第22讲 第1课时 正弦定理与余弦定理专项训练-2027届高考数学一轮复习

第22讲 第1课时 正弦定理与余弦定理-2027届高考数学一轮复习 知识整合　体系重构 激活思维 1．在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45°　 B．60° C．120°　 D．135° 2．在△ABC中，设b＝5，c＝5，A＝30°，则a＝(　　) A．5　 B．4 C．3　 D．10 3．在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝____． 4．在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a＝___，c＝_________． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋asin C－b－c＝0，则A＝____；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝____． 聚焦知识 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ______＝____＝_____＝2R a2＝__________； b2＝_________； c2＝_______ 变形 形式 ①a＝__________，b＝________ _，c＝__________； ②sin A＝______，sin B＝_______，sin C＝________(其中R是△ABC外接圆的半径)； ③a∶b∶c＝________④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝_________； cos B＝________； cos C＝_________ 解斜三 角形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2．三角形常用面积公式 (1) S△ABC＝aha(ha为边a上的高)； (2) S△ABC＝__________＝______＝______； (3) S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径)； (4) S△ABC＝＝2R2sin Asin Bsin C(R为△ABC外接圆的半径)； (5) S△ABC＝． 3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 ____ ____ ____ ____ ____ 4．解三角形的实际应用 (1) 仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线____叫仰角，目标视线在水平视线____叫俯角(如图(1))． 图(1) (2) 方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(2))． 图(2) (3) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4) 视角：观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼球内交叉而成的角． 第1课时　正弦定理与余弦定理 题型突破　思维拓展 举题说法 正、余弦定理的直接应用 例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin B＝b·cos A，c－2b＝1，a＝． (1) 求角A的大小； (2) 求c的值； (3) 求sin(A＋2B)的值． 在解三角形中，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理．若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到． 变式1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝asin2B． (1) 求角C的大小； (2) 若A＝，且△ABC的外接圆半径为2，求b的值． 利用正、余弦定理判断三角形的形状 例2　(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 B．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 C．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 D．若acos B＋bcos A＝a，则△ABC一定是等腰三角形 在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 变式2　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2bcos A＝c，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形 C．等边三角形 D．以上结论均不正确 和三角形面积有关的问题 例3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1) 求角B的大小； (2) 若△ABC的面积为3＋，求c的值． (1) 对于三角形面积公式S＝absin C＝acsin B＝cbsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2) 与面积有关的问题，一般先利用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 变式3　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2． (1) 求bc的值； (2) 若－＝1，求△ABC的面积． 正、余弦平方差公式的应用 正、余弦平方差公式(请同学们自己完成证明)． sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)， cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β)． 例4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是(　　) A．　 B．(1，) C．　 D．(1，＋∞) 变式4　设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若c2＝3(a2－b2)，且tanC＝3，则cos B＝____． 随堂内化 1．在△ABC中，BC＝3，sin B＋sin C＝sin A，且△ABC的面积为sin A，则A＝(　　) A．　 B． C．　 D． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A．　 B． C．　 D． 3．(多选)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ccos B，△ABC的面积为，c＝，则(　　) A．A＝B B．a2＋b2＝3 C．a＋b＝＋1 D．sin A＋cos A＝ 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　) A．6　 B．8 C．24　 D．48 2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则C＝(　　) A．　 B． C．　 D． 3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝(　　) A．　 B．3 C．　 D．2 4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2－1＝c(c－1)，则A＝(　　) A．　 B． C．　 D． 二、多项选择题 5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin＝cos B，b＝2，c＝3，则(　　) A．C＝ B．a＝＋ C．sin A＝ D．△ABC的面积为 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．若cos A＞cos B，则sin A＜sin B B．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝ C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的大小为 D．若＝，则B＝ 7．已知△ABC的面积为，若sin Acos(C－B)＝sin Bcos(C－A)，sin C＝cos B，则(　　) A．C＝　 B．sin B＝ C．AC＝2　 D．AB＝ 三、填空题 8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，c＝4，bsin A＝1，则b＝__________． 9．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是________． 10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝，则＝_________． 四、解答题 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A－sin2B＝sin2C－sin B·sin C，2cos B＝sin C． (1) 判断△ABC的形状，并说明理由； (2) 已知点D在边AB上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积． 12．在△ABC中，tan A＋tan B＝，AB＝5，AC＝8． (1) 求角A的大小； (2) 求cos B； (3) 若线段AB上点D满足∠BCD＝，求CD的长． B组　能力提升练 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c2＝a2＋b2＋ab，则的取值范围是________． 14．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin2B＋sin2C＝，其外接圆半径为2，则△ABC的面积为(　　) A．3　 B．3 C．4　 D．4 参考答案 激活思维 1．在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　A　) A．45°　 B．60° C．120°　 D．135° 【解析】 由题意得cos A＝＝＝，又0°＜A＜180°，所以A＝45°． 2．在△ABC中，设b＝5，c＝5，A＝30°，则a＝(　A　) A．5　 B．4 C．3　 D．10 【解析】 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝52＋(5)2－2×5×5×cos 30°＝25，解得a＝5． 3．在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝__＋__． 【解析】 在△ABC中，因为b＝2，A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，则由正弦定理＝，得c＝＝＝＝＋． 4．在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a＝____，c＝____． 【解析】 由cos A＝，可知A为锐角，所以sin A＝＝．由正弦定理得a＝＝＝＝．sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，由正弦定理得c＝＝＝． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋asin C－b－c＝0，则A＝____；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝__4__． 【解析】 由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0．因为sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0．由于sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，所以sin＝．又0＜A＜π，故A＝．由题得△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4①．而a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝2，故b2＋c2＝8②．由①②得b＝c＝2，所以b＋c＝4． 第1课时　正弦定理与余弦定理 题型突破　思维拓展 举题说法 正、余弦定理的直接应用 例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin B＝b·cos A，c－2b＝1，a＝． (1) 求角A的大小； 【解答】 因为asin B＝bcos A，所以由正弦定理＝，得asin B＝bsin A＝bcos A，显然cos A≠0，得tan A＝．又0＜A＜π，故A＝． (2) 求c的值； 【解答】 由(1)知cos A＝，且c＝2b＋1，a＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝b2＋(2b＋1)2－2×b(2b＋1)＝3b2＋3b＋1，解得b＝1(b＝－2舍去)，故c＝3． (3) 求sin(A＋2B)的值． 【解答】 由正弦定理＝，且b＝1，a＝，sin A＝，得sin B＝＝，且a＞b，则B为锐角，故cos B＝，故sin 2B＝2sin Bcos B＝，且cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×2＝，所以sin(A＋2B)＝sin Acos 2B＋cos Asin 2B＝×＋×＝． 在解三角形中，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理．若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到． 变式1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝asin2B． (1) 求角C的大小； 【解答】　在△ABC中，由b＝asin2B，得(sin2A＋sin2B－sin2C)b＝asin2B．由正弦定理得(a2＋b2－c2)b＝ab2，由余弦定理得2abcos C·b＝ab2，则cos C＝，而0＜C＜π，所以C＝． (2) 若A＝，且△ABC的外接圆半径为2，求b的值． 【解答】 由(1)知C＝，又A＝，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝．又△ABC的外接圆半径为2，所以由正弦定理得b＝4sin B＝＋． 利用正、余弦定理判断三角形的形状 例2　(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　BD　) A．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 B．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 C．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 D．若acos B＋bcos A＝a，则△ABC一定是等腰三角形 【解析】 对于A，若a2＋b2－c2＞0，则cos C＝＞0，则C为锐角，但是A，B两角无法判断其是否为锐角，如当a＝4，b＝2，c＝3时，a2＋b2－c2＞0，b2＋c2－a2＝－3＜0，△ABC为钝角三角形，故A错误；对于B，因为＝＝，所以＝＝，所以tan A＝tan B＝tan C，且A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故B正确；对于C，因为acos A＝bcos B，所以sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为acos B＋bcos A＝a，所以sin A·cos B＋sin Bcos A＝sin A，即sin(A＋B)＝sin A，则sin C＝sin A，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC为等腰三角形，故D正确． 在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 变式2　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2bcos A＝c，则△ABC的形状是(　C　) A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形 C．等边三角形 D．以上结论均不正确 【解析】 因为2bcos A＝c＞0，所以A为锐角．由余弦定理得2b×＝c，得b2＝a2，a＝b，则B为锐角． 方法一：由＝以及余弦定理得＝，即＝，即＝．由于b2－a2＝0，所以b2－c2＝0，即b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形． 方法二：由＝及正弦定理得sin C·cos C＝sin Acos A，所以sin 2A＝sin 2C，从而A＝C或A＋C＝(由B为锐角，舍去)．综上，A＝B＝C，即△ABC为等边三角形． 和三角形面积有关的问题 例3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1) 求角B的大小； 【解答】 由题知cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝．因为sin C＝cos B，所以cos B＝．又B∈(0，π)，所以B＝． (2) 若△ABC的面积为3＋，求c的值． 【解答】 由(1)可得B＝，C＝，则A＝π－－＝，所以sin A＝sin＝sin＝×＋×＝．由正弦定理有＝＝，从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，所以S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2＝3＋，解得c＝2． (1) 对于三角形面积公式S＝absin C＝acsin B＝cbsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2) 与面积有关的问题，一般先利用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 变式3　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2． (1) 求bc的值； 【解答】 因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1． (2) 若－＝1，求△ABC的面积． 【解答】 由正弦定理可得－＝－＝－＝＝1，变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sin B，即－2cos Asin B＝sin B．又B∈(0，π)，故sin B≠0，所以cos A＝－．因为A∈(0，π)，所以sin A＝，故S△ABC＝bcsin A＝×1×＝． 正、余弦平方差公式的应用 正、余弦平方差公式(请同学们自己完成证明)． sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)， cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β)． 例4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是(　A　) A．　 B．(1，) C．　 D．(1，＋∞) 【解析】 因为b2－a2＝ac，所以由正弦定理得sin2B－sin2A＝sinAsinC．由正弦平方差公式，得sin(A＋B)·sin(B－A)＝sinAsinC．因为sin(A＋B)＝sinC≠0，所以sin(B－A)＝sinA．在△ABC中，可得B－A＝A，即B＝2A，则C＝π－3A．因为△ABC为锐角三角形，所以解得＜A＜，则＜B＜，所以－＝－＝＝＝．由＜B＜，得sinB∈，则∈，故－的取值范围是． 变式4　设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若c2＝3(a2－b2)，且tanC＝3，则cos B＝____． 【解析】 由c2＝3(a2－b2)，可得sin2C＝3(sin2A－sin2B)＝3sin(A＋B)sin(A－B)＝3sinCsin(A－B)．因为sinC≠0，所以sinC＝sin(A＋B)＝3sin(A－B)，整理得sinAcosB＝2cosAsinB，则有tanA＝2tanB．又tanC＝3，所以tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝＝＝3，化简得2tan2B－tanB－1＝0，解得tanB＝1或tanB＝－(由b＜a，知B为锐角，舍去)，所以cosB＝． 随堂内化 1．在△ABC中，BC＝3，sin B＋sin C＝sin A，且△ABC的面积为sin A，则A＝(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin B＋sin C＝sin A，所以由正弦定理可得b＋c＝a＝．由S△ABC＝bcsin A＝sin A，解得bc＝1，所以由余弦定理可得cos A＝＝＝＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　C　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 因为B＝，b2＝ac，所以由正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝．由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sin Asin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝．因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C＞0，所以sin A＋sin C＝． 3．(多选)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ccos B，△ABC的面积为，c＝，则(　BCD　) A．A＝B B．a2＋b2＝3 C．a＋b＝＋1 D．sin A＋cos A＝ 【解析】 因为a＝ccos B，所以a＝c×，化简得a2＋b2＝c2，可知C＝．因为c＝，所以a2＋b2＝3．因为△ABC的面积为，所以ab＝，化简得ab＝．联立解得或对于A，因为a≠b，所以A≠B，故A错误．对于B，由上分析可知a2＋b2＝3，故B正确．对于C，由上分析可知a＋b＝＋1，故C正确．对于D，由C＝，知sin A＋cos A＝＋＝，故D正确． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为(　C　) A．6　 B．8 C．24　 D．48 【解析】 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－12c＋36＝0，解得c＝6．又sin∠BAC＝＝，所以S△ABC＝bcsin A＝×10×6×＝24． 2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则C＝(　C　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由题及正弦定理得＝，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝． 3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝(　D　) A．　 B．3 C．　 D．2 【解析】方法一：因为＝，所以由正弦定理得＝，所以3sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)．又因为sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B,0＜B＜π，所以sin B＞0，故3cos C＝1，解得cos C＝．又因为0＜C＜π，所以sin C＞0，所以sin C＝＝＝，所以tan C＝＝＝2． 方法二：由＝及射影定理，可得3bcos C＝ccos A＋acos C＝b，则cos C＝，以下同方法一． 4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2－1＝c(c－1)，则A＝(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由a2－1＝c(c－1)＝c2－c，得c2－a2＝c－1．因为b＝1，所以上式可化为b2＋c2－a2＝bc．由余弦定理得cos A＝＝．又A∈(0，π)，所以A＝． 二、多项选择题 5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin＝cos B，b＝2，c＝3，则(　AD　) A．C＝ B．a＝＋ C．sin A＝ D．△ABC的面积为 【解析】 因为sin＝cos B，且△ABC为锐角三角形，所以A－＋B＝，即A＋B＝，可得C＝，故A正确．由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，得9＝a2＋4－2a，整理得a2－2a－5＝0，又a＞0，所以a＝1＋，故B错误．根据正弦定理＝，可得sin A＝＝＝，故C错误．S△ABC＝absin C＝×(1＋)×2×＝＝，故D正确． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　ABC　) A．若cos A＞cos B，则sin A＜sin B B．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝ C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的大小为 D．若＝，则B＝ 【解析】 对于A，cos A＞cos B⇔A＜B⇔sin A＜sin B，故A正确．对于B，由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理得cos C＝＝．因为0＜C＜π，所以C＝，故B正确．对于C，因为a＝7，b＝4，c＝，所以c＜b＜a，所以C＜B＜A，所以cos C＝＝＝．因为0＜C＜π，所以C＝，故C正确．对于D，由正弦定理得＝＝，则＝1，即tan B＝1，所以B＝，故D错误． 7．已知△ABC的面积为，若sin Acos(C－B)＝sin Bcos(C－A)，sin C＝cos B，则(　BC　) A．C＝　 B．sin B＝ C．AC＝2　 D．AB＝ 【解析】 因为sin Acos(C－B)＝sin Bcos(C－A)，所以sin Acos Ccos B＋sin Asin Csin B＝sin Bcos Ccos A＋sin Bsin Csin A，所以sin Acos Ccos B＝sin Bcos Ccos A，所以cos C·(sin Acos B－cos Asin B)＝0，所以cos Csin(A－B)＝0，所以cos C＝0或sin(A－B)＝0，即C＝或A＝B．若C＝，则cos B＝sin C＝1⇒cos B＝2显然不成立，所以C＝不成立，故A错误．若A＝B，则C＝π－(A＋B)＝π－2B，所以sin C＝cos B⇒sin 2B＝cos B，所以2sin Bcos B＝cos B，因为A＝B，所以A＝B≠，所以cos B≠0，所以sin B＝，故B正确．因为A＝B，所以A，B为锐角，所以cos B＝＝＝，所以sin C＝cos B＝，因为△ABC的面积为，所以BC·ACsin C＝，所以AC2×＝，解得AC＝2，故C正确．因为cos C＝cos(π－2B)＝－cos 2B＝－(1－2sin2B)＝－＝－，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos C＝4＋4－2×2×2×＝15，所以AB＝，故D错误． 三、填空题 8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，c＝4，bsin A＝1，则b＝____． 【解析】 由正弦定理＝可得a＝＝＝，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝2＋16－8×＝10，即b＝． 9．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)__． 【解析】 根据正弦定理可知＝，代入可得sin A＝．因为满足条件的△ABC有两个，所以A有两个值，即函数y＝sin x,0°＜x＜120°的图象与直线y＝，a＞0有两个交点，作出y＝sin x与y＝(a＞0)的图象如图所示，由图可知＜＜1，所以a∈(，2)． 10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝，则＝____． 【解析】 因为＋＝，所以sin B·sin Ccos A＋2sin Asin Ccos B＝3sin Asin B·cos C，所以bc·＋2ac·＝3ab·，整理得3c2＝a2＋2b2，故＝． 四、解答题 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A－sin2B＝sin2C－sin B·sin C，2cos B＝sin C． (1) 判断△ABC的形状，并说明理由； 【解答】 △ABC为直角三角形，理由如下：由sin2A－sin2B＝sin2C－sin Bsin C，得a2－b2＝c2－bc，即bc＝c2＋b2－a2，由余弦定理得cos A＝＝＝．因为A∈(0，π)，所以A＝．又2cos B＝sin C，所以2cos B＝sin(B＋A)＝sin＝sin B＋cos B，化简可得sin B＝cos B，故tan B＝．因为B∈(0，π)，所以B＝，C＝π－B－A＝，故△ABC为直角三角形． (2) 已知点D在边AB上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积． 【解答】 由(1)知A＝，B＝，且△ABC为直角三角形．如图，设AB＝2x，则AC＝x，BC＝x，AD＝AB＝．在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos A，即4＝2＋(x)2－2××x×，解得x2＝，故S△ACD＝AD·AC·sin A＝××x×＝x2＝×＝． 12．在△ABC中，tan A＋tan B＝，AB＝5，AC＝8． (1) 求角A的大小； 【解答】 由tan A＋tan B＝，可得＝，即sin A·cos B＋cos Asin B＝2sin Ccos A，又sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin C＝2sin Ccos A．在△ABC中，A，C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝，则A＝． (2) 求cos B； 【解答】 由AB＝5，AC＝8，A＝，结合余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝52＋82－80×＝49，所以BC＝7，则cos B＝＝． (3) 若线段AB上点D满足∠BCD＝，求CD的长． 【解答】 易知sin B＝，sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，所以sin∠BDC＝sin(π－B－∠DCB)＝sin(B＋∠DCB)＝sin B·cos∠BCD＋cos Bsin∠BCD＝．由正弦定理得＝，故CD＝7××＝． B组　能力提升练 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c2＝a2＋b2＋ab，则的取值范围是(－1,1)__． 【解析】 由题意得cosC＝＝－，又C∈(0，π)，所以C＝，A∈．结合正弦定理和三角函数中的平方差公式可得＝＝＝sin．因为A∈，所以2A－∈，所以sin∈，从而的取值范围是(－1,1)． 14．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin2B＋sin2C＝，其外接圆半径为2，则△ABC的面积为(　A　) A．3　 B．3 C．4　 D．4 【解析】 因为sin2A＋sin2B＋sin2C＝，即sin[(A＋C)＋(A－C)]＋sin[(A＋C)－(A－C)]＋2sinBcosB＝，所以2sin(A＋C)·cos(A－C)＋2sinBcosB＝．又A＋B＋C＝π，故sin(A＋C)＝sinB，cos(A＋C)＝－cosB，所以2sinBcos(A－C)－2sinBcos(A＋C)＝，所以2sinB·[cos(A－C)－cos(A＋C)]＝，即4sinBsinAsinC＝，sinBsinAsinC＝．因为△ABC的外接圆半径为2，所以a＝4sinA，b＝4sinB，所以S△ABC＝absinC＝×4sinA×4sinB×sinC＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $