山西省太原市杏花岭区山西省实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

山西省实验中学2025－2026学年第一学期第四次质量监测（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（ ）的影子最长． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴上，连接，交x轴于点D，若，，则点C的坐标为________． 12. 黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为______． 13. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 14. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找出一点，使点是的一个三等分点； （2）如图2，在上找出一点，使点是的中点． 18. 在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． （1）若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值． （2）若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 20. 项目学习 【问题背景】近几年，越来越多的演唱会落地，让有2500多年建城史的太原多了一个新标签——歌迷之城．数学小组因条件有限仅针对这次演唱会的内场，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：演唱会内场与看台的安检通道分别设置、互不影响，以下数据均为内场数据； 条件2：观众进场需排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件3：体育场可为内场开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检10人． 【模型构建】本次演唱会提前40分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足函数关系式：． 【模型应用】 （1）当开放4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为______人，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． （2）在（1）的条件下，排队人数w在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 放缩尺 工具简介：如图，这是工人师傅使用的一种放缩尺，其工作原理为数学中的相似三角形．已知四边形为平行四边形，，以点为轴心，在点处和点处安装制图笔，便可将点处的图形在点处放大． 数学原理：小组成员利用数学中平行四边形和相似的知识，求的比值过程如下． 如图，连接，由题知点在上． 四边形为平行四边形，．．．．．． （依据：___________）． 任务： （1）直接写出研究报告中，“___________”处空缺的内容：___________ （2）将“……”处的证明过程补充完整． （3）当点处制图笔所画图形的面积为4时，则点处制图笔所画图形的面积是___________． 22. 综合与实践 山西省实验中学为贯彻勇于探索的创新精神和善于解决问题能力的主题，在科技节中举行“星际战车”投石车竞技赛，设计制作一辆有轮子的投石车，并用沙包完成目标城池打击，比赛场地如图1所示，城池尺寸：底面，样式如图． 沙包在最大档位和最小档位的力度发射出去，从投石线处开始的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，如图，抛物线方向始终与水平方向保持一致，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最小档位可以精准命中目标城池中心处，最大档位抛物线最高点离投石线的水平距离为米，最高高度为米，恰好命中目标城池，达到最大射程米． （1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是多少？ （2）目标城池中心与投石线间的距离是多少？ （3）目标城池放置在距投石线，离地约的高处，且城池边缘高度为，投石车后撤米可保证命中目标城池内部，请直接写出的取值范围． 23. 综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕；P为边上的一个动点，将沿折叠后得到，使点A的对应点落在上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段中点处时，将沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交于点E．如图2，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将沿折叠后得到，延长交于点F，则此时的值为________． 山西省实验中学2025－2026学年第一学期第四次质量监测（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】12 【15题答案】 【答案】 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 如图，连接交于点，点就是所求作的点； （2） 画图如下：则点就是所求作的点． 【18题答案】 【答案】（1）5 （2），过程如下： 列表如下∶ 红 白 黑 红 白 白 共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种， ∴摸出的都是白色小球的概率为． 【19题答案】 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为； （2）8； （3）或 【20题答案】 【答案】（1）40x； （2）排队人数在第20分钟达到最大值，最大人数为400人 【21题答案】 【答案】（1）相似三角形的性质 （2）解：如图，连接，由题知点在上． 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； （3） 【22题答案】 【答案】（1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是米； （2）目标城池中心与投石线间的距离是米； （3）． 【23题答案】 【答案】动手操作：； 思考探究：，证明如下： 由题得：，，，， ∵点P为的中点， ∴， 由折叠可知：，，， ∴，， ∴， ， 设 ， ， ∵， 解得： ， 即； 拓展延伸：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $