第29讲　多三角形背景下解三角形专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦多三角形背景下解三角形，通过典例系统整合正弦定理、余弦定理、面积法等核心方法，构建从单一到复杂情境的知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-2题|正弦/余弦定理+向量分解|边角关系→线段比例| |综合拓展|3-4题|多解法（正余弦定理、面积关系）|角拆分/高→综合计算| |跨图形转化|5题|余弦定理联用+三角函数最值|四边形→三角形转化|

第29讲　多三角形背景下解三角形 (时间:45分钟) 1.[2025·安徽江淮十校联考] 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=. (1)求A的值; (2)若c=2b=4,M为边BC上一点,且2BM=3MC,求AM的长. 2.[2025·长沙长郡中学月考] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(b-a ,-sin C),n=(c+b,sin A+sin B),满足m∥n. (1)求A; (2)若角A的平分线交边BC于点D,AD的长为2,求△ABC的面积的最小值. 3.[2025·浙江嘉兴模拟] 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c-a)(b+c+a)=bc. (1)求A; (2)若D为BC边上一点,∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=,求sin B. 4.[2025·河北唐山模拟] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin 2A+ cos 2A=2,b=a. (1)求B; (2)若B为锐角,AC边上的高为+,求△ABC的周长. 5.[2025·江苏南京模拟] 平面多边形中,三角形具有稳定性,而四边形不具有这一性质.如图所示,四边形ABCD的顶点在同一平面内,已知AB=BC=CD=2,AD=2. (1)当BD的长度变化时,cos A-cos C是否为一个定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. (2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2,请求出+的最大值. 参考答案 第29讲　多三角形背景下解三角形 1.解:(1)由题意知,=, 所以2cos A·sin B=sin A·cos C+cos A·sin C=sin(A+C)=sin B. 又sin B≠0,所以cos A=,而A∈(0,π),所以A=. (2)在△ABC中,·=cb·cos=4×2×=4.因为2=3,所以=+, 所以||2===, 故AM=. 2.解:(1)∵m∥n,∴(b-a)(sin A+sin B)=(c+b)·(-sin C),由正弦定理得(b-a)(a+b)=(c+b)·(-c), ∴b2+c2-a2=-bc,∴cos A===-,又∵A∈(0,π),∴A=. (2)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=. ∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴AB·AD·sin∠BAD+AC·AD·sin∠CAD=b·c·sin∠BAC,即2csin+2bsin=bcsin,∴2c+2b=bc.由基本不等式可得bc=2b+2c≥4, ∴bc≥16,当且仅当b=c=4时取等号,∴S△ABC=bcsin∠BAC=bc≥4,即△ABC的面积的最小值为4. 3.解:(1)由题知(b+c-a)(b+c+a)=(b+c)2-a2=b2+2bc+c2-a2=bc,则b2+c2-a2=-bc,所以cos A==-,因为0<A<π,所以A=. (2)方法一:由(1)得,∠BAC=,因为∠BAD=3∠CAD,所以∠CAD=. 如图,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos∠DAC=3+16-2××4×=7,所以CD=. 在△ACD中,由正弦定理得=,即=,所以sin C=. 因为0<C<,所以cos C==, 所以在△ABC中,sin B=sin(∠BAC+C)=sin∠BACcos C+cos∠BACsin C=×-×=. 方法二:同方法一,得CD=.在△ACD中,由正弦定理得=,即=, 所以sin∠ADC=,可得cos∠ADC=-=-. 因为∠ADC=∠BAD+B=B+, 所以cos=-, 所以sin B=. 方法三:同方法一,得CD=.在直角三角形ABD中,BD=,所以a=+.又a2=b2+c2+bc,所以(+)2=c2+4c+16,即c2+2+10=c2+4c+16,得=2c+3,即c2-4c+4=0,所以c=2,BD=,故sin B==. 方法四:由(1)知∠BAC=,因为∠BAD=3∠CAD,所以∠CAD=,∠BAD=. 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×4csin=×c+×4×sin,即c=c+,解得c=2,所以a2=b2+c2+bc=16+4+8=28,即a=2.在△ABC中,由正弦定理得=,即=,解得sin B==. 4.解:(1)由题知sin 2A+cos 2A=2sin=2,所以sin=1,因为A∈(0,π),所以2A+=,则A=.又b=a,所以sin B=sin A=,因为B∈, 所以B=或B=. (2)由(1)可知A=,B=,则C=π--=.如图,作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,则BD=+,∠BCD=,∠CBD=,所以sin A=,所以AB=2+2,cos∠CBD=cos=×+×==,则BC=4,故AC=4,所以△ABC的周长为AB+BC+AC=2+2+4+4=6+2+4. 5.解:(1)方法一:在△ABD中,由余弦定理得cos A=, 将AD=2,AB=2代入得cos A=,即cos A=①.同理,在△BCD中,cos C=,即cos C=②. ①-②得cos A-cos C=1,所以当BD的长度变化时,cos A-cos C为定值,该定值为1. 方法二:在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos A, 即BD2=(2)2+22-2×2×2×cos A,即BD2=16-8cos A. 同理,在△BCD中,BD2=CD2+CB2-2CD·CBcos C=8-8cos C,所以16-8cos A=8-8cos C,化简得cos A-1=cos C,即cos A-cos C=1,所以当BD的长度变化时,cos A-cos C为定值,该定值为1. (2)+=AB2·AD2·sin2A+BC2·CD2·sin2C=12sin2A+4sin2C=12sin2A+4-4cos2C=12sin2A+4-4(cos A-1)2=-24cos2A+8cos A+12,令cos A=t,t∈(-1,1),所以+=-24t2+8t+12=-24+14,所以当t=,即cos A=时,+取到最大值14,故 +的最大值为14. 1 学科网（北京）股份有限公司 $