广东省汕尾市陆河县部分校2026-2027学年第一学期高二第一次教学质量监测数学试题

2026—2027学年度第一学期高二第一次教学质量监测 数学试题 2026-10-15 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知α为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若事件M、N满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 事件M与N相互独立 B. C. 事件M与N互斥 D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则a的值为（ ） A. 4 B. C. 12 D. 7. 已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某地区公共卫生部门为了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗质地均匀的骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为，则估计该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 同时抛掷两枚均匀硬币，记事件“出现两个反面”，事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 10. 如图，正方体中，G是棱的中点，则（ ） A. 可以作为空间的一个基底 B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知4个数据，，，的平均数为1，方差为1，则该组数据的（ ） A. 极差可能为1 B. 众数可能为1 C. 中位数可能为2 D. 中位数可能为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.如果，那么_________. 13. 已知20个数据的第60百分位数是7.8，这20个数据按从小到大的顺序排列后，第12个数据是7.2，则第13个数据是______. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在长方体中，，，，E为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离. 16. 2026年10月，某地举办篮球联赛，其中志愿者的服务工作是联赛举办的重要保障.该地开展了志愿者选拔面试工作，现随机选取了100名候选者按年龄分成五组，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求a的值； （2）利用频率分布直方图，估计这100名候选者年龄的众数和平均数（每组数据用该区间的中间值作代表）； （3）现从第3组、第4组用按比例分层随机抽样的方法选取5名候选者，再从这5人中任意选取2人，求这两人来自同一组的概率. 17. 如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 19. 我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” （1）判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； （2）若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； （3）若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 2026—2027学年度第一学期高二第一次教学质量监测 数学试题 2026-10-15 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明：以 为原点， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 由题意得 ， 因为 为 的中点，所以 ，所以 ， 在平面 中， . 设平面 的法向量为 ，则：， 解得 .令 ，则 ， 因为 ，所以 . 又因为平面 ，所以平面 . （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）众数为 ，平均数为 （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：由为正三角形，M是的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. （2）点存在，. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1）否，理由如下： 令，依题意，，即， 将代入化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）2 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $