精品解析：山东省临沂市兰山区临沂第七中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

山东省临沂市兰山区临沂第七中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列实数：，，，，，其中无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 点P（﹣2，3）在第（　　）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 1，，2 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 8，24，25 4. 由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（ ） A. 精确到万位 B. 精确到百位 C. 精确到千分位 D. 精确到百分位 5. 图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2029次运动到点（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③⑤ 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 如果，那么整数___________． 10. 将正比例函数的图象向上平移两个单位长度，平移后图象的函数表达式为__________． 11. 已知点的坐标为，且点P在y轴上，则_______． 12. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是______． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴，若线段，则点B的坐标为__________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于_____． 15. 如图，平分，，的延长线交于点E，若，则______度． 16. 一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 17. 一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是________． 18. 如图，在中，已知，于点M，于点N，P为边的中点，连接，，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的是______（填写序号） 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 计算与解方程： （1）； （2）． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” （1）点的“长距”为______； （2）若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 21. 利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC； （2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD. 22. 如图，在四边形中，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 已知y关于x的函数 （1）若该函数图象过点，求k的值； （2）若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 24. 已知在中，，，，且，求证：是直角三角形． 25. 如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）______； （2）当点在上运动时，求的面积为时的值； （3）如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市兰山区临沂第七中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列实数：，，，，，其中无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是分数，属于有理数； 是开方不尽的数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中含有无理数，属于无理数； ∴ 无理数有和，共2个， 故选：A． 2. 点P（﹣2，3）在第（　　）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标的符号，结合P的纵横坐标的符号可得答案． 【详解】已知P点坐标（﹣2，3），横坐标﹣2＜0，纵坐标3＞0， 故点P在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了点所在的象限，解决本题解决的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 1，，2 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 8，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A．不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； В．，正确，是勾股数，符合题意； C．，错误，不是勾股数，不符合题意； D．，错误，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 4. 由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（ ） A. 精确到万位 B. 精确到百位 C. 精确到千分位 D. 精确到百分位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法近似数的精确度，将科学记数法转换为原数是解题的关键． 近似数表示61800，末位数字8在百位上，据此解答即可． 【详解】解：，末位数字8表示8百，则精确到百位， 故选：B． 5. 图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2029次运动到点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了规律型−点的坐标，观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是3，0，，0，4个数一个循环，进而可得经过第2029次运动后动点的坐标． 【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …按这样的运动规律， 发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是3，0，，0；4个数一个循环， ∴， ∴经过第2029次运动后，动点的坐标是． 故选：A． 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限．根据一次函数的，得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可作答． 【详解】解：依题意，一次函数的， ∴函数图象经过第一、二、四象限， ∴不经过第三象限， 故选：C． 7. 如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 8. 一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ， ∴，故②正确； ③由图象可知：，故函数的图象不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ， ∴的值每增加的值增加，故⑤错误， 故选：A． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 如果，那么整数___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 10. 将正比例函数的图象向上平移两个单位长度，平移后图象的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移：上下平移，k值不变，b值“上加下减”；左右平移，k值不变，自变量x“左加右减”．根据一次函数图象的平移规律可直接得出答案． 【详解】解：将正比例函数的图象向上平移两个单位长度，则平移后的图象的解析式为， 故答案为：． 11. 已知点的坐标为，且点P在y轴上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，根据轴上的点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了程序流程图与实数运算，算术平方根的计算，无理数的判断，读懂程序计算的过程是解题的关键． 读懂程序计算过程，把代入程序中计算，判断结果是否是无理数，不是则继续输入，直至得到算术平方根为无理数，再输出． 【详解】解：由所示的程序可得：的算术平方根是，是有理数， 继续输入，则9的算术平方根为，3是有理数， 继续输入，则3的算术平方根为，是无理数，则输出， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴，若线段，则点B的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的特征，利用平行于轴时纵坐标相同，结合线段长度求点的坐标，需分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵， ∴点的横坐标为或， 即点的坐标为或． 故答案为：或． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝2，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5， ∴AE＝CE＝5， ∵AD＝3， ∴DE＝2， ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD＝， 故答案为. 【点睛】此题考查勾股定理的应用以及直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5． 15. 如图，平分，，的延长线交于点E，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 16. 一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 17. 一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 18. 如图，在中，已知，于点M，于点N，P为边的中点，连接，，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的是______（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据于点得是直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得，由此即可对结论①进行判断； 根据于点M得是直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得，进而得，由此即可对结论②进行判断； 设与相交于点O，根据，及三角形外角性质得，，则，在四边形中，根据四边形内角和等于． 得，进而得，则，由此得，则是等边三角形，再根据等边三角形性质可对结论③进行判断； 根据，得是等腰直角三角形，由勾股定理得，再根据得，由此即可对结论④进行判断． 【详解】解：于点N， ， 是直角三角形， 点P为边的中点， 是的斜边上的中线， ， ， 故结论①正确； 于点M， ， 是直角三角形， 点P为边的中点， 是的斜边上的中线， ， ， 故结论②正确； 设与相交于点O，如图所示： ，， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， 在四边形中，， 又，，， ， ， ， 在中，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 故结论③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 又， ， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 计算与解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，根据立方根解方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）先计算绝对值，算术平方根，乘方，再计算加减即可． （2）根据立方根求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 开立方，得， 解得． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” （1）点的“长距”为______； （2）若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】（1）6 （2） 解：点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7， ∴点到轴的距离为， 则点到轴的距离， 又∵点在第三象限， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． 【小问2详解】 略 21. 利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC； （2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD. 【答案】 （1）如图，点即为所求作的点， （2）如图，线段即为所求作的的角平分线， 【解析】 【分析】（1）利用网格图的性质，作的角平分线，再确定的中点 利用网格图的性质取格点 作射线与的角平分线的交点即为所求作的点； （2）取格点 使 由勾股定理可得 连接 确定的中点 连接 交于 从而可得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键. 22. 如图，在四边形中，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再利用判定方法证明，根据全等三角形的性质证得； （2）由（1）知，根据三角形内角和定理求出，余角的性质求出，从而求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， 由（1）可知，， ， ． 23. 已知y关于x的函数 （1）若该函数图象过点，求k的值； （2）若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【答案】（1） （2）①该函数的图象过第一、三、四象限，② 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）把点代入得：，从而计算可以得解； （2）①依据题意，由，则一次函数为，则可以判断该函数的图象过第一、三、四象限； ②由一次函数为，则y随x的增大而增大，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， ； 【小问2详解】 解：①由题意得，， 一次函数为； 该函数的图象过第一、三、四象限； ②一次函数为， 随x的增大而增大， 点，在该函数的图象上，且， ． 24. 已知在中，，，，且，求证：是直角三角形． 【答案】 作一个三角形，使得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，先作一个三角形，使得，，运用勾股定理得，又因为，则，再证明，得，故是直角三角形． 【详解】略 25. 如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）______； （2）当点在上运动时，求的面积为时的值； （3）如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【小问1详解】 解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 26. 如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）2 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，全等三角形性质与判定，垂直平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）利用题中条件，证明，可得； （2）利用题中条件证明垂直平分，可得，由推出， 再利用三角形的外角知识和直角三角形的性质，推出； （3）连接DB并延长到点N，利用题中条件，证明，可得，利用（2）推出的垂直平分， 可得，，可得，从而点D在直线BN上运动，过点E作于点H， 当点D运动到点H时，ED最小，此时，． 【详解】（1）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， 由可得，， 线段BD的长度为5． （2），理由如下： 轴， ， 是等边三角形， ， ，， ， 垂直平分， ， ， 由（1）知，，可得， ， ，， ． （3）ED的最小值为2． 如图3，连接DB并延长到点N， ，为等边三角形， ，，， ，即， 又，， ， ， 由（2）知，垂直平分，，， ， ， ， 点 D 在直线 BN上运动，过点E作于点H， 当点 D 运动到点H时，ED最小，此时， 的最小值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $