专题01 三角形全等的性质和判定6大题型（期中复习专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题01 三角形全等的性质和判定 题型1 判定两个三角形是否全等（常考点） 题型4 利用全等三角形的性质求多解题（重点） 题型2 与全等三角形有关的多结论问题（难点） 题型5 全等三角形的性质和判定综合问题（重点） 题型3 利用全等三角形的性质求角、线段 题型6 全等三角形中的动点综合问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判定两个三角形是否全等（共5小题） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：根据三角形全等的判定定理，只有选项C满足ASA条件，能唯一确定三角形的形状和大小． 【详解】解：A、不能确定唯一三角形，不符合题意； B、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； C、能确定唯一三角形，符合题意； D、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解，包括等，不能保证唯一三角形；本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：已知，但不是和的夹角，属于情况，不能唯一确定三角形； 选项B：已知三边的长度，符合定理，能唯一确定三角形； 选项C：已知，是和的夹角，符合定理，能唯一确定三角形； 选项D：已知，符合定理，能唯一确定三角形； 故选：A． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）根据下列所给条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．，， D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，选项B满足条件，能唯一确定三角形；选项A是，不能唯一确定；选项C不满足三角形三边关系；选项D是，不能唯一确定大小． 【详解】解：A．∵，，，即两边及非夹角， ∴不能唯一确定； B．∵，，，即两角及其夹边， ∴能唯一确定； C．∵，，，且， ∴不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）， ∴不能构成三角形； D．∵，即只有三个角相等， ∴不能唯一确定． 故选：B． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有． 【详解】解：如下图：和， A．三个角对应相等，不能判定，故该选项不符合题意； B．，，，只满足，不符合全等三角形的判定定理，故该选项不符合题意； C．不是对应角，不能判定，故该选项不符合题意； D．，，，满足，符合全等三角形的判定定理，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）根据下列条件，能画出唯一一个的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、，，，能画出唯一一个，故本选项符合题意； B、因为，所以不能画出；故本选项不符合题意； C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意， D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意． 故选：A． 题型二 与全等三角形有关的多结论问题（共5小题） 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（　　） ①是 的平分线；②是的边上的中线；③是 的边上的高；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线，高，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握各定义和性质．利用三角形的角平分线，中线，高以及全等三角形可逐一进行判断． 【详解】解： ∴是 的平分线，故①正确； 无法证明点为的中点, 所以不是的边上的中线，故②错误； ∵与垂直， ∴是 的边上的高，故③正确； ∵与垂直， ∴, 又，（公共边） ,故④正确， 故选：C． 7．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论①进行判断； ②根据与相交于点得，再根据和全等得，则，由此可对结论②进行判断； ③根据和全等得，由此可对结论③进行判断； ④根据和全等得，，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①， ， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ②与相交于点， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， ， 故结论③正确； ④， ，， 在和中， ， ． 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故选：A． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在等腰三角形中，，是的中点，连接，点在上，过点作，，则以下结论：①；②；③，其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．由是的中点可得，可判断①正确；由全等三角形的判定可得，可判断②正确；由题意无法证明是等腰三角形，可判断③不正确，即可得出结论． 【详解】解： 是的中点， ，故①正确； 又，， ，故②正确； 由题意无法证明是等腰三角形，故③不正确； 其中正确的有①②． 故答案为：①②． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据题意证得，根据全等三角形的性质可得、，从而可判断①正确；再证明，根据全等三角形的性质可得，从而判断③正确，②错误；由，结合以上结论可判断④正确． 【详解】解：为中线， ， 、， ， 在和中， ， ， 、， 故①正确； 在和中， ， ， 故③正确，符合题意； ， ， ， 故②错误； 、， ， 为中线， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 题型三 利用全等三角形的性质求角、线段（共5小题） 11．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·重庆江北·期末）如图，在等腰中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，证明，，可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，且， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度． （1）利用证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度； （2）过点N作交直线l于点G，利用证明，得出，利用三角形面积公式求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴； 如图，过点N作交直线l于点G， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 题型四 利用全等三角形的性质求多解题（共5小题） 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程是解决问题的关键． 先证明和全等得，依题意得， ，根据点P的运动速度和方向有以下两种情况∶①当点P从点A向点B运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，证明和全等得．则，由此解得；②当点P从点B向点A运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则，由此解得．综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，． 在和中， ． ∵点Q从点D出发，沿DE以的速度向E运动， ． ， 根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点P从点A向点B运动时，依题意得： ， 此时． 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 在和中， ． ． ，解得：； ②当点P从点B向点A运动时，依题意得： ， 此时， 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 同理证明：． ． ，解得：， 综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或． 17．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为____________秒时，和全等． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为1或秒时，和全等． 故答案为：1或． 18．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动________s时，． 【答案】6或2 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 19．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过______秒时，． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值． 【详解】解：动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，． 理由如下： ①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． 综上可知，当或时． 故答案为：2或4． 20．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 【答案】18或1.5 【分析】由长方形的性质可得，．设运动时间为，Q点的速度为，则，，．然后分两种情况讨论：①当时，；①当时，．分别列方程求出t和x的值即可． 本题主要考查全等三角形的判定，由条件分两种情况得到关于t和x的方程是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，且边长，， ∴，， ∵， ∴． 设运动时间为，Q点的速度为，则，，． ①当时，， ∴，， 解得，． ②当时，， ∴,， 解得，． 综上，点运动速度为或． 故答案为：18或1.5． 题型五 全等三角形的性质和判定综合问题（共5小题） 21．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 22．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 23．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 24．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的长为4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据，可得，再根据证明即可得出结论； ②分别过点、作于点，于点，证明，得到，，再证明，得，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明，得，，再证明，得到，从而可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①， ， 在和中，， ， ． ②分别过点、作于点，于点，如图（1）所示： 则， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ，即； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图（2）所示， 则， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， 即， ， 是的中点， ． 25．（25-26八年级上·山东聊城·期末）已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②图见解析，． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，再得出，即可得出结论； （2）①当点在点右边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；②先画出图像，点在点左边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：，证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图为所求作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型六 全等三角形中的动点综合问题（共5小题） 26．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动．设经过同时停止． (1)若，则与相等吗？请说明理由． (2)当与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，求点的运动速度． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． （1）先利用三角形外角性质证明，再证明，从而得到； （2）设点的运动速度为，运动的时间为，当，时，利用“”判断，即，，当，时，，即，，然后分别解方程组求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ， 而， ． 在和中， ， ， ； （2）解：设点的运动速度为，则， ， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 综上所述，点的运动速度为或． 27．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当的面积为时，的值为或 (3)或时，与全等 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：由知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． （3）解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 28．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE． (1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度； (2)当时. ①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求DE的长； (3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①；②或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； （2）解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 29．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究]． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 30．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）不成立，；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论不成立，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． $专题01 三角形全等的性质和判定 题型1 判定两个三角形是否全等（常考点） 题型4 利用全等三角形的性质求多解题（重点） 题型2 与全等三角形有关的多结论问题（难点） 题型5 全等三角形的性质和判定综合问题（重点） 题型3 利用全等三角形的性质求角、线段 题型6 全等三角形中的动点综合问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判定两个三角形是否全等（共5小题） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）根据下列所给条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．，， D． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）根据下列条件，能画出唯一一个的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二 与全等三角形有关的多结论问题（共5小题） 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（　　） ①是 的平分线；②是的边上的中线；③是 的边上的高；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在等腰三角形中，，是的中点，连接，点在上，过点作，，则以下结论：①；②；③，其中正确的有______．（填序号） 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 题型三 利用全等三角形的性质求角、线段（共5小题） 11．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 14．（25-26八年级上·重庆江北·期末）如图，在等腰中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则_____． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 题型四 利用全等三角形的性质求多解题（共5小题） 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 17．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为____________秒时，和全等． 18．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动________s时，． 19．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过______秒时，． 20．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 题型五 全等三角形的性质和判定综合问题（共5小题） 21．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 22．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 23．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 24．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 25．（25-26八年级上·山东聊城·期末）已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 题型六 全等三角形中的动点综合问题（共5小题） 26．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动．设经过同时停止． (1)若，则与相等吗？请说明理由． (2)当与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，求点的运动速度． 27．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 28．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE． (1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度； (2)当时. ①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求DE的长； (3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围． 29．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    30．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． $