4.2.1 二次函数y = ax2的图象与性质(第2课时函数y = ax2((a小于0) )的图象与性质)（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 第2课时函数y = ax2(a0)的图象与性质 4.2.1 二次函数y = ax2的图象与性质 导入新课 结合图象，说说二次函数y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？ 如果a<0，二次函数y=ax2的图象与性质又会是什么样的呢？ 图象是一条曲线， 开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴是 y 轴. 左边y 随x 的增大而减小，右边y 随x 的增大而增大. 学 习 目 标 1 2 3 会画二次函数 y=ax2（a<0）的图象，理解其与 y=ax2²（a>0）图象的对称关系（重点） 掌握 y=ax2（a<0）的图象特征和性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性和最值（重点） 能综合归纳 y=ax2的完整性质，理解 a 的符号和大小对抛物线的影响（难点） 新知探究 探 究 小组合作学习 时间：5分钟 展示小组合作学习成果 问题1：观察和的图象，它们有什么关系？你能说明理由吗？ 问题2：观察图象，二次函数的形状是什么?开口方向怎样？与y轴的交点坐标是多少？ 问题3：观察图象，二次函数的图象在y轴的左边呈什么趋势？在y轴的右边呈什么趋势？这说明了什么? 新知探究 问题1：观察和的图象，它们有什么关系？你能说明理由吗？ P Q 关于x轴对称 在的图象上任取一点P(a,) 点P关于x轴对称的点Q的坐标是(a,) 点 Q 在的图象上. 在中，当x=a时, 所以，这两个图象关于 x 轴对称. 新知探究 问题2：观察图象，二次函数的形状是什么?开口方向怎样？与y轴的交点坐标是多少？ 抛物线 （0，0） 抛物线的顶点 开口方向向下 这点在抛物线中处于最高点 y值最大 当x =0 时，函数值y最大，最大值为0 . 新知探究 问题3：观察图象，二次函数的图象在y轴的左边呈什么趋势？在y轴的右边呈什么趋势？这说明了什么? 在y轴的左边 从左往右图象下降 y随着x的增大而减小 在y轴的右边 从左往右图象上升 y随着x的增大而增大 左升 右降 新知探究 图象特征 顶点坐标 ． 开口方向 对 称 性 函数性质 增 减 性 最 值 原点(0,0), 是图象的最低点． 开口向下． 关于y轴对称． x＝0时，函数y取最大值0． 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而，简称为减小“右降”; 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”. 总结归纳 二次函数y =a x2(a0)的图象与性质： 例2 画二次函数的图象. 典例分析 解 列表： 自变量 x 从原点的横坐标 0 开始取值. x ··· 0 ··· y = x2 ··· 0 ··· 1 2 3 4 -1 -4 描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分．利用对称性， 画出图象在 y 轴左边的部分. 这样就得到了的图象. 新知探究 y ＝ ax2 a > 0 a < 0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上 开口向下 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 总结归纳 二次函数y =a x2的图象与性质： 基础巩固题 新知应用 2.抛物线y＝－x2不具有的性质是(　　) A. 对称轴是y轴 B. 开口向下 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标是(0，0) C 1.对于函数 y=-5x2,下列结论正确的是 (　 　) A.y随x的增大而增大 B.图象开口向上 C.图象关于y轴对称 D.无论x取何值,y的值总是正的 C a0 a0 基础巩固题 新知应用 3.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的异同点说法错误的是 ( ) A. 抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴 B. 抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反 C. 抛物线y=x2和y=-x2关于x轴成轴对称 D. 点A(-3,9)在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上 D 基础巩固题 新知应用 4. 画出二次函数y = - 2x²的图象，并填空： （1） 图象的对称轴是 ，顶点坐标是 . （2） 图象的开口向 . （3） 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 . y轴 (0，0) 下 减小 增大 y =－ 2x2 基础巩固题 新知应用 5.在同一直角坐标系中画出二次函数 y = -0.3x2 与 y = -x2 的图象， 并比较它们的共同点与不同点. 共同点：①图象开口都向下； ②对称轴都是y轴； ③图象都是左升右降； ④顶点坐标都是原点(0，0)。 不同点： ④y=-x²的图象比y=-0.3x²开口小. y＝－0.3x2 y＝－x2 a 的绝对值越大，开口越小 你能得到什么结论？ 能力提升题 新知应用 6. 如图，四个二次函数的图象分别对应：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④ y=dx2 .则a，b，c，d的大小关系为______________.(用“>”连接) a > b > d > c a 的绝对值越大，开口越小 二次函数 y = ax2中 a 对开口的影响 y = ax2 开口方向：由 a的正负决定 开口大小：由 |a|的大小决定 a > 0，开口向上 a < 0，开口向下 |a|越大，开口越小 |a|越小，开口越大 |a|相等，开口大小相同 总结归纳 新知探究 能力提升题 新知应用 7．已知二次函数y＝(m＋2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是___________，顶点坐标是_________，对称轴是_____． 8．已知二次函数y＝(－a2－1)x2(a为常数)的图象上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x2＜x1＜0，则y1____y2. m＜－2 (0，0) y轴 ＞ 因为－a2－1<0，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧图象上升，函数值y随自变量x的增大而增大．又x2＜x1＜0, 所以y1＞y2. a0 能力提升题 新知应用 9．已知函数y＝－x2的图象上有三个点：A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为 (　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y3>y1 C．y3>y2>y1 D．y3>y1>y2 B　 能力提升题 新知应用 10. 已知函数 是关于 x 的二次函数. (1) 求 m 的值. (2) 当 m 为何值时，该函数图象的开口向下？ (3) 当 m 为何值时，该函数有最小值？ 解：（1）根据题意，得 m2 + 3m－2=2，且 m + 3 ≠ 0. 解得 m1=－4，m2=1， 所以 m 的值为 －4或1. a0 a0 能力提升题 新知应用 （2）因为函数图象的开口向下，所以 m + 3 < 0， 所以 当 m 的值为 －4时，该函数图象的开口向下. 所以 m < －3， （3）因为函数有最小值，所以函数图象的开口向上，所以 m + 3 > 0， 所以 当 m 的值为 1 时，该函数有最小值. 所以 m > －3， 课堂小结 二次函数y=ax2(a<0) 的图象及性质 画法 描点法 先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边 图象 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 与对称轴的交点 增减性 感谢聆听! $