精品解析：河北邯郸市人和中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测 数学试卷

九年级数学（R） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若方程是一元二次方程，则整式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程是一元二次方程，得为只含未知数的二次整式，即可得答案. 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴为只含未知数的二次整式， ∴整式可以是，不可以是、、，故A、B、D错误，C正确. 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键. 【详解】解：选项A中，，其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是1，故选项A符合题意； 选项B中，，其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是，故选项B不符合题意； 选项C中，，其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是，故选项C不符合题意； 选项D中，，其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是1，故选项D不符合题意． 故选：A． 3. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A. 铅笔的单价不变，总价y与支数x B. 路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C. 正方体的表面积y与它的棱长x D. 速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 4. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 5. 解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 6. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A. 15 B. 10 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得时的函数值．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， 和时对应的函数值相等， 时，， 时，， 故选：B． 7. 下列一元二次方程中，两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，计算即可． 【详解】解：、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， ∴无实数根，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，符合题意． 8. 函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据a的不同情况分类讨论进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， 当时，函数的图象开口向下；对称轴，在y轴的左侧；，图象交y轴的正半轴； 故A不符合题意，B符合题意； 当时，函数的图象开口向上；对称轴，在y轴的右侧；，图象交y轴的正半轴； 故C、D不符合题意． 故选：B． 9. 若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】解：记，则即的两根为， 故或， 故选：D． 10. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵原函数为，向右平移2个单位长度，需将自变量替换为，得； 再向上平移5个单位长度，需在整体上加5， ∴最终所得图象的函数表达式为． 11. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，三点均在抛物线上求出、、，再比较大小，即可得答案. 【详解】解：当时， ， 当时，， 当时，， .∵ ， ∴ . 12. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 求方程的根时，根据求根公式，列式为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了求根公式，解题的关键是掌握求根公式． 对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 故， 故答案为：． 14. 已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是_____． 【答案】m<1 【解析】 【分析】根据二次函数开口向下二次项系数m-1＜0即可求出答案． 【详解】解：由 题意可知：m-1＜0， ∴m＜1； 故答案为：m＜1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设每个支干长出个小分支，由题意，主干长出的支干数目为，因此主干有1个，支干有个，小分支有个，根据总数为43列方程即可． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为， 故支干有个， 小分支有个． 根据题意，主干、支干和小分支的总数为43， 因此列方程得． 故答案为：． 16. 当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴ 当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 【答案】，另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的知识，根与系数的关系，由于一根为2，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 【详解】解：方程的一个根为2， ， 解得， 设另一根为， ， ， ，另一根为． 18. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方解答即可． 【详解】解：， 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 19. 某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． （1）求月销售量（件）与的函数关系式； （2）求月利润（元）与的函数关系式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确得出函数解析式是解题的关键． （）根据售价上涨 元，则销售量减少件，直接求解即可； （）根据题意求函数关系式即可． 【小问1详解】 解：∵售价上涨 元，则销售量减少件， ∴ ； 【小问2详解】 解：根据题意得总利润． 20. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】本题一元二次方程的解法，等式的基本性质，理解“等式两边不能同时除以一个可能为 0 的代数式”是解题关键． （1）步骤②直接除以，未考虑可能为的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式，将方程化为乘积为的形式，再令各因式为，可求得方程的两个根． 【小问1详解】 解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． 【小问2详解】 略 21. 对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1）， （2）证明：是勾系一元二次方程， ， ， ， ， ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根． 【解析】 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，然后利用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：∵方程是勾系一元二次方程，且，， ． ， （负舍）， ∴原方程为：． ， ， ，． 【小问2详解】 略． 22. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 23. 已知二次函数． （1）若该二次函数的顶点到两坐标轴的距离相等，求的值； （2）已知，为该二次函数图像上的两点，当时，总成立．求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，再分顶点在第一象限和第四象限列式求解即可； （2）分和两种情况，结合函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为． 当时，． ∴顶点坐标为， ∵该二次函数的顶点到两坐标轴的距离相等， ∴当顶点在第一象限时，，解得； 当顶点在第四象限时，，解得； ∴，． 【小问2详解】 解：如图1，当时， ∵， ∴． ∴． ∵， 由二次函数的对称性得． 如图2，当时，， ∴． ∵， 由二次函数的对称性得． ∴综上所述，． 24. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（R） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若方程是一元二次方程，则整式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A. 铅笔的单价不变，总价y与支数x B. 路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C. 正方体的表面积y与它的棱长x D. 速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 4. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A. 15 B. 10 C. 7 D. 6 7. 下列一元二次方程中，两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. C. D. 10. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 求方程的根时，根据求根公式，列式为，则的值为____________． 14. 已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是_____． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 16. 当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 18. 用配方法解方程：． 19. 某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． （1）求月销售量（件）与的函数关系式； （2）求月利润（元）与的函数关系式． 20. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 21. 对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 22. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 23. 已知二次函数． （1）若该二次函数的顶点到两坐标轴的距离相等，求的值； （2）已知，为该二次函数图像上的两点，当时，总成立．求的取值范围． 24. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $