4.2.1 二次函数y＝ax²的图象与性质 第2课时　 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.1　二次函数y＝ax²的图象与性质 第2课时　二次函数y＝ax²(＜0)的图象与性质 旧知回顾 二次函数y＝ax2(a>0)的图象性质是怎样的？ 函数图象开口向上，并且有最低点(0，0)； 01 02 对称轴为y轴； 03 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，简记为“左降右升”； 当x＝0时，函数有最小值，其最小值为0. 04 列表； 你还记得如何画y=x2 的图象吗？ x 0 1 2 3 4 y=x2 0 8 4.5 2 0.5 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y=x2 描点； 连线. 自学互研 知识模块一　二次函数y＝ax²(a<0)的图象 探究1 我们已经会画y=x2的图象，能不能利用轴对称知识将它变换为二次函数y=-x2的图象呢? 在y=x2 的图象上任取一点 P( a， a 2 )， P Q y x O y=x2 它关于 x 轴的对称点 Q 的坐标是 (a， a 2 ). P Q y x O y=x2 点 Q 的坐标是否在y=-x2 的图象上？ 在 由此推测y=-x2 的图象与y=x2 的图象是否关于 x 轴对称？ P Q y x O y=x2 是关于 x 轴对称. 你怎样得到 y=-x2 的图象？ 只要把y= x2的图象沿着x 轴翻折过去，就得到了 y=-x2 的图象. y x O P Q y=x2 y=-x2 二次函数y＝ax2(a<0)的图象是怎样的？ 二次函数y＝ax2(a<0)的图象是一条曲线，它的开口向下，图象对称轴是y轴，对称轴与图象的交点是原点(0，0)，又叫作抛物线的顶点． 【例1】若把函数y＝4x2沿x轴翻折，则所得函数对应的表达式是 ( ) A．y＝－x2 B．y＝x2 C．y＝4x2 D．y＝－4x2 D 变例1】下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是__________． 【变例2】已知抛物线y＝(a－4)x2的图象有最高点，则a的取值范围是______. (－1，－2) a<4 知识模块二　二次函数y＝ax² (a<0)的性质 是一条曲线； 二次函数y=-x2的图象有哪些性质？ 思 考 y x O P Q y=x2 y=-x2 图象开口向下； 图象关于 y 轴对称； 与对称轴的交点为( 0 ，0 )； “左升”，“右降”； x = 0 时，函数值最大，且为 0. 一般地，当a≤0时， y＝ax²的图象都具有上述性质.于是我们画y＝ax² (a≤0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，再画出图象在y轴左边的部分.在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤. 1．二次函数y＝ax2(a<0)的图象性质是怎样的？ 总 结 二次函数y＝ax2(a<0)的图象的性质： 二次函数y＝ax2(a<0)的图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降”； 当x＝0时，函数值最大，最大值为0． 2.二次函数y＝ax2与y＝－ax2(a>0)有何关系？ 抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于x轴对称； 抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于原点中心对称； |a|越大，抛物线的开口反而越小． 例2 画出二次函数y= － x2 的图象. x 0 1 2 3 4 y=－x2 解：列表:自变量x从原点的横坐标0开始取值. － － 0 －1 －4 描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，利用对称性，画出 y 轴左边的部分. 这样就得到了 y= － x2 的图象，如图. y －2 －4 2 4 －2 －4 x o 观察图y= － x2 的图象跟实际生活中的什么相像？ 这个图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线 x O y －2 －4 2 4 －2 －4 归纳总结 运动场上抛出的铅球、水池里喷射出的水等，这类抛体运动的轨迹都是一条曲线.数学上把形如二次函数y＝ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y＝ax2. 一般地，二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，抛物线y＝ax2与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y＝ax2 的顶点. 【例2】已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在y＝－3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________． y1>y2>y3 【变例1】已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能是 ( ) C 【变例2】已知y＝nxn²－2是二次函数，且有最大值，则n的值为 ( ) A．2 B．－2 C．±2 D．n≠0 B 【变例3】下列四个函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝x2；④y＝3x2.其中抛物线开口从大到小的排列顺序是________ ． 【变例4】抛物线y＝－7x2开口____，当x＝____时，y有最____值，是____.当x____时，y随x的增大而减小． ③①②④ 向下 0 大 0 >0 随堂检测 1. 下列函数中，当 x ＞ 0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A.y = x2 B. y = x - 1 C. y＝x D. y= -3x2 D 2. 抛物线 y ＝ －4x2 不具有的性质是 (　 　) A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大 D．最高点是原点 A 3. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ， 对称轴 ，顶点是 ； 在对称轴的左侧， y随x的增大而 ， 在对称轴的右侧， y随x的增大而 . 向下 y轴 (0,0) 减小 增大 y O x 4.画出二次函数y = -2x2的图象，并填空: (1)抛物线的对称轴是______________,顶点坐标 是______. (2)抛物线的开口向___. y 轴（直线x=0） (0,0) 下 y －2 －4 2 4 －2 －4 x o 8 －8 －8 (3)抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而______.在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的 增大而______ 增大 减小 y －2 －4 2 4 －2 －4 x o 8 －8 －8 5. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数y = -0.3x2与y = -x2的图象，并比较它们的共同点与不同点。 y =－x2 x -2 -1 0 1 2 y = -x2 -4 -1 0 -1 -4 解：列表 00 x -3 -2 0 2 3 y = -0.3x2 -2.7 -1.2 0 -1.2 -2.7 y =－x2 00 00 00 00 00 y = -0.3x2 共同点 1.开口都向下; 2.对称轴都是y轴(直线x=0); 3.顶点都在原点(0,0); 4.对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。 不同点： 开口宽窄不同:越大，开口越窄。 y=- x2中=1,开口更窄; y=-0.3 x2中=0.3,开口更宽。 课堂小结 y ＝ ax2 a > 0 a < 0 图象 位置开 口方向 对称性 开口向上 开口向下 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0 y 0 x y 0 x y ＝ ax2 a > 0 a < 0 图象 顶点最值 增减性 顶点坐标是原点（0，0） 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y 0 x y 0 x $