精品解析：广东省汕尾市陆河县部分校2026-2027学年第一学期高二第一次教学质量监测数学试题

2026—2027学年度第一学期高二第一次教学质量监测 数学试题 2026-10-15 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 复数分子分母同时乘以，再化简整理即可. 【详解】， 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算，属于基础题. 2. 已知α为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件和α为第二象限角确定值，即可求出. 【详解】解：由可得， 又α为第二象限角，所以. 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查象限角的正切值求法，属于基础题. 3. 若事件M、N满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 事件M与N相互独立 B. C. 事件M与N互斥 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再结合互斥事件、独立事件的定义及相关概率公式逐一判断各选项. 【详解】,那么 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，由可知，事件M与N不相互互斥，故选项错误； 对于D，由于事件M与N相互独立，故事件与相互独立, 所以，错误. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【详解】由， 因为，， 所以由. 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域必须关于原点对称， 令分母，解得函数的间断点为和 ， 由于必然不在定义域内，根据定义域关于原点对称的要求，它的相反数也必然不在定义域内， 所以方程的解为，所以. （验证充分性）：当时，, 此时定义域为，关于原点对称, 且，满足奇函数定义,所以成立. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则a的值为（ ） A. 4 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，已知，，面积. 由三角形面积公式可得： ， 即，解得. 由余弦定理可得： . 因为，所以. 7. 已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由球的体积公式求出球的半径，利用正四面体的高和底面外接圆半径，结合勾股定理求出正四面体棱长与其外接球半径的比例关系，进而求得棱长，最后代入正三角形面积公式即可求得四面体的表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，其外接球的半径为， 由球的体积公式，解得，即， 正四面体的高， 设正四面体的中心为，底面中心为，顶点为，底面一顶点为， 则，，， 在中，由勾股定理得， 即，代入，得：， 化简得 ，所以， 因为，所以，解得， 所以该正四面体的表面积. 8. 某地区公共卫生部门为了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗质地均匀的骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为，则估计该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式拆分回答 “是” 的概率，结合样本频率列方程，求解吸烟比例． 【详解】两颗骰子点数之和为奇数的概率为，点数之和为偶数的概率为， 先后抛两颗骰子，总结果为种，第一颗骰子的点数和第二颗骰子点数相等情况有6种, 第一颗大于第二颗有种，故概率为， 设该地区中学生吸烟比例为，由全概率公式，回答 “是” 的总概率为： ，解得． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 同时抛掷两枚均匀硬币，记事件“出现两个反面”，事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】先列出个等可能基本事件，再根据古典概型计算事件，概率，再由互斥事件的定义判断C，由必然事件的定义判断D可得. 【详解】同时抛掷两枚均匀硬币， 共有个等可能基本事件：(正₁,正₂)、(正₁,反₂)、(反₁,正₂)、(反₁,反₂)， 选项A：因为事件“出现两个反面”，所以事件仅包含(反₁,反₂)共个基本事件， 故，A正确. 选项B：因为“出现一正一反”，所以事件包含(正₁,反₂)、(反₁,正₂) 共个基本事件， 故​，B正确. 选项C：事件“出现两个反面”满足事件“出现两个相同的面”的要求， 因此发生时也会一定发生，二者存在公共样本点， 不满足互斥事件“不能同时发生、交集为空”的定义， 因此与不是互斥事件，C错误. 选项D：事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”， 抛掷两枚硬币的所有结果都必然属于事件或，不存在其他情况， 因此是必然事件，D正确. 10. 如图，正方体中，G是棱的中点，则（ ） A. 可以作为空间的一个基底 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】 设正方体棱长为1，以为原点， 分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，. 假设存在实数、，使得 ， 则，即，无解， 故不存在这样的实数、，即 不能由 、 线性表示，三向量不共面， 可以作为空间的一个基底，选项A正确. 选项B：， 而 ，横坐标不相等，选项B错误. 选项C：，选项C正确. 选项D：在上的投影向量为 ，选项D正确. 11. 已知4个数据，，，的平均数为1，方差为1，则该组数据的（ ） A. 极差可能为1 B. 众数可能为1 C. 中位数可能为2 D. 中位数可能为1 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查统计特征量的定义与运算，先由平均数、方差公式得到数据总和为4，各数据与均值差的平方和为4，再逐一验证选项即可. 【详解】由题设可得：，故；方差，故. 选项A：若极差为1，设最大值为、最小值为，则，所有数据落在内,要使平方和最大，数据应尽可能取端点，即2个、2个，代入总和得，解得，对应平方和为，不满足方差条件，A错误; 选项B：取数据，众数为1，平均数为，方差为，符合所有条件，B正确; 选项C：若中位数为2，将数据排序为，则即，结合总和得即。由得，故，此时平方和，不满足方差条件，C错误; 选项D：取数据，中位数为，平均数为，方差为，符合所有条件，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.如果，那么_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率的加法公式计算即可. 【详解】因，则， 又， 则. 故答案为： 13. 已知20个数据的第60百分位数是7.8，这20个数据按从小到大的顺序排列后，第12个数据是7.2，则第13个数据是______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算第百分位数的对应位置，可知其为第个和第个数据的平均值，列方程求解即可. 【详解】根据百分位数的计算规则，首先计算位置参数，其中数据总数，代入得 . 由于为正整数，故第60百分位数为数据按从小到大的顺序排列后第12个数据与第13个数据的算术平均数. 设第13个数据为，则. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】选取从出发的三条棱作为空间基底，引入参数t表示P，展开数量积得到关于t的二次函数，结合求值域． 【详解】设，已知， ， 点P在线段上，设， 由平行六面体的性质得， ， ， ， ， 令，二次函数开口向上，对称轴， 故最小值， ， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在长方体中，，，，E为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离. 【答案】（1）证明：以 为原点， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 由题意得 ， 因为 为 的中点，所以 ，所以 ， 在平面 中， . 设平面 的法向量为 ，则：， 解得 .令 ，则 ， 因为 ，所以 . 又因为平面 ，所以平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用即可求证. （2）求出平面 的法向量为 ，根据点到平面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面 中， . 设平面 的法向量为 ，则：，解得 ； 令 ，则 ，所以， 又因为 ，所以点 到平面 的距离 为： 故点 到平面 的距离为 . 16. 2026年10月，某地举办篮球联赛，其中志愿者的服务工作是联赛举办的重要保障.该地开展了志愿者选拔面试工作，现随机选取了100名候选者按年龄分成五组，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求a的值； （2）利用频率分布直方图，估计这100名候选者年龄的众数和平均数（每组数据用该区间的中间值作代表）； （3）现从第3组、第4组用按比例分层随机抽样的方法选取5名候选者，再从这5人中任意选取2人，求这两人来自同一组的概率. 【答案】（1） （2）众数为 ，平均数为 （3） 【解析】 【小问1详解】 ， 即 ，解得 . 【小问2详解】 众数：. 平均数：. 【小问3详解】 第3组的频率为 ，对应人数为 ； 第4组的频率为 ，对应人数为 . 两组人数之比为 ，按比例分层抽样抽取5人， 则第3组抽取3人，第4组抽取2人. 从这5人中任选2人，共有 种选法； 两人来自同一组的选法有 种. 故所求概率. 17. 如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：由为正三角形，M是的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. （2）点存在，. 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理，证明平面，可证得； （2）假设存在点P，设，由已知线面角的正弦值，利用向量法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，在菱形中，，则为正三角形， 由M是的中点，得，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，由，则，可得， 设平面的法向量，由，， 则有，令，则，得， 则，解得. 所以点存在，且. 18. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件、相互独立事件的概率计算； （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”，分别表示，，求出； （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”，由或，计算得解. 【小问1详解】 设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则， 又互斥， 所以当时，， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. 【小问2详解】 （i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，① ，② 由①②，得，解得. （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则， 则． 或. 19. 我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” （1）判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； （2）若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； （3）若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1）否，理由如下： 令，依题意，，即， 将代入化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）取特殊值可得方程无解，即不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）根据“阶搭配函数”定义求得值域间的包含关系，再由不等式性质可得结论； （3）将问题转化为值域包含关系问题，再由二次函数性质得出不等式关系，解不等式即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 成立，即， 依题意，当时，单调递减，该函数的值域为， 当时，单调递减，该函数的值域为， 由已知，有 由于，则， 解得，或， 又，所以，故，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2. 【小问3详解】 成立，即， 对任意，单调递增，该函数的值域为. 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 由已知，有，即，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高二第一次教学质量监测 数学试题 2026-10-15 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知α为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若事件M、N满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 事件M与N相互独立 B. C. 事件M与N互斥 D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则a的值为（ ） A. 4 B. C. 12 D. 7. 已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某地区公共卫生部门为了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗质地均匀的骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为，则估计该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 同时抛掷两枚均匀硬币，记事件“出现两个反面”，事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 10. 如图，正方体中，G是棱的中点，则（ ） A. 可以作为空间的一个基底 B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知4个数据，，，的平均数为1，方差为1，则该组数据的（ ） A. 极差可能为1 B. 众数可能为1 C. 中位数可能为2 D. 中位数可能为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.如果，那么_________. 13. 已知20个数据的第60百分位数是7.8，这20个数据按从小到大的顺序排列后，第12个数据是7.2，则第13个数据是______. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在长方体中，，，，E为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离. 16. 2026年10月，某地举办篮球联赛，其中志愿者的服务工作是联赛举办的重要保障.该地开展了志愿者选拔面试工作，现随机选取了100名候选者按年龄分成五组，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求a的值； （2）利用频率分布直方图，估计这100名候选者年龄的众数和平均数（每组数据用该区间的中间值作代表）； （3）现从第3组、第4组用按比例分层随机抽样的方法选取5名候选者，再从这5人中任意选取2人，求这两人来自同一组的概率. 17. 如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 19. 我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” （1）判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； （2）若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； （3）若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $