1.1--2.2 （数轴、绝对值、规律题、程序框图和列代数式应用）培优 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

1.1--2.2 （数轴、绝对值、规律题、程序框图和列代数式应用）培优 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册 【数轴上整点覆盖问题】 1．如图小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（     ） A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028 3．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 【数轴上规律探究题】 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D分别落在数轴上表示数0和数的点处．现将正方形沿数轴向右连续翻转，翻转一次后，点B落在数轴上表示数1的点处，继续这样翻转下去，落在数轴上表示数2026的点处的是（     ） A．A B．B C．C D．D 5．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 6．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【程序框图与代数式、有理数】 7．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去……，第2026次输出的结果是（    ） A．4 B．6 C．3 D．8 8．有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则： 若，则第2026次“F运算”的结果是（     ） A．19 B．31 C．62 D．98 10．如图是一个运算程序框图，输入的值为，则输出的值是（     ） A． B． C． D．无法输出 【根据图形寻找规律】 11．下图是小张用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第7个图案中正三角形有（     ） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 12．如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为（     ） A．37 B．45 C．55 D．66 13．按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★……按照这一规律，第⑦个图中★的个数是（     ） A．23 B．25 C．27 D．29 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图形中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”，都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中符合这一规律的是（     ） A． B． C． D． 【数轴上的动点问题（点的平移）】 15．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 16．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 17．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 【数形结合与绝对值的应用】 18．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 19．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点的之间距离．因为，所以的几何意义是数轴上x所对应的点与－2所对应的点的之间距离． （1）发现问题：的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数－2，3，x，． ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是5． （3）解决问题： ①的最小值是______； ②利用上述思想方法解不等式：； ③当m为何值时，代数式的最小值是6． 20．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时．如下面一组等式： ． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是_____，的结果是_____． (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于－4与2之间，求的值． 21．“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． (1)已知a，b是有理数，当，时，求的值； (2)已知，求的值； 【类比探究】 (3)已知，且，求m的最小值． 【数字（式子）类规律探索题】 22．观察下列各式： ，，，… (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①__________；②__________（是正整数）． (2)计算：； (3)探究并计算：． 23．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，所以，就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号） ①；②；③． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数构成一对“隔一数对”． 计算：． 24．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第个等式为 ，第个等式为 ． (2)利用上述规律，计算：． 25．阅读下列材料，并解决问题． 特殊值法，是通过设题中某个未知数为特殊值，从而通过简单的运算，解决问题的一种方法．如： 问题：若，求的值． 解：当时，左式，右式． 所以． 已知：． (1)求的值； (2)求的值． 26．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是5． (1)直接写出、、的值； ， ， ． (2)求的值． 27．材料1：在一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，多项式的值不变，则称这样的多项式为“二元轮换对称式”．例如，，，…，都是“二元轮换对称式”，对于所有的“二元轮换对称式”都可以用含相同字母的另一个“二元轮换对称式”来表示，形成一个“基本轮换对称式”，例如：是一个“基本轮换对称式”． 材料2：求形如（且为整数）的“基本轮换对称式” ， ， ， …， 通过阅读上列材料，解决以下问题． (1)式子①；②；③；④中，属于“二元轮换对称式”的是 （填序号）； (2)若已知，，求的值； (3)请你直接写出的“二元轮换对称式”． 【图形与列代数式、求值】 28．如图，数轴上点，分别表示数，，其中，． (1)若，，求线段的长度及线段的中点表示的数； (2)该数轴上有另一点表示数． ①若，点在点的左侧，且．求整式的值； ②若，且，能否求整式的值？若能，求出该值；若不能，说明理由． 29．某校要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示． (1)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． (2)当时，取3时，求阴影部分的面积． 30．如图所示，已知长方形的长为a米，宽为b米，半圆半径为r米． （1）这个长方形的面积等于______平方米； （2）用代数式表示阴影部分的面积S． （3）当，，时，求阴影部分的面积S（结果保留） 31．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如下表： 月用量 不超过180 超过180，不超过280的部分 超过280的部分 收费标准/[元] (1)如果恒恒家每月缴电费y元，每月用电量为，用含x的代数式表示电费y： ①当时，______； ②当时，______； ③当时，______． (2)若恒恒家6月份缴电费138元，求恒恒家6月份的用电量． 32．如图，正方形花坛的边长为a米．物业公司现计划在阴影部分种植三角梅，每平方米种植一棵．已知甲、乙两种植基地的三角梅每棵的标价都是5元一棵，但甲、乙两种植基地的优惠条件不同 甲基地：若购买不超过10棵，则按标价付款；若一次购买10棵以上，则超过10棵的部分按标价的付款；乙基地：按标价的付款 (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S (2)若物业公司计划购买m（）棵三角梅，请用含m的式子分别表示在两种基地购买三角梅方案的花费： (3)①当，时，求阴影部分的面积． ②根据①求出来的面积，你认为在甲、乙两种植基地中，到哪个种植基地购买比较划算？说明理由． 【有理数混合运算的实际应用】 33．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 4 4 5 2 (1)这批样品的总质量比标准总质量是多还是少？ (2)若每袋允许有的误差，请你估计这批产品的合格率？ (3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给经销商900袋．在销售中不合格的产品将返回工厂重新加工，食品厂将不合格产品的进价费返还经销商并承担每袋1元的返还运费．请你估计食品厂在这次销售中的利润是多少？ 34．某面粉厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：kg） ﹣1 ﹣0.75 ﹣0.5 0 0.5 1 袋数 1 2 3 4 5 5 （1）在抽取的样品中，最重的一袋比最轻的一袋重多少kg？ （2）这20袋面粉平均每袋的质量比每袋的标准质量多还是少？多或少多少kg？ （3）若这种面粉每袋的标准质量是50kg，求这20袋面粉的总质量； （4）面粉的包装袋上标有“净重50±0.5kg”，这批样品中有几袋面粉质量不合格？并请你计算出这20袋面粉的合格率． 35．奥运（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多______； (2)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ (3)①若允许有的误差，30枚样品中不合格的有______枚； ②海枚熊猫的制作成本是12元，工厂以20元的价格批发给某代理商800枚（不合格产品占），不合格产品需要返厂重新加工（重新加工费用忽略不计），且工厂需将不合格产品的进价费用返还代理商并承担每枚元的返还运费，工厂在这次销售中的利润是多少？（利润总价成本） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1--2.2 （数轴、绝对值、规律题、程序框图和列代数式应用）培优 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册 【数轴上整点覆盖问题】 1．如图小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数的规律可知：在和之间的整数有和，所以墨迹盖住的整数有个． 【详解】解：在和之间的整数有和， 墨迹盖住的整数有个． 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（     ） A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028 【答案】B 【分析】分类讨论：①当线段的端点在整点时，②当线段的端点不在整点时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当线段的端点在整点时，盖住的整点个数为个． ②当线段的端点不在整点时，盖住的整点个数为个， ∴线段盖住的整点个数为2026或2027． 3．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的整数个数计算方法，分别求出两处墨水覆盖范围内的整数个数，再求和即可． 【详解】解：左侧墨水淹没的范围在，之间， 则该范围的整数有个， 右侧墨水淹没的范围在，之间， 该范围的整数有个， 故被淹没的整数点有个． 【数轴上规律探究题】 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D分别落在数轴上表示数0和数的点处．现将正方形沿数轴向右连续翻转，翻转一次后，点B落在数轴上表示数1的点处，继续这样翻转下去，落在数轴上表示数2026的点处的是（     ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据所给滚动方式，依次求出数轴上表示1，2，3，4，…，的点与正方形的顶点重合情况，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给滚动方式可知， 数轴上表示1的点与点B重合， 数轴上表示2的点与点C重合， 数轴上表示3的点与点D重合， 数轴上表示4的点与点A重合， 数轴上表示5的点与点B重合， …， 由此可见，数轴上表示1，2，3，4，…，的点依次与点B，C，D，A重合． 因为， 所以落在数轴上表示数2026的点处的是C． 5．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据圆周长为4个单位长度，利用除以4，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， ∵圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合， ∴数轴上的0对应圆周上的1，数轴上的对应圆周上的2，数轴上的对应圆周上的3，数轴上的对应圆周上的0， ∴数轴上的数将与圆周上的数字1重合． 6．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2029对应的顶点与数1对应的顶点相同，即为点A． 【程序框图与代数式、有理数】 7．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去……，第2026次输出的结果是（    ） A．4 B．6 C．3 D．8 【答案】D 【分析】根据程序流程图计算前几次输出结果，发现从第2次开始呈现循环规律，利用周期性求解. 【详解】解：由题知，输入的值是7， 第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是， …， 故输出的结果从第2次开始按6，3，8，4，2，1循环出现，循环周期为6， ， 第2026次输出的结果是循环节中的第3个数，即8. 8．有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先根据数值转换器的规则依次计算输出结果，再观察结果找到循环周期，最后根据周期计算第2026次的输出结果． 【详解】解：根据数值转换器规则，依次计算输出结果： 第1次：输入（奇数），输出； 第2次：输入（偶数），输出； 第3次：输入（偶数），输出； 第4次：输入（偶数），输出； 第5次：输入（偶数），输出； 第6次：输入（奇数），输出； 第7次：输入（偶数），输出2； 第8次：输入（偶数），输出1； …… 观察可知，从第3次开始，输出结果以“”为一个循环周期， 先减去前2次，， 再计算余2， 即循环了674个周期后，第2个位置的数，循环周期“”中第2个位置的数是2， 即第2026次输出的结果是2． 9．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则： 若，则第2026次“F运算”的结果是（     ） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】B 【分析】根据定义，分类计算，先求得前几次的结果，找到规律，结合，得第2026次“”运算后的结果与第4次运算结果相同，即可求解． 【详解】解：根据定义，当时，是奇数， 故第一次结果为；第二次结果为；第三次结果为；第四次结果为；第五次结果为；第六次结果为；第七次结果为；第八次结果为， 发现规律，次一循环， 由， 故第2026次“”运算后的结果与第4次运算结果相同，是． 10．如图是一个运算程序框图，输入的值为，则输出的值是（     ） A． B． C． D．无法输出 【答案】C 【分析】根据流程图列式运算即可． 【详解】解：输入可得：， ∴输入可得：， ∴输入可得：， ∴输出的结果为． 【根据图形寻找规律】 11．下图是小张用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第7个图案中正三角形有（     ） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 【答案】A 【分析】第1个图形中正三角形的个数为：6，第2个图形中正三角形的个数为：，第3个图形中正三角形的个数为：，…，据此可求得第n个图形中正三角形的个数，从而可求解． 【详解】解：∵第1个图形中正三角形的个数为：6， 第2个图形中正三角形的个数为：， 第3个图形中正三角形的个数为：， ……， ∴第n个图形中正三角形的个数为：， ∴第7个图案中正三角形的个数是：． 12．如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为（     ） A．37 B．45 C．55 D．66 【答案】C 【分析】先观察发现第1～4个图形需要杯子的数量分别为个、个、个、个，则归纳类推得第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数，再将代入计算即可得． 【详解】解：观察发现：第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数， 所以第10个图形需要杯子的数量为（个）， 13．按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★……按照这一规律，第⑦个图中★的个数是（     ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】D 【分析】先根据前面几个图形中★的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解：图①中有5个★，， 图②中有9个★，， 图③中有13个★，， 第n个图形中有个★， 以此类推，第⑦个图中★的个数是（个）． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图形中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”，都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中符合这一规律的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形得出正方形数等于两个相邻三角形数之和，列出三角形数数列，逐一验证选项即可． 【详解】解：由题意可知，三角形数序列为1，3，6，10，15，21，28，…，正方形数序列为1，4，9，16，25，36，49，…， 规律为：第个正方形数等于第个三角形数与第个三角形数之和， ∵选项A中不是三角形数， ∴A不符合题意， ∵选项B中9，16是正方形数，不是三角形数， ∴B不符合题意， ∵选项C中14，22不是三角形数， ∴C不符合题意， ∵选项D中21是第6个三角形数，28是第7个三角形数，且 ， ∴D符合题意． 【数轴上的动点问题（点的平移）】 15．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 【答案】(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据题意可知点C在线段上，且在点A的右侧，然后根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （3）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （4）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解出P，Q两点间的距离，根据数轴判断两点之间的位置关系． 【详解】（1）解：． （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为． （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴． （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧． 16．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1) (2)①；②秒，相遇点为；③或 【分析】（1）由数轴上两点之间距离的表示方法求解即可； （2）①由题意表示出点表示的数，代入计算即可；②由相向而行的行程问题公式列式求解即可得到点相遇的时间，再由相遇时间计算点（或点）运动距离即可得出相遇点表示的数；③根据题意，分两种情况，由行程问题的公式列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， ； （2）解：①设运动时间为秒， 由题意可得，点表示的数为；点表示的数为， 当时，；， 则点表示的数分别为； ②由题意可知，点相向而行，则相遇时所花时间为（秒）； 方法一：若以点来计算，相遇点在点右侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； 方法二：若以点来计算，相遇点在点左侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； ③根据题意，两点相距个单位长度有两种情况： 相遇前，两点合走个单位长度，用时（秒）； 相遇后，两点合走个单位长度，用时（秒）； 综上所述，运动时间的值为或． 17．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： ， 则点Ｏ即为所求． (2)，，3 (3)3， 【分析】（1）根据数轴的三要素，确定原点，并标识出来即可； （2）根据向右加，向左减，计算即可； （3）求出原点与点A的距离，用距离除以2即可得到按键的次数，再根据平移思想计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：根据题意，得点M表示的数为：，点N表示的数为：， M、N两点之间的距离是． （3）解：原点到点A的距离为：， 根据题意，得每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度， （次）， 故点N表示的数为：． 【数形结合与绝对值的应用】 18．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)3 (2)①13；②或；③或10 (3)汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为 【分析】（1）根据分析解答即可； （2）根据代数式的几何意义，结合（1）的方法求解即可； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，300，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点G上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是的长，即为3． （2）解：①式子的几何意义是表示x的点到表示的点与表示5的点的距离之和，由（1）同理可得，当表示x的点在表示的点与表示5的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示5的点之间距离，该距离为，因此的最小值为13； ②代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示6的点的距离之和，当表示x的点在表示的点与表示6的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示6的点之间距离，该距离为， ∵的最小值是4， ∴， ∴或． ③代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示7的点的距离之和， 若表示x的点在表示的点与表示7的点之间，则距离之和为表示的点与表示7的点之间的距离，为，不满足， ∴表示x的点在表示的点左侧，或在表示7的点的右侧，即或， 当时，可化为，解得； 当时，可化为，解得； 综上所述，x的值为或10． （3）解：如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 它表示x所对应的点到表示、、、、、、、、这九个点的距离之和， 由（1）同理可得，当表示x的点在正中间的点时，s有最小值，即时，， ∴汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 19．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点的之间距离．因为，所以的几何意义是数轴上x所对应的点与－2所对应的点的之间距离． （1）发现问题：的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数－2，3，x，． ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是5． （3）解决问题： ①的最小值是______； ②利用上述思想方法解不等式：； ③当m为何值时，代数式的最小值是6． 【答案】①；②或；③或 【分析】①根据有理数的减法和绝对值的性质即可得出答案； ②根据绝对值的几何意义求解； ③根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出． 【详解】解：①如图，点A，B，P分别表示数， ，x，, ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是； 故答案为：4； ②如图，点A，B，P分别表示数－3，4，x，. ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的解集是或. ③点A，B，P分别表示数，7，x，. ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，的最小值为， ∴或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，弄清题中的方法是解本题的关键． 20．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时．如下面一组等式： ． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是_____，的结果是_____． (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于－4与2之间，求的值． 【答案】(1)7； (2) (3)6 【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可； （2）根据绝对值的定义化简每个绝对值，再计算即可； （3）根据表示数a的点的位置得出，，进而化简绝对值即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解：∵数轴上表示数的点位于－4与2之间， ∴，， ∴． 21．“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． (1)已知a，b是有理数，当，时，求的值； (2)已知，求的值； 【类比探究】 (3)已知，且，求m的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）将、的取值代入式子，结合绝对值的性质计算； （2）由得异号，分两种情况讨论计算； （3）先利用化简的表达式，再根据的符号分类讨论，比较各情况的值得最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴异号． 当，时，，， ∴． 当，时，，， ∴． 综上所述，的值为或． （3）解：由题意得，，． ∵， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴不可能全正或全负，只能为两正一负或一正两负． ①两正一负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ②一正两负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ∵， ∴的最小值为． 【数字（式子）类规律探索题】 22．观察下列各式： ，，，… (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①__________；②__________（是正整数）． (2)计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得到答案． （2）将原式利用（1）中所得规律求和可得到答案． （3）先利用乘法分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律求和可得答案． 【详解】（1）解：，． （2）解： ． （3）解： ． 23．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，所以，就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号） ①；②；③． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数构成一对“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题属于定义新运算题型，题目自定义两种运算、，并给出“隔一数对”的判定条件． 第（1）小题直接代入新运算公式计算，比较两个式子结果是否相等完成判断； 第（2）小题按定义逐项求值，再进行有理数加减运算； 第（3）小题利用“两个连续的非零整数构成一对隔一数对”，得到，使用裂项相消法化简求和． 【详解】（1）解：① ，是隔一数对． ② ，不是隔一数对． ③ 两者相等，是隔一数对。 （2）解：逐项计算： 代入原式：. （3）解：已知连续非零整构成一对隔一数对，即： ， 所以：原式， ， 裂项相消，中间项全部抵消：. 【点睛】定义新运算核心是读懂规则，照猫画虎代入计算，不要和原有运算混淆；遇到连续分数相加的形式优先考虑裂项相消，中间项可以相互抵消，大幅简化计算． 24．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第个等式为 ，第个等式为 ． (2)利用上述规律，计算：． 