即时，， 所以，解得，不符合题意； 综上所述：. （3）因为对任意实数，都有恒成立， 所以对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立. 又，当且仅当，即时取等号. 所以a的取值范围为. 【变式6-3】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知函数. (1)求，，的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【解析】（1）， ， ； （2），理由如下： ； （3）， 由（2）知，， . 1．（2026·高一·全国·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以，， 所以. 2．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 【答案】A 【解析】对于选项A：函数、的定义域均为，且， 可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故A正确． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故D错误． 3．（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为函数 ， 所以 . 4．（2026·高一·广东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 对于函数，有或，解得或. 故函数的定义域为． 5．（2026·高一·广西·期中）设函数 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 6．（2026·高一·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 7．（2026·高一·辽宁·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得在上恒成立. 当时，则不等式可化为，在上恒成立； 当时，由在上恒成立，可得， 解得. 综上可知. 8．（2026·高一·江西南昌·期中）设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由. 又. 原式. 9．（多选题）（2026·高一·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数，则 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．，则 D．命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以 ，故C错误； 对于D，由于“，”是真命题，则， 由于，故，故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·甘肃·期中）设，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对A选项，，故A正确， 对B选项，， ，故B错误， 对C选项，由B选项知，，故C正确， 对D选项，， ，，故D错误． 11．（多选题）（2026·高一·云南德宏·期中）下列图象中，能表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于选项ABC，当取一个值时，有唯一值与之对应，符合函数定义，故ABC正确； 对于选项D，当取一个值时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故D错误. 12．（2026·高一·北京·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足， 所以的定义域为. 13．（2026·高一·辽宁·期中）设函数则不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】因为所以原不等式等价于． 当时，，解得 当时，，即 所以结合，得 因此原不等式的解集为 14．（2026·高一·全国·期中）已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】， 因为，则，，所以， 要使的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集不是空集， 所以， 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以， 综上，实数的取值范围是． 15．（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 【解析】（1）证明：由对任意的实数，满足， 令，则，所以. （2）①证明：任意，， 则 . ②由函数的图象在R上连续不断，得函数的图象在R上连续不断， 由①知，依题意，， 又，则，函数，， 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，. 综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为. 16．（2026·高一·全国·期中）已知函数满足，求的解析式． 【解析】由，① 得，② ②①，得， 所以． 17．（2026·高一·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 【解析】（1）设，， 则由题意可知，，， ， 得，，， 则，； （2） ， 令，则 ，对称轴为， 又， ， ， 则， ∴函数在上的值域为. 18．（2026·高一·四川成都·期中）已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 【解析】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1、函数的概念 3 知识点2、区间： 3 知识点3、函数的三要素 3 知识点4、函数的相等 3 知识点5、函数的表示方法 4 知识点6、分段函数 4 03 题型精讲 5 题型一：函数的概念 5 题型二：具体与抽象函数定义域 5 题型三：函数值域 6 题型四：函数解析式求解 7 题型五：分段函数 8 题型六：函数综合问题 10 04 过关测试 12 知识点1、函数的概念 设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ,. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集. 知识点2、区间： 定义 名称 符号 数轴表示 闭 区 间 开 区 间 半开半闭区间 半开半闭区间 知识点3、函数的三要素 （1）定义域； （2）对应关系； （3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定. 知识点4、函数的相等 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. 知识点5、函数的表示方法 （1）解析法 （2）图象法 说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域. 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3）列表法 知识点6、分段函数 （1）分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 （1） ， （2）. 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围. ③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式. ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. （2）分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. 题型一：函数的概念 【典例1】（2026·高一·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（2026·高一·江苏南京·期中）函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．10个 【变式1-3】（2026·高一·四川·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 题型二：具体与抽象函数定义域 【典例2】（2026·高一·全国·期中）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·山东枣庄·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 题型三：函数值域 【典例3】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）（1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 【变式3-1】已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【变式3-2】（2026·高一·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 【变式3-3】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）求下列函数的值域. (1) (2) 题型四：函数解析式求解 【典例4】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）（1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知为一次函数，若，求的解析式． 【变式4-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【变式4-2】（2026·高一·四川内江·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，，求的解析式； （2）已知函数满足：对任意非零实数x，都有，求的解析式． 【变式4-3】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 题型五：分段函数 【典例5】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）给定函数，，． (1)在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记．例如，当时，．请在图二中画出函数的图象并求其解析式、单调区间及值域； (3)解不等式． 【变式5-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 【变式5-2】（2026·高一·北京丰台·阶段检测）已知函数 (1)计算的值； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象 (3)若，求实数的值； (4)若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 【变式5-3】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)求，，的值； (2)求不等式的解集． 题型六：函数综合问题 【典例6】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）二次函数 满足 ，且 ．． (1)求 的解析式； (2)对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； (3)对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 【变式6-1】（2026·高一·山西太原·阶段检测）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． (1)当时，求函数的值域； (2)求的解集； (3)若的解集为，求的取值范围． 【变式6-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知函数满足：. (1)求的解析式: (2)若在的最小值为6，求m的值 (3)对任意实数，都有恒成立，求a的取值范围. 【变式6-3】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知函数. (1)求，，的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 1．（2026·高一·全国·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 3．（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A． B． C．2 D．1 4．（2026·高一·广东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广西·期中）设函数 ，则 （    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·高一·辽宁·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·江西南昌·期中）设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（多选题）（2026·高一·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数，则 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．，则 D．命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 10．（多选题）（2026·高一·甘肃·期中）设，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·云南德宏·期中）下列图象中，能表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·北京·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 13．（2026·高一·辽宁·期中）设函数则不等式的解集是___________ 14．（2026·高一·全国·期中）已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 15．（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 16．（2026·高一·全国·期中）已知函数满足，求的解析式． 17．（2026·高一·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 18．（2026·高一·四川成都·期中）已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $