精品解析：陕西汉中市东辰高级中学2026-2027学年高一上学期10月第一次月考数学试题

东辰高一2026级10月第一次月考数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（ ） A. 班级里身材高挑的学生 B. 数值很大的正数 C. 的近似小数 D. 平方等于的实数 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 8. 集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合的子集只有两个，则实数______. 13. 正实数a，b满足3a+2b＝9，则的最小值为________. 14. 若，则m的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. 已知命题：，使得不等式成立，命题：. （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 19. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东辰高一2026级10月第一次月考数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（ ） A. 班级里身材高挑的学生 B. 数值很大的正数 C. 的近似小数 D. 平方等于的实数 【答案】D 【解析】 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：由，即，解得或， 所以或，又，所以， 故选：A． 4. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 6. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目考查不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B，C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得 【详解】已知，对各选项逐一判断： 选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误. 选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误. 选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误. 选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确. 故选：D. 7. 已知，，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 8. 集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，表示空集，不含任何元素，而是一个包含了一个元素的集合， 两者不是同一个集合，故A错误； 对于B，表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 则也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于C，：自变量是的取值，，该集合是， ：函数值的取值，集合是，故C错误； 对于D，对于命题，取，发现是假命题，则是真命题； 对于命题，取时成立，则是真命题，故D正确； 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项 A：由，当且仅当时取等号.A 正确. 选项 B：由基本不等式，当且仅当时取等号.B 正确. 选项 C：因，故，不可能有.C 错误. 选项 D：由，将所求式乘：， 由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，结合，得. 因此.D 正确. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合的子集只有两个，则实数______. 【答案】4 【解析】 【分析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零. 【详解】因为集合的子集只有两个，所以A中只含有一个元素. 当时，，与题意不符； 当时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式得或4. 综上，当时，集合A只有一个元素. 故答案为：4. 13. 正实数a，b满足3a+2b＝9，则的最小值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】 用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值． 【详解】因为3a+2b＝9，所以，当且仅当a＝1，b＝3时取等号. 故答案为：3 14. 若，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2）；； 或. 【解析】 【分析】（1）由交集以及并集的运算，即可得到结果； （2）根据题意，先求，，再由交集的运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以，. 【小问2详解】 由题意可得或，或， 则， ， 或. 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 17. 已知命题：，使得不等式成立，命题：. （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由为假命题，则“，”为真命题. ，解得. 为假命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则，解得. 若为真命题，则. 当为真命题，为假命题时，则，解得； 当为假命题，为真命题时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1）不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为， 所需总电量为， 因为kW·h， 当且仅当km/h时取等号， 因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地. （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得出所需总电量为，再结合基本不等式即可求解； 设行驶时间为，充电时间为，总时间，结合题意可得，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设行驶时间为，充电时间为，总时间， 则可得，即，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以最少时间为. 19. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $