专题03 轴对称的性质5大题型（期中复习专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题03 轴对称的性质 题型1 根据轴对称的性质求解（常考点） 题型4轴对称图形之垂直平分线（重点） 题型2 折叠问题（重点） 题型5 轴对称图形之角平分线（重点） 题型3 轴对称图形之等腰三角形（重点） 题型6 最短路径问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据轴对称的性质求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点D，E分别在边上，点A与点B关于直线成轴对称，若，的周长是25，下列结论中错误的是（   ） A．的周长为15 B． C． D．是轴对称图形 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，轴对称图形的识别，由三角形周长计算公式可得，由轴对称图形的性质可得，则可证明的周长，根据现有条件无法证明是轴对称图形，据此可得答案． 【详解】解：∵的周长是25， ∴， ∵， ∴； 由轴对称图形的性质可得， ∴的周长， 根据现有条件无法证明是轴对称图形， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 5．（25-26八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，点分别是轴，轴正半轴上的动点，直线平分第一象限，点关于直线的对称点为，连接，线段与的交点为，给出如下结论： ①点必在直线上； ②； ③点是直线上一动点，必有； ④线段的长度一定小于线段的长度． 以上结论正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点． 证明，然后即可证明，即可判断②；证明，则，即可判断①；由两点之间线段最短即可判断③；当时，由轴对称的性质得到，即可判断④． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴ ∴ ∵直线平分第一象限， ∴点必在直线上，故①正确； 点是直线上一动点，必有，故③错误； 当时，由对称可得， 则点与点B重合，点与点重合，则，故④错误， ∴正确的有①②， 故选：A． 题型二 折叠问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 7．（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 8．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数． (3)如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义． （1）根据折叠的性质得到，根据平角的定义计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义得到，即可求出的度数； （3）设，则，根据折叠的性质得到，根据平角的定义得到，即． 【详解】（1）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，， ∴， ∴； （2）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，将另一角沿折叠，点落在射线上的处， ∴，， ∵， ∴ ； （3）解：，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部， ∴， ∵， ∴， 即． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）综合与实践． 【课本回顾】如图①是七年级上册课本第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕上一点，此时与重合，所以，再将纸片铺平，可知射线是的平分线． 【问题情境】将一张长方形纸片折叠，为折痕，点落在点处，平分． 【综合应用】 (1)如图②，若与重合，求的度数； (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，请直接写出的度数（用含的代数式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了翻折变换及其应用问题，与角平分线有关的计算．灵活运用翻折变换的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及平角的定义解答即可； （2）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可； （3）根据折叠的性质可得，用的代数式分别表示出和，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·吉林·期末）活动探究：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图，若，则 ． (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点落在点，点落在点，连接． 如图，当点在上时，，则 ． 请你判断与的数量关系，并计算说明理由． 如图，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)； (2)；，理由见解析；． 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （）由折叠得出，即可得出结论； （）由折叠得出，，再由点落在上，得出，即可得出结论； 同的方法求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，， 故答案为：； （2）解：，理由， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， 当时，， 故答案为：； 由折叠知，，， ∵，， ∴，， ∴，即的度数为， 故答案为：． 题型三 轴对称图形之等腰三角形（共5小题） 11．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 先根据平角的性质，求出，再根据等边对等角求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的内角和为， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 13．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 15．（23-24八年级上·吉林延边·期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 【答案】；； 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， ①根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； ②由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； ③由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． ②，，、分别为和的中线， ，， ， ； ③∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 题型四 轴对称图形之垂直平分线（共5小题） 16．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 18．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 19．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质； （1）由，由作图可得：，从而可得答案； （2）根据是线段的垂直平分线可得答案. 【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下： ∵，由作图可得：， ∴是线段的垂直平分线； ∴垂直平分线段； （2）解：，理由如下： 由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点， ∴. 20．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为等腰三角形，见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． 【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ； （2）证明：， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形． 题型五 轴对称图形之角平分线（共5小题） 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 22．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为：8． 23．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． (1)请判定与是否相等？为什么？ (2)与互补吗？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)与互补，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。 （1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明． （2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，即与互补． 24．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 题型六 最短路径问题（共5小题） 26．（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 27．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 28．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 29．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． 30．（17-18七年级上·山东泰安·期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求． （3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． $专题03 轴对称的性质 题型1 根据轴对称的性质求解（常考点） 题型4轴对称图形之垂直平分线（重点） 题型2 折叠问题（重点） 题型5 轴对称图形之角平分线（重点） 题型3 轴对称图形之等腰三角形（重点） 题型6 最短路径问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据轴对称的性质求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点D，E分别在边上，点A与点B关于直线成轴对称，若，的周长是25，下列结论中错误的是（   ） A．的周长为15 B． C． D．是轴对称图形 5．（25-26八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，点分别是轴，轴正半轴上的动点，直线平分第一象限，点关于直线的对称点为，连接，线段与的交点为，给出如下结论： ①点必在直线上； ②； ③点是直线上一动点，必有； ④线段的长度一定小于线段的长度． 以上结论正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 题型二 折叠问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 7．（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 8．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数． (3)如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）综合与实践． 【课本回顾】如图①是七年级上册课本第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕上一点，此时与重合，所以，再将纸片铺平，可知射线是的平分线． 【问题情境】将一张长方形纸片折叠，为折痕，点落在点处，平分． 【综合应用】 (1)如图②，若与重合，求的度数； (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，请直接写出的度数（用含的代数式） 10．（25-26七年级上·吉林·期末）活动探究：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图，若，则 ． (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点落在点，点落在点，连接． 如图，当点在上时，，则 ． 请你判断与的数量关系，并计算说明理由． 如图，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数是 ． 题型三 轴对称图形之等腰三角形（共5小题） 11．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为_______． 12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 13．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 14．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 15．（23-24八年级上·吉林延边·期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 题型四 轴对称图形之垂直平分线（共5小题） 16．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 18．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 19．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 20．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 题型五 轴对称图形之角平分线（共5小题） 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 22．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 23．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． (1)请判定与是否相等？为什么？ (2)与互补吗？请说明理由． 24．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 25．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 题型六 最短路径问题（共5小题） 26．（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A．B．C．D． 27．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 28．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 29．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 30．（17-18七年级上·山东泰安·期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． $