2026—2027学年苏科版九年级上册数学期中复习过关第一章综合测评卷

2026—2027学年苏科版九上数学期中复习过关第一章综合测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第1章一元二次方程 考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（     ） A． B．1 C． D．4 3．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（    ） A．4 B．1 C．0 D． 4．随着农业科技的发展，某果园逐步采用高科技技术辅助手段和标准化管理体系进行水果种植．某果农种植白梨，两年前每亩产量为2吨，采用新技术后，现在每亩产量比两年前多0.5吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 6．若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（    ） A．9或12 B．9 C．5或2 D．12 7．已知关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（         ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则. ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根. ③若是方程的一个根，则一定有成立. ④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．关于x的方程的一个根为，则的值为_________． 10．将一元二次方程化成一般形式，可得______． 11．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 12．2026苏超足球联赛正火热进行中，在常规赛中，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排x支队伍参赛，共比赛78场，则可列方程为______． 13．已知a，b是方程的两个实数根（），则的值是______． 14．已知是方程的两根，则代数式的值为________． 15．在实数范围内定义一种运算“@”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的根为________． 16．若、是方程的两个实数根，则的值为_____． 17．已知方程的两个根为，，则___________． 18．已知，满足，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共计66分，其中19、20、21、每题8分，22、23、24、每题10分，25每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1) (2) 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，是方程的两根，且满足，试求k的值． 21．某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 22．如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵的三条等宽小路．若要使种植面积为，求小路的宽． 23．若，是方程的两个根． (1)求和的值． (2)求的值． (3)求的值． 24．阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． (1)用配方法将因式分解； (2)用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 25．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，直接写出，满足的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年苏科版九上数学期中复习过关第一章综合测评卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A C D D A 1．C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B选项，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C选项，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，是一元二次方程，符合题意； D选项，，所以可转化为，不是一元二次方程，不符合题意． 2．A 【分析】利用根与系数的关系直接计算两根之积. 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根分别为，， ∴ . 3．C 【分析】观察到所求代数式与方程左边的形式一致，利用方程的根的定义代入即可直接求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得． 4．A 【分析】明确增长次数为2，结合年平均增长率的计算方式列方程． 【详解】解：∵两年前每亩产量为2吨，年平均增长率为. ∴一年后每亩产量为吨， ∴现在每亩产量为吨， ∵现在每亩产量比两年前多吨，即为吨， ∴可列方程． 5．C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 6．D 【分析】需分腰长的两种情况讨论，验证能否构成三角形后再计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， ∴或， ∴，． 当腰长为2时，三边长为2，2，5， ∵， ∴不能构成三角形，舍去． 当腰长为5时，三边长为5，5，2， ∵， ∴周长为． 7．D 【分析】根据根的判别式确定m的范围，再利用一次函数图象的分布规律解答即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得， ∵ 一次函数的一次项系数，常数项， ∴ 其图象经过第一、二、三象限， 故不经过第四象限． 8．A 【分析】时，，故方程有实数根，即可得，进而可判定①正确，根据一元二次方程根的判别式得，再根据，进而得，即可得方程必有两个不相等的实数根，可判定②正确，把代入方程，得，当时，成立，但不一定为0，可判定③错误，根据方程有两个不相等的实数根，得，当时，方程是一元一次方程，只有1个实数根，可判定④错误，即可得答案. 【详解】解：①若时，方程有实数根， ，故①正确. ②∵方程有两个不相等的实数根， ， ∵方程的判别式，且， ， ∴方程必有两个不相等的实数根，故②正确. ③将代入方程，得，整理得，当时，成立，但不一定为0，故③错误. ④方程有两个不相等的实数根，则，当时，方程变为，是一元一次方程，只有1个实数根，故④错误. 综上所述，正确的说法共2个. 9． 【分析】已知一元二次方程的一个根，将根代入原方程即可求解参数的值． 【详解】解：把代入方程，得 整理得 解得 10． 【分析】先展开原方程的乘积项，再移项合并同类项，即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：∵原方程为 展开左侧乘积项，得 将右侧常数项移到左侧，得 合并同类项，得 11． 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，这里 ，，． ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式 ，代入系数得 ， 整理得 ， 解得 ． 12． 【分析】赛制为单循环，每两队之间只赛一场，总场次为78场，计算总场次时需要去掉重复计算的部分，再根据总场次列方程． 【详解】解：∵共有队参赛，每两队之间赛一场， ∴每个队需要与其余个队各比赛一场，所有队累计比赛场次为， ∵每场比赛由两个队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场次为， ∵实际总比赛场次为78场， ∴可列方程： 13． 【分析】利用方程根的定义得到的值，再结合根与系数的关系得到的值，对所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， ∵是方程的两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， ∴． 14． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出和的值，代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴． 15． 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解后即可求解． 【详解】解：根据运算规则，原方程可化为， 利用平方差公式因式分解得， 整理得， 或， 解得． 16． 【分析】先根据根与系数的关系求出和的值，再将所求代数式变形为，代入计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得：，， ． 17． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴，， ∴． 18． 【分析】将原方程整理得出，然后代入代数式利用配方法求解即可． 【详解】解： 整理得：，即， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 19．(1) ， (2) ， 【分析】（1）用直接开平方法求解． （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解：，开平方得， 当时，， 当时，， 即，． （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，结合根的判别式列不等式求解k的取值范围； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解k，结合（1）的取值范围验证结果． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 其中，，， 代入得， 解得； （2）解：∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， 解得， ∵，符合k的取值范围， ∴k的值为． 21．(1) (2)1728元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 22． 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是找到等量关系列方程；由种植面积列方程求解． 【详解】解：设小路的宽为， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：小路的宽为． 23．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． （2）先将通分，再根据第一问得到的答案代入即可． （3）将展开，化为含有和的式子，再将第一问所得答案代入即可． 【详解】（1）解：原方程为， 则，，， ，是方程的两个根 由一元二次方程根与系数关系可得： ， ． （2）解：， 且，， ， 的值为． （3）解：将展开，得， 变形，得， ，， ， 的值为． 24．(1) (2)当时，代数式的最小值为． 【分析】（1）根据配方法，把二次三项式配成完全平方式与常数的差，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取二次项系数，对含的部分配方，利用平方的非负性求出代数式的最小值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ， ， ． 25．(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】（1）解每个方程求出两根，计算两根之差，判断是否相差； （2）先写出方程两个根，根据两根差为，分两种情况列方程求； （3）利用韦达定理，结合变形，推出，满足的数量关系． 【详解】（1）解：， 则， 则或， 解得，， ， ①是“邻根方程”； ， 则， 则， 解得，两根相等， ②不是“邻根方程”； ， 则， 则或， 解得，， ， ③是“邻根方程”， 综上，①③是“邻根方程”． （2）解：，且是“邻根方程”， 则或， 解得，， 当时：，解得， 当时：，解得， 故的值为或． （3）解：已知一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为，， 可得，，， 则， 则， 可得． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $