山西省太原市第三十七中学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

太原37中2026一2027学年九年级10月质量检浏 数学 说明：时间90分钟，满分100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1.将一元二次方程3x2=5x-1化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，若a=3,则b, c的值分别为(). A.5,1 B.-5,-1 C.5,-1 D.-5,1 2.一元二次方程x2-2x-4=0的根的情况是（). A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.在学习了“用频率估计概率”这一节课后，某课外兴趣小组的同学利用计算 器进行模拟试验来探究“6人中有2人同月过生日的概率”，他们将试验中获得 数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2人同月过生日的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6人中有2人同月过生日”的概率是（).（精确到 0.01) A.0.82 B.0.78 C.0.77 D.0.76 4.用配方法解一元二次方程x2-8x-9=0时，配方正确的是（ A.（x-4)2=7 B.(x+4)2=-7 C.(x-4)2=25 D.(x+4)2=25 5.如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8 米，如果梯子的顶端下滑1米，底端水平滑动x米，则x满 足方程(x+6)2+7子=102.在估算一元二次方程 (x+6)2+7=102的根时，小欣列表如下： 数学试题 第1页，共6页 x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 (x+6)}+72 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程(x+6)2+72=10的一个根x的范围是(). A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 6.下列命题是真命题的是(). A矩形的对角线互相垂直且平分 B.矩形的邻边一定相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 7.已知一元二次方程5x2+-6=0的一个根是2，则它的另一个根及k的值分 别为(). 3 ,k三-7B.x=-k=-7C,x=-3k=1D 16 ,k=32 5 5 8.某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作.今年3 月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行 器这两个月产量的月平均增长率为x,则下列方程正确的是()· A.1200(1+x)=1600 B.1200(1+2x)=1600 C.1200(1+x)2=1600 D.1600(1-x)2=1200 9.如图，在四边形ABCD中，点EF,G,H分别是边AB,BC,CD, DA的中点，当对角线AC与BD的长度相等时，四边形EFGH的 形状是(). A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 10.如图，点E是正方形ABCD内部的一点，△CDE为等边三角形， 连接AE并延长交BD于点F,∠AFD的度数为（). A.55° B.60° C.65 D.70° 二、填空题（每题3分，共15分） 11.一元二次方程xx-2)=0的解是 数学试题 第2页，共6页 12.如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次 按钮，“©”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“©”位 于格子A时，小明连续点击两次按钮，“⑨”回到格子A的概率是 D 13.如图，在一块长30m、宽20m的矩形田地上，修建同样宽 的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的 面积468m2.设道路宽为xm,则根据题意可列出的方程 为 14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是 CD的中点，若OE=3,则菱形ABCD的周长为 15.已知，如图，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，AB=4,点 P是AC上一点且AP-1.将BP绕点B顺时针旋转60°得到 BP',连接BD交AC于点O,连接OP',则OP的长为 三、解答题（本题共7道小题，共55分) 16.(8分)解下列一元二次方程 (1)x2+4x=10 (2)2x2-2x-3=0 17.（7分)下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：5x+1)2=x+1. 解：两边都除以x+1),得5(x+1)=1.… …第一步 整理，得5x-4. 第二步 所以x-4 第三步 任务：（1)小明从第 步开始出现错误，产生错误的原因是 (2)原方程正确的解为 数学试题 第3页，共6页 (3)解方程：(3x-1)2=4(3x-1). 18.(6分)如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作 AC和AB的平行线，交AB于点E,交AC于点F 求证：四边形AEDF是菱形 B 19.(7分)2026爱知名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获169金89 银83铜，总计341枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻 健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷.九年级开展“亚运逐梦，青 春自强”主题班会.老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分 别记为A,B,C,D A.团体项目：女子乒乓球团体 B.团体项目：男子4×200米自由泳接力 (孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵) (徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕) CAE C.个人项目：女子10米跳台（陈芋汐) D.个人项目：男子110米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小 刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛 项目.用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率 20.（6分)太原的名优特产老陈醋醋香四溢，深受人们的喜爱.一位经销商在 直播平台销售某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元销售，平均每天可 售出100盒.后来经过市场调查发现，售价每降低2元，平均每天的销售量可增 加20盒，若该经销商想要平均每天获利2240元，且为了提高直播的销售量，每 盒老陈醋礼盒应降价多少元？ 数学试题 第4页，共6页 21.(10分)阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅、五种基本尺规作图，是构建万千图 形的“钥匙”.尺规作图不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的 几何图案.中国古代建筑藻井图案就是极具代表性的经典图案，它是一个正方形里面嵌套 了多个正八边形.如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点 分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形，你能用尺规作出 正方形的内嵌正八边形吗？ 课堂上同学们经过讨论，画出了下面的两个内嵌于正方形内的正八边形的草图. 图1 图2 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质. （1)整体特征：具有轴对称性和中心对称性. (2)元素特征：各边相等，各角相等且都等于135° 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例分析，如图3，连接AC,EG，EF,FG, 发现的结论如下： (1)点E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点； (2)△1EF是顶角为135°，底角为22.5°的等腰三角形； (3)△0EI中，OE=OI； 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图. 图3 （1)如图4，作边AD,DC的垂直平分线，分别交AD,BC,AB, CD于点E,G,F,H; （2)分别作∠AFE和∠AEF的角平分线，交于点I;利用对称性 作出点J,K,L: (3)顺次连接这八个点. 图4 ∴.八边形EFGH亚KL为正方形ABCD的内嵌正八边形 数学试题 第5页，共6页 类比阅读材料中对图2的研究过程，分析图5中图形的整体特征和元素特征，完 成下列问题： (1)从角的角度观察图5，连接OL、OK,则∠AOL=°，∠LOK= (2)请你从边的角度观察，AK与AO有怎样的数量关系，并说明理由， 图5 (3)请根据你发现的几何结论，利用尺规作图，在图6的正方形ABCD中作出 图1中的内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）. 图6 22.(11分)如图，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点，M、 N、E分别是PD、PC、CD的中点. (1)求证：四边形PMEN是平行四边形； (2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； (3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请 A B 说明理由. M 数学试题 第6页，共6页