3.2.2函数的奇偶性课件 (1)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，涵盖概念、判断步骤及图象对称特征。课堂从蝴蝶、雪花等生活对称现象切入，引导观察函数图象的y轴和原点对称，通过实例探究从对称到代数表达式的联系，搭建直观到抽象的学习支架。 其亮点是以“数形结合”为主线，用“对称看图，奇偶看式”培养数学眼光与思维。如例3翻折补全偶函数图象体现几何直观，判断步骤强调定义域对称和f(-x)运算培养推理严谨性。小结提炼“两个定义、一个前提、三步判断”，助学生系统掌握，教师可借实例提升教学效率。

函数的奇偶性 3.2.2 函数的奇偶性 · 第 1 课时 · 新授课 人教A版 必修第一册 · 第三章 函数的概念与性质 对称，是数学送给函数图象的礼物 照镜子看偶，转半圈看奇 开场：从生活中的对称引入，本课用代数语言刻画函数图象的对称性。 学习目标 第 2 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 1 理解偶函数、奇函数的概念，知道图象对称的特征 2 掌握判断函数奇偶性的步骤（先看定义域，再算 f(−x)） 3 会根据奇偶性补全函数图象、求函数值 4 能利用奇偶性解决简单的综合问题 5 体会数形结合：图象的对称与代数式 f(−x) 的联系 明确本课五个学习目标，课堂小结与这里呼应。 情境引入 · 对称之美 第 3 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 蝴蝶的双翅、雪花的六角、窗花的纹样——“对称”无处不在。 函数图象也有对称：有的关于 y 轴对称，有的关于原点对称。 x y O O y = 照镜子 x y O O y = 转半圈 y = 关于 y 轴对称（照镜子）；y = 关于原点对称（绕原点转 180° 重合）。 情境：以“照镜子”“转半圈”两个比喻区分 y 轴对称与原点对称，引出奇偶性。 探究一 · 从对称到代数 第 4 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 看 y = ：f(−2) = 4 = f(2)，f(−1) = 1 = f(1)； 看 y = ：f(−2) = −8 = −f(2)，f(−1) = −1 = −f(1)。 猜想：图象关于 y 轴对称 ⟺ f(−x) = f(x)； 图象关于原点对称 ⟺ f(−x) = −f(x)。 怎么验证“任意 x”都成立？——只能靠代数运算：算出 f(−x)，与 f(x)、−f(x) 比较。 探究：由具体函数值归纳猜想，再用代数验证任意性。 新知一 · 偶函数 第 5 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 设函数 f(x) 的定义域为 I。 若 ∀x ∈ I，都有 −x ∈ I，且 f(−x) = f(x)， 则称 f(x) 为偶函数，其图象关于 y 轴对称。 x y O 取 x 与 −x：横坐标相反，纵坐标相同 偶函数：f(−x)=f(x)，图象关于 y 轴对称，就像照镜子。 新知二 · 奇函数 第 6 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 设函数 f(x) 的定义域为 I。 若 ∀x ∈ I，都有 −x ∈ I，且 f(−x) = −f(x)， 则称 f(x) 为奇函数，其图象关于原点对称。 x y O 取 x 与 −x：横纵坐标都相反（绕原点转 180° 重合） 奇函数：f(−x)=−f(x)，图象关于原点对称，像风车旋转。 要点归纳 · 三个注意 第 7 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 ① 前提：定义域必须关于原点对称——这是判断奇偶性的“入场券”； ② 奇函数若在 x = 0 处有定义，则 f(0) = 0（“过原点”）； ③ 既奇又偶的函数：f(x) = 0（定义域关于原点对称即可）。 判断流程 先看定义域是否关于原点对称 → 再算 f(−x) → 比较 f(−x) 与 f(x)、−f(x)。 归纳：定义域对称是前提，奇函数过原点，既奇又偶仅常函数 0。 例 1 · 从图象猜，用代数证 第 8 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 例 1 先观察图象，再判断 f(x) = 、f(x) = 、f(x) = 的奇偶性。 答案：f(x) = 是偶函数；f(x) = 与 f(x) = 是奇函数。 x y O O y = x y O O y = x y O O y = 例1：三个常见函数图象，先直观判断再代数验证。 例 1 · 解析 第 9 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 f(x) = ：f(−x) = (−x = = f(x)，是偶函数； f(x) = ：定义域 (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 关于原点对称，f(−x) = − = −f(x)，是奇函数； f(x) = ：f(−x) = (−x = − = −f(x)，是奇函数。 小结：图象的对称性，与 f(−x) 的代数结果完全一致。 解析：三个函数逐个代数验证，图象与代数互相印证。 例 2 · 和式的奇偶性 第 10 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 例 2 判断 f(x) = + x 的奇偶性（注意：先看定义域，再整体提负号）。 定义域为 R，关于原点对称； f(−x) = (−x + (−x) = − − x = −( + x) = −f(x)； 所以 f(x) = + x 是奇函数。 例2：多项式函数奇偶性，验证“提负号”这一步。 例 3 · 给偶函数补上“另一半” 第 11 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 例 3 已知 f(x) 是偶函数，它的部分图象（x ≥ 0 部分）如图，画出它在 y 轴左侧的图象。 答案： 左半支与右半支关于 y 轴对称（翻折补全）。 x y O O 左侧图象是“？” 例3：已知偶函数右半支，利用对称性补全左半支。 例 3 · 解析（对称翻折） 第 12 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 偶函数图象关于 y 轴对称：把右半支沿 y 轴“翻折”到左侧； 关键点对应：(1.8, 3.2) → (−1.8, 3.2)，(4.0, 0.4) → (−4.0, 0.4)； 用平滑曲线连起来，即得左侧图象。 （若 f(x) 是奇函数，则把右半支绕原点转 180° 即可） x y O O 翻折补全 解析：偶函数翻折补全，标注关键点对应关系。 方法总结 · 判断奇偶性三步 第 13 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 1 看定义域 是否关于原点对称？ 不对称 → 非奇非偶 2 算 f(−x) 把 −x 代入解析式，化简 3 作比较 f(−x) = f(x) → 偶 f(−x) = −f(x) → 奇 图象法看对称，代数法定奇偶：两种方法互相印证，缺一不可。 注意：f(−x) 与 f(x)、−f(x) 都不等时，是非奇非偶函数。 方法总结：三步判断流程 + 图象法代数法互相印证。 课堂练习 1 第 14 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 练习 1 判断 f(x) = + 1 的奇偶性。 定义域 R 关于原点对称； f(−x) = (−x + 1 = + 1 = f(x)； 所以 f(x) = + 1 是偶函数。 练习1：开口向上的抛物线，偶函数。 课堂练习 2 第 15 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 练习 2 判断 f(x) = − x 的奇偶性。 定义域 R 关于原点对称； f(−x) = (−x − (−x) = − + x = −( − x) = −f(x)； 所以 f(x) = − x 是奇函数。 练习2：奇函数，注意 −(−x) = +x。 课堂练习 3 第 16 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 练习 3 判断 f(x) = + x 的奇偶性。 f(−1) = 0，f(1) = 2：f(−1) ≠ f(1)，且 f(−1) ≠ −f(1)； 所以 f(x) = + x 既不是偶函数，也不是奇函数。 （取一对特殊值即可否定，无需对所有 x 验证） 练习3：非奇非偶的判定技巧——取反例即可。 课堂练习 4 第 17 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 练习 4 判断 f(x) = 的奇偶性。 定义域为 [0, +∞)，不关于原点对称； 所以 f(x) = 既不是奇函数，也不是偶函数。 （“入场券”都没拿到，直接判非奇非偶） 练习4：定义域不对称直接判非奇非偶——呼应要点归纳。 课堂练习 5 第 18 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 练习 5 已知 f(x) 是奇函数，且 f(2) = 5，求 f(−2)。 f(x) 是奇函数 ⟹ f(−x) = −f(x)； 所以 f(−2) = −f(2) = −5。 （奇函数的函数值“成对出现、互为相反数”） 练习5：奇函数对称函数值互为相反数。 课堂练习 6 第 19 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 练习 6 f(x) = 0（x ∈ R）是奇函数还是偶函数？ f(−x) = 0 = f(x)，是偶函数； 同时 f(−x) = 0 = −f(x)，也是奇函数； 所以 f(x) = 0 既奇又偶——这是唯一“两栖”的函数。 练习6：常函数 0 既奇又偶，增加趣味。 思考题 1 第 20 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 思考 1 奇函数 f(x) 在 x = 0 处有定义，f(0) 一定等于多少？ 由奇函数定义，f(−0) = −f(0)，即 f(0) = −f(0)； 移项得 2f(0) = 0，所以 f(0) = 0。 奇函数若在原点有定义，图象必过原点。 思考1：奇函数过原点结论的代数推导。 思考题 2 第 21 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 思考 2 f(x) = ，x ∈ [−1, 2]，它是偶函数吗？ 不是。定义域 [−1, 2] 不关于原点对称； 例如 2 ∈ [−1, 2]，但 −2 ∉ [−1, 2]，f(−2) 无意义； 偶函数要求 ∀x ∈ I 都有 −x ∈ I——这里不满足。 思考2：定义域不对称一定不是偶函数，强化前提条件。 拓展思维训练 1 · 分段求解析式 第 22 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 拓展 1 f(x) 是 R 上的奇函数，当 x > 0 时 f(x) = − 2x，求 x < 0 时的解析式。 设 x < 0，则 −x > 0：f(x) = −f(−x) = −[(−x − 2(−x)]； f(x) = −( + 2x) = − − 2x； 所以 x < 0 时，f(x) = − − 2x。 拓展1：利用奇偶性由一侧解析式求另一侧，注意整体代换。 拓展思维训练 2 · 对勾式奇函数 第 23 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 拓展 2 判断 f(x) = x + 的奇偶性，并求 f(−2) + f(2)。 定义域 (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 关于原点对称； f(−x) = −x − = −(x + ) = −f(x)，是奇函数； f(−2) + f(2) = 0（奇函数对称函数值互为相反数）。 拓展2：分式与整式之和的奇偶性，奇函数性质求值。 课堂小结 第 24 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 两个定义：f(−x) = f(x)（偶，关于 y 轴对称）、f(−x) = −f(x)（奇，关于原点对称）； 一个前提：定义域必须关于原点对称； 三步判断：看定义域 → 算 f(−x) → 作比较； 两个结论：奇函数过原点（若定义域含 0）、既奇又偶仅 f(x) = 0； 一个思想：数形结合——对称看图，奇偶看式。 小结：两个定义、一个前提、三步判断、两个结论、一个思想。 课后作业 第 25 页 人教A版 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 1 判断 f(x) = 的奇偶性 2 判断 f(x) = + 2x 的奇偶性 3 已知 f(x) 是偶函数，且 f(−3) = 7，求 f(3) 4 判断 f(x) = 的奇偶性 5 f(x) 是 R 上的奇函数，且 f(1) = 3，求 f(−1) 答案：1. 偶函数（f(−x) = = f(x)）　2. 奇函数（f(−x) = − − 2x = −f(x)）　3. f(3) = 7 4. 偶函数（f(−x) = = f(x)）　5. f(−1) = −f(1) = −3 作业：奇偶性判断与性质求值，难度递进。答案已附。 函数的奇偶性 对称看图，奇偶看式。 f(−x) 这一小步，是严谨性的一大步。 结束页：总结本课核心，强调代数验证与数形结合。 $