3.2.2 奇偶性-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 该同步练通过A、B、C、D四组分层设计，实现从概念夯实到高考衔接的递进式知识巩固，融入生活情境与变式训练，培养数学眼光、思维与表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（基础）|奇偶性定义、图象特征|结合剪纸对称美情境，通过填空、判断巩固概念，限时10分钟适配新授课基础目标| |B组（单一知识点）|定义判断、图象特征、简单应用|设置变式题（如变式8-1改变运算形式），聚焦单一考点深化理解，培养推理思维| |C组（综合知识点）|奇偶性与单调性、对称性综合|结合定义域、解析式求法等综合应用（如第21题周期性结合），提升问题解决能力| |D组（高考衔接）|高考真题再现|选取2020-2021年高考题，限时5分钟训练，对接高考题型，培养应试能力|

3.2.2　奇偶性 1.y轴　原点 2.(1)f(-x)=f(x)　f(-x)=-f(x)　(2)y轴　坐标原点 3.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√　(5)√　(6)✕ (7)✕　(8)√ 4.BC　 5.(1)补充完整的函数图象如图: (2)(-1,0),(1,+∞)　(3)(-2,0)∪(0,2) 6.答案　 解题思路　当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3,即当x<0时,f(x)=-x2-2x-3. 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0. 故f(x)= 7.ABD　对于A,易知f(x)的定义域为R,且关于原点对称,f(-x)=-2x=-f(x),故f(x)为奇函数,所以A符合题意; 对于B,易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且关于原点对称,f(-x)=-x-=-f(x),故f(x)为奇函数,所以B符合题意; 对于C,易知f(x)的定义域为R,且关于原点对称,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),故f(x)为偶函数,所以C不符合题意; 对于D,易知f(x)的定义域为R,且关于原点对称,f(-x)=x3-x5=-f(x),故f(x)为奇函数,所以D符合题意. 故选ABD. 8.C　令g(x)=f(x)+f(-x),则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,故A错误; 令g(x)=f(|x|),则g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=g(x)=f(|x|)是偶函数,故B错误; 令g(x)=f(x)-f(-x),则g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数,故C正确; 令g(x)=f(x4),则g(-x)=f((-x)4)=f(x4)=g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=g(x)=f(x4)是偶函数,故D错误. 故选C. 变式8-1　C　解法一:由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),又f(x)·g(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)·g(x)是奇函数,故A错误; 对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),又|f(x)|g(x)的定义域关于原点对称,所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误; 对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,又f(x)·|g(x)|的定义域关于原点对称,所以f(x)·|g(x)|是奇函数,故C正确; 对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,又|f(x)g(x)|的定义域关于原点对称,所以|f(x)·g(x)|是偶函数,故D错误.故选C. 解法二:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以|f(x)|为偶函数,|g(x)|是偶函数.根据两个奇函数的乘积是偶函数,两个偶函数的乘积还是偶函数,一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数,可知C是正确的. 9.解题思路　(1)易知函数f(x)的定义域为R,且关于原点对称, f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)易知函数f(x)的定义域是R,且关于原点对称, f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x), ∴f(x)是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. 10.解题思路　(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于原点的对称点为P'(x,-f(-x)),图(1)为题图①补充后的图象,易知f(3)=-2. 　 (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴的对称点为P'(x,f(-x)),图(2)为题图②补充后的图象,易知f(1)>f(3). 11.解题思路　(1)f(x)的图象如图所示: (1) 根据(1)中的函数图象可得,f(x)的单调递增区间是(-1,0),(0,1),单调递减区间是(-∞,-1),(1,+∞). 方法总结　巧用奇偶性作函数图象的步骤 已知函数的定义域为R. (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象. 12.A　因为f(x)是偶函数,所以f(-)=f(),f(-3)=f(3), 又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,<3<π,所以f(π)>f(3)>f(),即f(π)>f(-3)>f(-). 故选A. 13.A　由题易得f(x)在[0,+∞)上单调递减, 所以f(3)<f(2)<f(1), 又f(x)为R上的偶函数, 所以f(3)<f(2)=f(-2)<f(1). 故选A. 变式13-1　D　由题易得f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减, 所以f(3)<f(1)<f(-2). 故选D. 14.A　因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x), 又当x>0时,f(x)=-1, 所以f(-1)=-f(1)=-=-1, 故选A. 15.B　因为函数f(x)是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,f(3)=0, 所以f(-3)=f(3)=0,f(x)在(-∞,0)上单调递减. 由此画出满足条件的一个函数f(x)的图象,如图所示, 由图可知,f(x)>0的解集是(-∞,-3)∪(3,+∞), 故选B. 16.答案　1;(0,2) 解题思路　由f(1-x)=f(1+x)知, f(x)的图象关于直线x=1对称, 又f(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以f(x)在(-∞,1]上单调递增, 所以当x=1时, f(x)取得最大值. 由f(x)图象的对称性可知f(0)=f(2),所以由f(0)<f(m),得0<m<2,即m的取值范围是(0,2). 17.答案　;0 审题指导　结合定义域关于原点对称,对定义域内的任一个x值,利用f(-x)=f(x)恒成立来确定参数的值. 解题思路　因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.所以f(x)=x2+bx+1+b.根据偶函数的定义知f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+1+b=x2+bx+1+b.所以2bx=0.由x的任意性知b=0. 方法总结　利用函数奇偶性求参数值的方法 (1)若具有奇偶性的函数的定义域含有参数,则需根据定义域关于坐标原点对称列式求解. (2)解析式含有参数,需根据f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)列式,比较各项的系数求解. (3)对于多项式函数,在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项,则函数为奇函数;若解析式中仅含有x的偶次项,则函数为偶函数. 18.B　对于A,y=f -1=-1=-2,不是奇函数; 对于B,y=f +1=+1=,为奇函数; 对于C,y=f -1=-1=-2,不是奇函数, 对于D,y=f +1=+1=,不是奇函数,故选B. 19.C　由题图可知,函数f(x)为奇函数,且定义域不是R. 对于A,易知该函数的定义域为{x|x≠±1},且该函数为奇函数, 又因为f(2)==-8<0,与题图不符,所以A错误; 对于B, f(x)=的定义域为R,故B错误; 对于D, f(-x)===f(x),易知f(x)的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,所以该函数为偶函数,故D错误.故排除A、B、D,故选C. 20.AD　y=|x|+1,y=-x2+1是偶函数,不符合题意. y=x3是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,符合题意. y=x是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,符合题意. 故选AD. 21.AD　若f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x),则有f(2)=f(0),故D正确; 由f(x+2)=f(x),且函数f(x)为偶函数,得f(x+2)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确; f(x)在[-1,0]上单调递增,且函数f(x)为偶函数,则函数f(x)在[0,1]上单调递减,故B错误; f(x)在[-1,0]上单调递增,且f(x+2)=f(x),则函数f(x)在[1,2]上单调递增,故C错误.故选AD. 22.C　因为f(2-x)=-f(2+x), 所以f(x)的图象关于点(2,0)中心对称.因为g(x)=,所以g(x)的图象关于点(2,0)中心对称. 所以点(x1,y1)和点(xn,yn),点(x2,y2)和点(xn-1,yn-1),……,均关于点(2,0)对称. 所以x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn=2×n+0=2n. 故选C. 23.答案　(-2,0)∪(2,5) 解题思路　因为函数y=f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象如图所示(实线部分).由图知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 24.答案　 解题思路　因为f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0]上单调递增, 所以f(x)在[0,1)上单调递减, 所以由f >f(1-x)可得解得0<x<,即原不等式的解集为. 25.答案　0 解题思路　易得a<0, f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(b-2a)x+a-b+c, 又f(x-1)为偶函数,∴b-2a=0,∴b=2a, 易知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为t,-2,则根据根与系数的关系可得t-2=-=-2,解得t=0. 26.解题思路　(1)若函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 则f(-x)==-f(x)=-, 解得b=0,又∵f=, ∴=,解得a=1,故f(x)=. (2)证明:任取m,n∈(-1,1),且m<n, 则f(m)-f(n)=-=, 易知m2+1≥1,n2+1≥1,m-n<0,1-mn>0, ∴f(m)-f(n)<0,即f(m)<f(n), ∴f(x)在(-1,1)上单调递增. 27.B　∵函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数, ∴f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)=-f(2x+1). 设-2x+1=t,则2x=1-t,∴f(t)=-f(2-t).① ∵f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).② 结合①②,得f(t)=-f(2-t)=-f(t+2), ∴f(-1)=-f(1)=0.故选B. 28.D　∵f(x)是定义在R的奇函数, ∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且f(x-1)的图象过点(-1,0)和(3,0),y=f(x-1)的大致图象如图: 当-1≤x≤0时, f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0. 综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 名师点睛　本题考查利用函数奇偶性与单调性解含抽象函数的不等式,考查分类讨论思想方法.首先根据函数的奇偶性与单调性,得到函数f(x)在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于或等于零,分类转化为含对应自变量的不等式,最后求并集得结果. 29.A　设y=f(x)=,易知f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)==-f(x), ∴函数f(x)=是奇函数,∴y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A. 名师点睛　函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域入手,判断图象的左右位置. (2)从函数的值域入手,判断图象的上下位置. (3)从函数的单调性入手,判断图象的变化趋势. (4)从函数的奇偶性入手,判断图象的对称性. (5)从函数图象的特征点入手,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　奇偶性 A组　教材夯基础限时10分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)生活因对称而美丽,观看下图中的剪纸工艺品图片,感受剪纸艺术中的对称美.下面的图形一定会给你美的感受吧! 这种对称美在我们学习的函数中,也有所体现.数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性,如二次函数y=x2的图象关于　　　对称,反比例函数y=的图象关于　　　对称.  2.(填一填,记一记) (1)偶函数、奇函数的定义 偶函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且　　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数.  奇函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且　　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数.  (2)偶函数、奇函数的图象特征 偶函数的图象是以　　　　为对称轴的轴对称图形;奇函数的图象是以　　　　为对称中心的中心对称图形.  3.(判对错) (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　　) (2)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.(　　) (4)对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(|x|).(　　) (5)若奇函数f(x)在(0,+∞)上有最小值a,则f(x)在(-∞,0)上有最大值-a.(　　) (6)函数f(x)=x2+|x|的图象关于原点对称.(　　) (7)偶函数的图象一定与y轴相交.(　　) (8)若函数f(x)的图象关于y轴对称,则该函数是偶函数,若关于原点对称,则该函数是奇函数.(　　) 4.(教材P84例6改编)(多选)下列函数是偶函数的是(　　) A.y=x(x∈[0,1]) B.y=3x2 C.y= D.y=x|x| 5.(教材P85练习T1改编)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴上及其左侧的图象,如图所示. (1)请补充完整函数y=f(x)的图象; (2)由图象可知,函数y=f(x)的增区间为　　　　　　　　　;  (3)由图象可知,使f(x)<0的x的取值集合为　　　　　　　　.  6.(教材P86习题3.2T11改编)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则f(x)的解析式为f(x)=　　　　　　　　　.  B组　单一知识点限时30分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1　奇偶性的定义及判断 7.(2025四川遂宁期中)(多选)下列函数中为奇函数的是　(　　) A.f(x)=2x B.f(x)=x+ C.f(x)=x2 D.f(x)=-x3+x5 8.()若函数f(x)的定义域为R,则下列函数必为奇函数的是(　　) A.y=f(x)+f(-x) B.y=f(|x|) C.y=f(x)-f(-x) D.y=f(x4) 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式8-1　(改变运算形式)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　) A. f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 9.()判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)=. 知识点2　奇、偶函数的图象特征 10.(2024山东临沂一中期末) (1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值; (2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小. 　 11.知方法()已知定义在R上的奇函数f(x),当x<0时, f(x)=x2+2x+1. (1)请画出函数f(x)的图象; (2)写出函数f(x)的单调区间. 知识点3　函数奇偶性的应用 12.(2025安徽阜阳期末)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-),f(π),f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 13.()定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则(　　) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 　　　　　　　　　　　　　　　 变式13-1　(改变函数奇偶性)定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则(　　) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 14.(2025广东中山月考)函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-1,则f(-1)=(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 15.(2025江苏盐城期末)若函数f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为(　　) A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(0,3) 16.()已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x)在[1,+∞)上单调递减,则当x=　　　　时, f(x)取得最大值;若不等式f(0)<f(m)成立,则m的取值范围是　　　　.  17.知方法(2024安徽蚌埠期末)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.  C组　综合知识点限时20分钟 18.()设函数f(x)=,则下列函数为奇函数的是(　　) A.y=f -1 B.y=f +1 C.y=f -1 D.y=f +1 19.()函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 20.(2025重庆月考)(多选)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=x 21.(2024山东菏泽模拟)(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x)在[0,1]上单调递增 C.f(x)在[1,2]上单调递减 D.f(2)=f(0) 22.(2025福建莆田一中期中)设函数f(x)满足f(2-x)=-f(2+x),g(x)=,且f(x)与g(x)的图象的交点分别为点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn的值为(　　) A.0 B.n C.2n D.4n 23.(2024江苏南通期末)已知奇函数y=f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为　　　　.  24.(2024广东佛山期中)若函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0]上单调递增,则不等式f >f(1-x)的解集为　　　　.  25.()已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(t,+∞),且f(x-1)为偶函数,则实数t=　　　　.  26.()函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f =. (1)求实数a,b,并确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上单调递增. D组　高考怎么考限时5分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 27.(2021全国新高考Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R, f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则(　　) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 28.(2020全国新高考Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 29.(2020天津高考)函数y=的图象大致为　(　　) 学科网（北京）股份有限公司 $