3.2.2 函数的奇偶性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 新课导入 活动1.让我们画出并观察函数和的图象，并说出它们的共同特征 现实世界与数学中都充满对称：蝴蝶的双翅、剪纸的图案、建筑的中轴线…… 蝴蝶——轴对称 窗花——中心对称 建筑——轴对称 把这种对称放到直角坐标系里，就得到函数图像的对称性 两个函数图象都关于y轴对称 新课导入 思考：类比函数单调性，探究如何利用符号语言精确描述“函数图象关于y轴对称”这一特征 先观察一些特殊的函数值情况 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· f(x)=x2 ··· ··· g(x)=2-|x| ··· ··· -1 -1 0 0 1 1 9 9 4 4 1 1 0 2 不难发现，当自变量 取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 即. 新课导入 偶函数　一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 重要前提：函数的定义域必须关于原点对称 例：函数 函数图象关于y轴对称，是偶函数 与：函数 函数图象不关于y轴对称，不是偶函数 新课导入 活动2.画出并观察函数和的图象，并说出它们的共同特征 两个函数图象都关于原点对称 同样先观察一些特殊的函数值情况，思考用符号语言描述图象特征 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· f(x)=x ··· ··· g(x)= ··· \ ··· -3 3 -2 2 -1 -1 1 1 0 新课导入 奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．特别地，如果函数f(x)在处有定义，则. 重要前提：奇函数的定义域同样需关于原点对称 例：函数 函数图象关于原点对称，是奇函数 与：函数 函数图象不关于原点对称，不是奇函数 例题讲解 [解]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称， 且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数，即f(x)既不是奇函数又不是偶函数． 例题讲解 [解]　(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 法二：图像法　(4)函数f(x)的图象如下图所示， 图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数 方法归纳 函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．　　 (2)图象法： 方法归纳 函数奇偶性的判断方法 (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 针对训练 解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． ∴f(x)是R上的奇函数． 例题讲解 例2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 方法归纳 巧用奇函数、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题．　　 针对训练 3.已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，x∈[－3,3]． (1)证明函数f(x)是偶函数，并在给定的坐标系中画出此函数的图象； (2)写出此函数单调区间与值域． 解：(1)对任意的x∈[－3,3]，－x∈[－3,3]， f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)是偶函数 图象如右图所示： (2)由图象知增区间为(－1,0)，(1,3)， 减区间为(－3，－1)，(0,1)，值域为[－2,2]． 例题讲解 例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为， 则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________. 例题讲解 例4 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式. 解：因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， 所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)． 因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)． 方法归纳 1．利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇函数、偶函数f(x)的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解． 2．利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(x)，从而解出f(x)．　 针对训练 针对训练 针对训练 课堂总结 1 两种定义 偶： 奇： 前提：定义域关于原点对称 2 两类图象 偶：关于 y 轴对称 奇：关于原点对称 若，则 对称性是最直观的判定工具 3 三步方法 一看：定义域对称 二算：并化简 三定：奇偶或非奇非偶 含参问题求出参数后必须检验 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝ ＋ ； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝ ＋ ； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 1．已知函数f(x)＝试判断函数f(x)的奇偶性． 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. [解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以a－1＝－2a，解得a＝. 又f(0)＝0，所以f(x)＝ $