【答案】(1)第6个等式为，第10个等式为． (2)4850 【分析】（1）观察题干式子，进行类比即可解答； （2）先观察式子，整理式子，然后将题干等式代入化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 第n个等式为， ∴第6个等式为，第10个等式为． （2）解：依题意可得： ． 25．阅读下列材料，并解决问题． 特殊值法，是通过设题中某个未知数为特殊值，从而通过简单的运算，解决问题的一种方法．如： 问题：若，求的值． 解：当时，左式，右式． 所以． 已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，等式右边即为所求系数和，计算左边代数式的值即可得解； （2）分别代入、、得到不同的系数关系式，通过加减运算消去奇次项系数，再结合常数项求解的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，左式，右式， ∴． （2）解：∵， ∴当时，左式，右式， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， 当时，左式，右式， ∴， ∴． 26．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是5． (1)直接写出、、的值； ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)0，1， (2)17或 【分析】（1）根据互为相反数的两个数相加得零求，根据互为倒数的两个数求，根据绝对值性质求； （2）将（1）中所得代数式的值代入待求式即可． 【详解】（1）解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是5， ，，； （2）解：当时，； 当时，； 综上，的值为17或． 27．材料1：在一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，多项式的值不变，则称这样的多项式为“二元轮换对称式”．例如，，，…，都是“二元轮换对称式”，对于所有的“二元轮换对称式”都可以用含相同字母的另一个“二元轮换对称式”来表示，形成一个“基本轮换对称式”，例如：是一个“基本轮换对称式”． 材料2：求形如（且为整数）的“基本轮换对称式” ， ， ， …， 通过阅读上列材料，解决以下问题． (1)式子①；②；③；④中，属于“二元轮换对称式”的是 （填序号）； (2)若已知，，求的值； (3)请你直接写出的“二元轮换对称式”． 【答案】(1)②③④ (2)343 (3) 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，数字类规律探究． （1）根据“二元轮换对称式”的定义判断即可； （2）根据“二元轮换对称式”的定义把变形即可求解； （3）根据材料2的式子总结规律即可． 【详解】（1）①当a，b不为0时，； ②； ③； ④． 故答案为：②③④； （2）， ， ， ； （3）∵， ， ， …， ∴． 【图形与列代数式、求值】 28．如图，数轴上点，分别表示数，，其中，． (1)若，，求线段的长度及线段的中点表示的数； (2)该数轴上有另一点表示数． ①若，点在点的左侧，且．求整式的值； ②若，且，能否求整式的值？若能，求出该值；若不能，说明理由． 【答案】(1)，表示的数为 (2)①；②能， 【分析】（1）根据数轴上两点的距离，用右边的数减去左边的数即可求解； （2）①根据题意，得出，代入代数式求值即可求解； ②根据题意，得出，代入代数式求值即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点，∴点表示的数 ∴，表示的数为； （2）解：①∵点在点的左侧，且，点在点的左侧，， ∴，即 ∴ ∴ ； ②∵，且，，． ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，代数式求值，掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键． 29．某校要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示． (1)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． (2)当时，取3时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)118.5 【分析】（1）根据阴影部分与其它部分面积之间的关系列出代数式即可获得答案； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分面积为 ； （2）当时，取3时， 阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查代数式求值，关键是要牢记长方形和圆的面积公式． 30．如图所示，已知长方形的长为a米，宽为b米，半圆半径为r米． （1）这个长方形的面积等于______平方米； （2）用代数式表示阴影部分的面积S． （3）当，，时，求阴影部分的面积S（结果保留） 【答案】（1）ab；（2）阴影部分的面积S＝；（3）阴影部分的面积S＝(6－)． 【分析】（1）根据长方形面积公式即可求即； （2）先求出半圆面积，再用长方形面积-半圆面积即可； （3）根据代数式求值步骤准确代入，计算即可． 【详解】解：（1）S长方形=ab平方米， 故答案为ab； （2）S阴影部分=S长方形-S圆= ab-＝ 平方米， （3）当a＝3，b＝2，r＝0.5时，S＝=(6－)平方米． 【点睛】本题考查列代数式表示图形面积，代数式求值，掌握列代数式的要求，与求代数式值的方法是解题关键． 31．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如下表： 月用量 不超过180 超过180，不超过280的部分 超过280的部分 收费标准/[元] (1)如果恒恒家每月缴电费y元，每月用电量为，用含x的代数式表示电费y： ①当时，______； ②当时，______； ③当时，______． (2)若恒恒家6月份缴电费138元，求恒恒家6月份的用电量． 【答案】(1)①．②．③ (2) 【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的代数式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费元可知在第二段，代入代数式可得用电量． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 恒恒家6月份用电． 32．如图，正方形花坛的边长为a米．物业公司现计划在阴影部分种植三角梅，每平方米种植一棵．已知甲、乙两种植基地的三角梅每棵的标价都是5元一棵，但甲、乙两种植基地的优惠条件不同 甲基地：若购买不超过10棵，则按标价付款；若一次购买10棵以上，则超过10棵的部分按标价的付款；乙基地：按标价的付款 (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S (2)若物业公司计划购买m（）棵三角梅，请用含m的式子分别表示在两种基地购买三角梅方案的花费： (3)①当，时，求阴影部分的面积． ②根据①求出来的面积，你认为在甲、乙两种植基地中，到哪个种植基地购买比较划算？说明理由． 【答案】(1) (2)甲基地的花费为元，乙基地的花费为元； (3)①38平方米； ②到甲种植基地购买比较划算，理由如下： 由题意得，一共要购买38棵三角梅， 当时，， ∵， ∴到甲种植基地购买比较划算． 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）阴影部分面积等于的面积减去一个两直角边的长分别为6米和b米的直角三角形的面积，据此求解即可； （2）根据所给的优惠方案列式求解即可； （3）①根据（1）所求代值计算即可；②（3）①所求可得m的值，据此计算出两个基地的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，平方米； （2）解：由题意得，甲基地的花费为元， 乙基地的花费为元； （3）解：①当，时，， ∴此时阴影部分的面积为38平方米； ②略 【有理数混合运算的实际应用】 33．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 4 4 5 2 (1)这批样品的总质量比标准总质量是多还是少？ (2)若每袋允许有的误差，请你估计这批产品的合格率？ (3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给经销商900袋．在销售中不合格的产品将返回工厂重新加工，食品厂将不合格产品的进价费返还经销商并承担每袋1元的返还运费．请你估计食品厂在这次销售中的利润是多少？ 【答案】(1)这批样品的总质量比标准总质量多 (2) (3)10260元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出表格中与标准质量的差值的总和，进行判断即可； （2）根据题意，可知只有与标准质量的差值为的2袋不合格，用合格的数量除以总数量求出合格率即可； （3）根据利润等于总售价减去总成本，进行计算即可． 【详解】（1）解： 答：这批样品的总质量比标准总质量多． （2）因为不合格的只有2袋， 所以， 答：这批产品的合格率为． （3） （元）． 答：食品厂的利润是10260元． 34．某面粉厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：kg） ﹣1 ﹣0.75 ﹣0.5 0 0.5 1 袋数 1 2 3 4 5 5 （1）在抽取的样品中，最重的一袋比最轻的一袋重多少kg？ （2）这20袋面粉平均每袋的质量比每袋的标准质量多还是少？多或少多少kg？ （3）若这种面粉每袋的标准质量是50kg，求这20袋面粉的总质量； （4）面粉的包装袋上标有“净重50±0.5kg”，这批样品中有几袋面粉质量不合格？并请你计算出这20袋面粉的合格率． 【答案】（1）2kg；（2）多0.175kg；（3）1003.5kg；（4）8几袋不合格，60% 【分析】（1）找到最大和最小值相减即可求解；（2）根据有理数的加法，可得和，根据和是正数还是负数，可得差多少；（3）再根据题意列式计算后即可得总质量；（4）找到所给数值中，绝对值大于0.5的面粉的袋数，即可得质量不合格的袋数，再利用合格的袋数除以总袋数即可求得这20袋面粉的合格率． 【详解】（1）1﹣（﹣1）＝2（kg）， 答：它们的质量相差最大2kg； （2）﹣1×1+（﹣0.75）×2+（﹣0.5）×3+0×4+0.5×5+1×5＝3.5（kg）， 3.5÷20＝0.175（kg）， 答：样品的平均质量多了，多0.175kg； （3）50×20+3.5＝1003.5（kg）， 答：标准质量为50kg，则抽样检测的总质量是1003.5kg； （4）1+2+5＝8（袋）， （20﹣8）÷20×100% ＝12÷20×100% ＝60%． 答：这批样品中有8袋质量不合格，这20袋食品的合格率是60%． 【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 35．奥运（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多______； (2)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ (3)①若允许有的误差，30枚样品中不合格的有______枚； ②海枚熊猫的制作成本是12元，工厂以20元的价格批发给某代理商800枚（不合格产品占），不合格产品需要返厂重新加工（重新加工费用忽略不计），且工厂需将不合格产品的进价费用返还代理商并承担每枚元的返还运费，工厂在这次销售中的利润是多少？（利润总价成本） 【答案】(1)6 (2)30枚样品总计超过的质量为6g (3)①3；②工厂在这次销售中的利润是5088元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握相关知识点是关键． （1）由超过最多的减去超过不足最多的可得答案； （2）把不足的与超过的相加，根据结果可得答案； （3）①根据绝对值大于2的有3枚可得答案，②先求解不合格的产品有64枚，再列式计算即可． 【详解】（1）解：30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多： ； （2）解：． 因为， 所以30枚样品总计超过的质量为． （3）解：①由题意可得：绝对值大于2的有3枚， ∴允许有的误差，30枚样品中不合格的有3枚； ②由题意得，不合格产品有（枚）， （元）． 答：工厂在这次销售中的利润是5088元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $