精品解析：山西省实验中学2026-2027学年第一学期10月阶段检测九年级数学试卷

山西省实验中学 2026—2027学年第一学期第一次质量监测（卷） 九年级 数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一．单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图，直线l1l2l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．已知AB＝4，BC＝6，DE＝2，则EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.5 3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD=AB D. ∠BAD＝∠ADC 4. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏（ ） A. B. C. D. 8. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 矩形 10. 如图，边长分别为，，的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么________． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=_____． 14. 如图，在中，，，若，则________． 15. 若关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是和，则这个方程就是“倍根方程”；方程的两个根分别是和，则这个方程就是“倍根方程”．若关于的方程是“倍根方程”，则的值为________． 16. 如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为________． 三．解答题（本题共5小题，共52分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，且． （1）若，求线段的长： （2）若的面积为，直接写出四边形的面积是________． 19. 佛小伴是山西大同的文创，设计灵感来自云冈石窟第六窟“七步生莲”石雕壁画，寓意长久相伴．云冈石窟景区文创店平均每天售出个佛小伴，每个盈利元．经市场调查发现，如果每个佛小伴降价元，那么日均销售量就增加个． （1）设每个佛小伴降价元，则每个佛小伴盈利________元，每天可销售________个；（用含的代数式表示） （2）该文创店计划每天赢利元，且规定每个佛小伴单件降价幅度不超过元，那么每个佛小伴应降价多少元？ 20. 阅读与思考 利用尺规在平行四边形内作菱形 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题：如图（1），已知四边形是平行四边形，，请利用尺规作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在的边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图（2）， 分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，． 连接． 结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，即． 由作图痕迹可知， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形．（依据） 善思小组的作法：如图（3）， 连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． 作直线，分别交，，于点，，． 连接，． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明： 由作图痕迹可知直线垂直平分， ∴， 任务一： （1）勤学小组证明过程中的依据是________． 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图（4）中用不同于上述材料中的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 21. 综合与探究 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图，已知矩形，点为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接． （1）【问题发现】若矩形是正方形，请直接写出线段与之间的数量关系：________； （2）【类比探究】如图，在矩形中，，．请判断线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2026—2027学年第一学期第一次质量监测（卷） 九年级 数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一．单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为，常数项为． 2. 如图，直线l1l2l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．已知AB＝4，BC＝6，DE＝2，则EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】解：， ， ， ， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD=AB D. ∠BAD＝∠ADC 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据矩形的判定进行解答. 【详解】根据题意，四边形ABCD是平行四边形， A. 有一个是直角的平行四边形是矩形，不符合题意，该选项错误； B. 对角线相等的平行四边是矩形，不符合题意，该选项错误； C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意，该选项正确； D. 平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90，是矩形，不符合题意，该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形判定的简单应用，解题的关键是掌握矩形的判定定理，明确矩形和平行四边形、菱形、正方形之间区别. 4. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程． 设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 5. 若，且，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比． 【详解】解：，，的周长为， 的周长 ：的周长=， 的周长为， 故选：D． 6. 如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正八边形的性质可得，再根据邻补角的定义、等腰三角形的内角和可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：如图，重叠部分是正八边形， ，， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正八边形的性质、等腰三角形的内角和问题等知识点，熟练掌握正八边形的性质是解题关键． 7. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用蜡烛焰AB是像A′B′的一半，得出AB距离O与A′B′到O的距离比值为1：2，进而求出答案． 【详解】解：设带“小孔”的纸板距离光屏x， 根据题意可得：， 解得：x=， 则带“小孔”的纸板距离光屏， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键． 8. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率）可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据第三季度生产零件196万个可得出方程． 【详解】解：由八、九月份平均每月的增长率为可得八、九月份的产量为、， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 9. 顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．四边形的边的中点分别为点，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的性质可得，则，由此即可得． 【详解】解：如图，四边形的边的中点分别为点， 由三角形的中位线定理得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是对角线互相垂直的四边形， 故选：A． 10. 如图，边长分别为，，的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两组角分别相等的两个三角形相似，三角形相似，对应边成比例． 【详解】解：给图中顶点标字母，如下图所示， 四边形、、是正方形， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ， 所以，图中阴影部分的面积为：． 二．填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等式的基本性质对已知等式变形，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴ 等式两边同时除以，可得， 约分化简后得． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 则的长为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=_____． 【答案】4.5 【解析】 【详解】解：已知A（1，0），D（3，0），可得OA=1，OD=3， 又△ABC与△DEF位似，AB=1.5， ， DE=4.5. 14. 如图，在中，，，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定证得即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴． 15. 若关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是和，则这个方程就是“倍根方程”；方程的两个根分别是和，则这个方程就是“倍根方程”．若关于的方程是“倍根方程”，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“三倍根方程”的定义得到两根的关系，结合根与系数的关系求出两根，进而计算得到的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和， ∵方程是“三倍根方程”， ∴一个根是另一个根的三倍，不妨设， 由根与系数的关系可得，，， 将代入得： ，解得， ∴， ∴． 16. 如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 由翻折得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为． 三．解答题（本题共5小题，共52分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 【小问3详解】 解：， ， ， 或， ，． 【小问4详解】 解：， ， 或， ，． 18. 如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，且． （1）若，求线段的长： （2）若的面积为，直接写出四边形的面积是________． 【答案】（1）2 （2）12 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，因此与相似，这是解题的突破口． （1）因为相似三角形对应边成比例，所以结合与的长度，即可求出的长． （2）因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以先求出的面积，再减去和的面积，就能得到平行四边形的面积，其中与的相似比可由线段比例关系推导得出． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 ∵和的相似比为， ∴面积比为​． ∵， ∴． 又∵平行四边形对边平行，， ∴： ∵​， ∴​， 即与的相似比为， ∴面积比为， ∴． ∴． 19. 佛小伴是山西大同的文创，设计灵感来自云冈石窟第六窟“七步生莲”石雕壁画，寓意长久相伴．云冈石窟景区文创店平均每天售出个佛小伴，每个盈利元．经市场调查发现，如果每个佛小伴降价元，那么日均销售量就增加个． （1）设每个佛小伴降价元，则每个佛小伴盈利________元，每天可销售________个；（用含的代数式表示） （2）该文创店计划每天赢利元，且规定每个佛小伴单件降价幅度不超过元，那么每个佛小伴应降价多少元？ 【答案】（1） ； （2）元 【解析】 【分析】（1）因为单个原本盈利25元，降价x元后单个盈利为原价减去降价额，所以用25减x即可得到单个盈利的代数式；因为每降价1元销量增加20个，降价x元则销量增加个，所以用原有销量200加上增加的销量得到总销量的代数式． （2）如果总盈利等于单个盈利乘以总销售量，那么可根据总盈利为6000元列一元二次方程．求解所列的一元二次方程，再结合降价幅度不超过8元的限制条件，筛选出符合要求的解． 【小问1详解】 解：原本每个佛小伴盈利25元，现在降价元，因此单个盈利为原盈利减去降的价格，即元； 原本日均销量是200个，每降价1元日均多售20个，降价元时销量增加个，因此日均总销量为个． ，． 【小问2详解】 ， 整理得， 解得，． ∵单件降价幅度不超过元， ． 答：每个佛小伴应降价元． 20. 阅读与思考 利用尺规在平行四边形内作菱形 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题：如图（1），已知四边形是平行四边形，，请利用尺规作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在的边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图（2）， 分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，． 连接． 结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，即． 由作图痕迹可知， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形．（依据） 善思小组的作法：如图（3）， 连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． 作直线，分别交，，于点，，． 连接，． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明： 由作图痕迹可知直线垂直平分， ∴， 任务一： （1）勤学小组证明过程中的依据是________． 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图（4）中用不同于上述材料中的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）证明：由作图痕迹可知直线垂直平分， ∴， ∴． ∵于点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据勤学小组证明过程可知证明依据为有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）根据四条边都相等的四边形是菱形证明即可． （3）如图，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于两点，分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧交于一点，连接点与该交点并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，四边形是菱形． 【小问1详解】 解：根据题意可知，勤学小组证明过程中的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：根据作图流程可知，平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 21. 综合与探究 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图，已知矩形，点为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接． （1）【问题发现】若矩形是正方形，请直接写出线段与之间的数量关系：________； （2）【类比探究】如图，在矩形中，，．请判断线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）．理由如下： ∵四边形是矩形，， ，． ， ． ， ． ． ． 于， ． ． ． ． ． ． ． （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的对应边相等可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可解答； （3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质，结合相似三角形的判定与性质可求出的长． 【小问1详解】 解：． 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况： 当四边形关于直线对称时，如图，设与的交点为H， 则垂直平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 当四边形是矩形时，四边形为轴对称图形，如图， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得，则， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $