精品解析：山东临沂市兰山区临沂商城实验学校初中部2026-2027学年 上学期八年级阶段性学情调研数学试题

临沂商城实验学校初中部阶段性学情调研 八年级数学试题（贯通班） 2026.10 一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 2. 下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为． 判断各选项是否符合的形式即可． 【详解】解：A．，不符合的形式； B．，符合的形式； C．，不符合的形式； D．，不符合的形式； 故选：B． 3. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解，包括等，不能保证唯一三角形；本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：已知，但不是和的夹角，属于情况，不能唯一确定三角形； 选项B：已知三边的长度，符合定理，能唯一确定三角形； 选项C：已知，是和的夹角，符合定理，能唯一确定三角形； 选项D：已知，符合定理，能唯一确定三角形； 故选：A． 4. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边是积的形式，右边是多项式，是乘法运算，不是因式分解，选项错误； B、等式右边不是积的形式，而是和差形式，不是因式分解，选项错误； C、等式右边是整式的积的形式，是因式分解，选项正确； D、等式右边有分式，不是整式，因此不是整式的积，不是因式分解，选项错误； 故选：C． 5. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 6. 如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 7. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先求出分式方程的解，根据解为非负数且分母不为零的条件，确定 的取值范围即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，且， 故选：． 9. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又绫布和罗布各出售尺共收入文， 可列方程． 10. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0． 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】 ∵的展开式中不含项， ∴ ∴． 故选：B． 11. 若三边满足，判断的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 12. 如图，在等腰直角中，，，于点F，点D，E是边上的两个动点，在运动过程中，当满足时，连接．下列结论：①；②；③；④的长度是定值；⑤的面积最大值为1，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定．由题意易得均为等腰直角三角形，即可判断①；证明，即可判断②；再证明为等腰直角三角形，即可判断③；为等腰直角三角形，则在变化时，也在变化，即可判断④；可得的面积最大值即为面积的一半，即可判断⑤． 【详解】解：∵在等腰直角中，，，， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴；故③正确； ∵是等腰直角三角形， ∵是变量， ∴是变量，故④错误； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的面积最大，则此时点与点或重合， ∴的最大面积即为，故⑤正确， ∴正确的个数为4， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，共15分． 13. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 14. 已知，，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算，由同底数幂相乘与幂的乘方可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 15. 若是一个完全平方式，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数，得出关于k的方程并求解即可 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可表示为， 可知， 即． 故答案为：． 16. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E做交于点D．若，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定．根据题意得 平分，再根据平行线的性质求解．掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， 故的周长为． 故答案为：． 17. 杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 按照前面的规律，则（a+b）6＝_______． 【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6． 【解析】 【分析】先认真观察式子的特点，得出a的指数是从6到0，b的指数是从0到6，系数是呈倒三角状：上面两数之和为下面得数，因此得到6次方时，系数依次为1，6，15，20，15，6，1． 【详解】观察图形，可知：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6． 故答案为：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6． 【点睛】本题考查了整式乘法的应用，解此题的关键是能读懂题目，找到规律． 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，因式分解． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方，单项式的除法，再计算减法即可； （2）先将看作整体，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先根据平方差公式因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 19. （1）解方程：； （2）先化简分式，然后从的范围内取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值． （1）方程两边同乘化为整式方程，求解后检验即可； （2）先化简原分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： ， ∵且且， ∴， 当时，原式． 20. 如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）6 【解析】 【分析】（1）证明得，可证垂直平分； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． （1）画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． （2）在轴上找一点使得最小，请直接写出点坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， ，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的画法和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点、、，再顺次连接即可得，然后据此写出、、三点的坐标即可得； （2）先作点A关于y轴的对称点，再连接，交y轴于点P，由此即可得P点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求， 则． 22. 已知，是等边三角形，，且． （1）如图1，点E在内部，求证：是等边三角形； （2）如图2，点E在边上，若M为上的一点，且，求证：． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形. （2） 证明：由（1）得：，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）证明，可得，，进一步证明即可. （2）证明，可得，，再证明，可得，进一步证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练证明需要的三角形全等是解本题的关键. 23. 阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： （1）； （2）的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将代入可得结论． 【小问1详解】 解：∵且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴． 24. （1）思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明_______________________________________________． （2）【应用发现】 探究一：小明通过以上思考得到启发，展开了以下探究： 如图1．如果和中，． 则可证． 证明：在上取一点，使， ∵，∴__________①． 又∵， 而，∴②__________， ∵，∴③__________， 又∵，∴，∴． 探究二：小红认真思考也得出一种解决问题的方法 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点．使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③所缺的内容． （3）【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若点为的中点，求证：； ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，请画出图形，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】（1）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等； （2）①；②；③； （3）①证明：如图，在上取一点G，使得，则， 点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在与中， ∴， ∴． ②，理由如下： 如图，取的中点P，连接， ∵为等边三角形，∴，，， ∵点P、E分别是和的中点， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由图可得与中，，，，两个三角形不全等，即可得结论； （2）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解； （3）在上取一点，使得，可证，进而求解； 根据是等边三角形可得，，，取的中点P，连接，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得与中，，，，两个三角形不全等， ∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． （2）证明：在上取一点，使， ∵， ∴①． 又∵， 而， ∴②， ∵， ∴③， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：①；②；③． （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂商城实验学校初中部阶段性学情调研 八年级数学试题（贯通班） 2026.10 一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 6. 如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 9. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 11. 若三边满足，判断的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 12. 如图，在等腰直角中，，，于点F，点D，E是边上的两个动点，在运动过程中，当满足时，连接．下列结论：①；②；③；④的长度是定值；⑤的面积最大值为1，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，共15分． 13. 因式分解：_____． 14. 已知，，则的值为_____． 15. 若是一个完全平方式，则k的值为______． 16. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E做交于点D．若，，则的周长为________． 17. 杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 按照前面的规律，则（a+b）6＝_______． 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：． 19. （1）解方程：； （2）先化简分式，然后从的范围内取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20. 如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若，求的长度． 21. 如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． （1）画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． （2）在轴上找一点使得最小，请直接写出点坐标． 22. 已知，是等边三角形，，且． （1）如图1，点E在内部，求证：是等边三角形； （2）如图2，点E在边上，若M为上的一点，且，求证：． 23. 阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： （1）； （2）的值． 24. （1）思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明_______________________________________________． （2）【应用发现】 探究一：小明通过以上思考得到启发，展开了以下探究： 如图1．如果和中，． 则可证． 证明：在上取一点，使， ∵，∴__________①． 又∵， 而，∴②__________， ∵，∴③__________， 又∵，∴，∴． 探究二：小红认真思考也得出一种解决问题的方法 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点．使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③所缺的内容． （3）【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若点为的中点，求证：； ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，请画出图形，判断和的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $