精品解析：广东省广州市实验学校2026～2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期广州市实验外语学校10月月考高二数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．选择题作答请用2B铅笔写在答题卡上，修改时用橡皮擦干净．笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写在相对应的答题框内，不得超出答题框． 2．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 3．在每页考生信息框中填写姓名及考生号． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过两直线互相垂直斜率之积等于求解. 【详解】当即时，：，：，两直线不垂直； 当，时，若，则，解得. 2. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】根据空间向量的运算法则，易得， 又因为， 故. 故选：A． 3. 经过两点，的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 可得， 因为直线的方向向量为， 所以与共线， 则，解得. 4. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. x-y+1=0 B. x+y-3＝0 C. y＝2x或x+y-3＝0 D. y＝2x或x-y+1＝0 【答案】D 【解析】 【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程. 【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0. 综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0， 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零. 5. 对于直线：（），现有下列说法： ①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④当取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误． 【详解】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确； 故选：C 6. 圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆心的中点在直线上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得. 【详解】解：表示以为圆心，以1为半径的圆． 设关于直线对称的点为，则有，解得：，， 所以：关于直线对称的圆的方程为． 故选：A． 7. 在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 直线与所成的角的余弦值是 C. 直线与平面所成角的正弦值是 D. 平面与平面所成角的正弦值是 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法求出空间角，判断各选项． 【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，， ，，，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确； ，， ，B正确； ，设平面的一个法向量为， 由得：，取，则，即， ， ， 直线与平面所成的角正弦值是，C错； 平面的一法向量是， ， 平面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确． 故选：C. 8. 在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得. 【详解】解：因为，， 所以，所以，故A错误； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点、的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式可得， 可整理为； 当时，方程可整理为， 所以，经过两点、的直线方程，故D正确. 故选：BD. 11. 在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 当为中点时，为锐角 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值 D. 顶点到平面的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D. 【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则，故， 则， ， 对于A，当为中点时， 则，， 则，， 所以， 所以为锐角，故A正确； 当平面， 因为平面，所以， 则，解得， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，当时，取得最小值， 由B得，此时， 则，， 所以， 即的最小值为，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有， 可取， 则点到平面的距离为， 当时，点到平面的距离为0， 当时， ， 当且仅当时，取等号， 所以点到平面的最大距离为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】 Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，三向量共面，所以存在一组实数，使得， 又因为，，， 所以， 所以，解得， 所以，，三向量共面，则实数. 13. 在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 14. 在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得轨迹为以为顶点，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的，据此可得答案. 【详解】因为，则的轨迹为如图以为顶点，为高，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的， 又因为正方体面对角线长度为，圆锥底面圆半径为，则轨迹形成的图形面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，． （1）求圆的一般方程； （2）设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1）圆的一般方程为 （2）中点的轨迹方程为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求圆的一般方程； （2）利用相关点法可求线段的中点的轨迹方程． 【小问1详解】 设圆的一般方程为. 因为圆经过点，，， 所以，整理得，解得， 所以圆的一般方程为. 【小问2详解】 设， 因为是线段的中点，所以，所以， 又因为点是圆上的点，所以， 所以，所以， 所以中点的轨迹方程为. 16. 已知三个顶点的坐标分别为，，，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）的平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的中点坐标，再结合点的坐标即可求解； （2）先求出所在直线的斜率，再根据垂直关系，及直线点斜式方程即可求解； （3）先根据直线点斜式方程分别求出边，边和边所在直线的方程，设的平分线所在的直线与边所在的直线的交点为，再根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求出的坐标，进而即可求解． 【小问1详解】 由，，则的中点坐标为， 又，则边上的中线所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由，，则所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 又，则边上的高所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 由，，， 则，，， 则边所在直线的方程为，即， 边所在直线的方程为，即， 边所在直线的方程为， 设的平分线所在的直线与边所在的直线的交点为，， 则到两边，的距离相等， 即，即， 又，则，解得， 所以，即， 则的平分线所在直线的斜率为， 所以的平分线所在直线的方程为，即． 17. 已知直线，直线，与交于点，点. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）求过，两点，且圆心在上的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的斜率求出中垂线的斜率，然后结合中点坐标公式求出的中点，进而结合点斜式即可求出结果； （2）结合圆的性质求出圆心，进而结合两点间的距离公式即可求出半径，从而求出结果. 【小问1详解】 ，解得，故, 则的中点坐标为，且,因此中垂线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程，即， 因此线段的垂直平分线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知线段的垂直平分线的方程为，则，解得， 故圆心为，因此半径为， 所以圆的标准方程为. 18. 如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求点D到直线的距离． 【答案】（1）证明：以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 由、、、、及、， 得，，，，，． 由、得， 即与平面平行， 又不在平面内，故平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值. （3）利用向量法求得点D到直线的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由、得， ，，故， 即与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由、得，，， 则在上的投影长为， 故点到直线的距离． 19. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点. （1）证明：. （2）在直线BC上是否存在点，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 作于 ，由平面平面ABC，且平面平面，得平面，∴. ∵，，，由勾股定理得， 所以， ∴，，. 在直角三角形中，由勾股定理可得. 又.∴. （2）存在，或1 【解析】 【分析】(1)作于 ，根据勾股定理分别可求得，的值，只需证得，即可求出，即可得出为等腰三角形，从而可得. (2)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作，垂足为点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，设， ∴，. 设是平面的法向量， ∴，取，得， 又. 设直线与平面所成的角为， ∴， 化简得，解得或.当时，（在线段上）； 当时，（在线段的延长线上） ∴存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期广州市实验外语学校10月月考高二数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．选择题作答请用2B铅笔写在答题卡上，修改时用橡皮擦干净．笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写在相对应的答题框内，不得超出答题框． 2．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 3．在每页考生信息框中填写姓名及考生号． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：（），若，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 3. 经过两点，的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 4. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. x-y+1=0 B. x+y-3＝0 C. y＝2x或x+y-3＝0 D. y＝2x或x-y+1＝0 5. 对于直线：（），现有下列说法： ①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④当取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 直线与所成的角的余弦值是 C. 直线与平面所成角的正弦值是 D. 平面与平面所成角的正弦值是 8. 在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点、的直线方程 11. 在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 当为中点时，为锐角 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值 D. 顶点到平面的最大距离为 Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数______________． 13. 在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 14. 在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，． （1）求圆的一般方程； （2）设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 16. 已知三个顶点的坐标分别为，，，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）的平分线所在直线的方程． 17. 已知直线，直线，与交于点，点. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）求过，两点，且圆心在上的圆的标准方程. 18. 如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求点D到直线的距离． 19. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点. （1）证明：. （2）在直线BC上是否存在点，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $