3.2.2 奇偶性讲义（知识点+8题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 知识要点梳理 知识点1 函数奇偶性 1.奇偶性的判断 - 偶函数 奇函数 前提 函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，都有-x∈D 条件 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 定义域特征 关于原点对称 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)若∃x0∈D，f≠f且f≠-f(x0)，则函数f(x)为非奇非偶函数. 若对∀x∈D，f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 2.判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 3.奇、偶函数的图象及应用 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 4.利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 知识点2 函数图象的对称性 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a，0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c (1)若函数f(x+a)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数f(x+a)是奇函数，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称. 考点题型突破 一、题型一 奇偶性的判断 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南曲靖·期中）以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 二、题型二 已知奇偶性求参数 6．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 7．（2026·湖南湘潭·三模）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 9．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）若函数是上的偶函数，则的值为______． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）设 是定义在上的奇函数，则______ 三、题型三求解析式 11．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·湖南·阶段检测）若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 13．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 14．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 15．（26-27高二·全国·学业考试复习）已知是上的奇函数，且当时，，求： (1)； (2)时的表达式； (3)的表达式. 四、题型四比较大小 16．（26-27高一上·湖南·期中）设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 18．（21-22高一下·山西吕梁·阶段检测）定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 20．（3.2.1 单调性与最大（小）值（第三课时）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册限时作业）设是定义在上的函数，满足，且在上是增函数，已知且，那么一定有（    ） A． B． C． D． 五、题型五解不等式 21．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 22．（26-27高三上·天津河西·开学考试）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·河南·阶段检测）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 25．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2027高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 27．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 28．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 29．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 30．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 六、题型六 奇函数 常数模型 31．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 32．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 33．（17-18高一上·江苏扬州·阶段检测）已知函数f（x）=x5+ax3+bx-6，且f（-2）=10，则f（2）= ______ ． 34．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数且，则的值为________. 35．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 七、题型七 对称性与周期性 36．（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（   ） A． B． C． D． 37．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数的定义域为，且，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 38．（2026高一上·全国·专题练习）若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 39．（2026高一上·全国·专题练习）若为偶函数，则关于________对称，则关于________对称； 八、题型八 综合运用 40．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 41．（2027高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 42．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 43．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 44．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知函数． (1)当时，判断的奇偶性； (2)当时，解关于的不等式； (3)若时，，求的取值范围． 45．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 46．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 47．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 48．（26-27高一上·湖南·期中）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 知识要点梳理 知识点1 函数奇偶性 1.奇偶性的判断 - 偶函数 奇函数 前提 函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，都有-x∈D 条件 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 定义域特征 关于原点对称 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)若∃x0∈D，f≠f且f≠-f(x0)，则函数f(x)为非奇非偶函数. 若对∀x∈D，f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 2.判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 3.奇、偶函数的图象及应用 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 4.利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 知识点2 函数图象的对称性 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a，0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c (1)若函数f(x+a)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数f(x+a)是奇函数，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称. 考点题型突破 一、题型一 奇偶性的判断 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 3．（25-26高一上·云南曲靖·期中）以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶函数的定义判断各个选项，然后由函数解析式判断在上的单调性，即可得到结论. 【详解】A选项，，函数为奇函数，A不是； B选项，，函数为偶函数，当时，在上单调增，B不是； C选项，，函数为偶函数，函数为开口向下的二次函数， 对称轴为，所以函数在上单调递减，C是； D选项，，函数为奇函数，D不是. 故选：C. 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)既是奇函数又为偶函数 【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 二、题型二 已知奇偶性求参数 6．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 7．（2026·湖南湘潭·三模）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 8．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 9．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 三、题型三求解析式 11．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 12．（26-27高三上·湖南·阶段检测）若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解. 【详解】选项AB，为上的奇函数，则，，，所以，A错；B正确； 选项C，由B，得，又为上的偶函数，则，，所以，，C正确； 选项D，由为上的偶函数，得，所以，D错. 13．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 14．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 15．（26-27高二·全国·学业考试复习）已知是上的奇函数，且当时，，求： (1)； (2)时的表达式； (3)的表达式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据奇函数性质求解即可； （2）根据奇函数的对称性求解即可； （3）结合（1）（2）直接写出解析式即可. 【详解】（1）解：是上的奇函数，，即. （2）解：时，，， 为奇函数，， ，. （3）解：由（1）（2），得的表达式为 四、题型四比较大小 16．（26-27高一上·湖南·期中）设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 17．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较函数值的大小. 【详解】若，由，可知，， 所以函数在单调递减， 所以， 又因为函数为偶函数，所以， 即. 故选：A 18．（21-22高一下·山西吕梁·阶段检测）定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义，将自变量转化到区间上，利用单调性比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以. 故选：A 19．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数在上的单调性，结合函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增， 则函数在上为减函数， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，无法判定其符号，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 20．（3.2.1 单调性与最大（小）值（第三课时）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册限时作业）设是定义在上的函数，满足，且在上是增函数，已知且，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由满足，得到是偶函数，然后将转化为，利用在上是增函数求解. 【详解】因为是定义在上的函数，满足， 所以是定义在上的偶函数， 又在上是增函数， 所以在上是减函数， 因为， 所以， 所以， 又， 所以，即， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 五、题型五解不等式 21．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递减， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递减， ，移项解得，即不等式解集为 22．（26-27高三上·天津河西·开学考试）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用奇偶性把不等式化为，再由单调性脱去函数符号转化为二次不等式，最后与定义域限定的区间取交集. 【详解】由为奇函数且在上单调递减知在上单调递减， 则化为， 由单调性得，即，解得或； 由定义域得且， 即且，故； 两式取交集得或. 23．（25-26高一上·河南·阶段检测）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义得到 是偶函数.求出当时和的单调性，从而得到当时的单调性，利用 是偶函数将转化为，利用当时的单调性，解出不等式，即可得解. 【详解】的定义域为， 所以是偶函数.当时，单调递减，单调递增， 所以单调递减，则等价于， 所以，，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：B. 24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和是定义在上的奇函数，得到，且，由在上单调递减得到在上单调递减，由得到或，分别按照这两种情况结合单调性和奇函数讨论求解. 【详解】因为，是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为， 所以或， 当时， 因为，， 所以， 因为，且在单调递减， 所以，即， 又，则. 当时， 因为，所以两部分讨论： 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即， 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即，与矛盾，舍去， 当时，即当时， ，不满足，所以. 综上，解集为. 25．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出函数为上的偶函数，且在上为增函数，利用偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 故函数为定义域上的偶函数． 由得， 又当时，在上单调递增，所以，即,即，解得. 26．（2027高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由以及函数奇偶性判断出函数在定义域上的单调性，再将不等式转化为或，结合即可求解． 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 因为对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，所以． 而等价为或， 根据函数的单调性，可知或， 解得或，即不等式的解集为． 27．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性的定义与奇偶性分析得的性质，从而得到的正负情况，再将题设不等式转化为 ，进而得到相关不等式，解之即可得解. 【详解】对任意的，都有， 不妨设，则 ，则， 所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，则该函数在上单调递减， 又，则 ， 所以当时，，当或时，， 由 ，得 ， 所以 或 ，解得或， 则不等式 的解集为. 28．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 【答案】 【详解】奇函数是定义在上的严格减函数， ，即， ，解得． 29．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质得到在上的单调性和，再将乘积大于0的不等式转化为两个同号不等式组，结合的正负区间求解解集. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，且，先分析的正负分布： 当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式等价于以下两个不等式组： ，即，解得； ，即，解得. 综上，原不等式的解集为. 30．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 六、题型六 奇函数 常数模型 31．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据的值，即可求解. 【详解】，， 所以，则. 32．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ， ， 解得． 33．（17-18高一上·江苏扬州·阶段检测）已知函数f（x）=x5+ax3+bx-6，且f（-2）=10，则f（2）= ______ ． 【答案】 【详解】，且，即，整理得，，∴，故答案为. 34．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数且，则的值为________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 . 35．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【答案】2026 【详解】设，则， 所以， 所以. 七、题型七 对称性与周期性 36．（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性和对称性可得函数周期为，同时可求得，结合周期性即可求解. 【详解】因为，所以，且的图象关于对称， 又是定义域为的奇函数，所以的图象关于对称，且，所以， 所以，故的一个周期为， 又，所以， 所以，故D正确． 37．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数的定义域为，且，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出函数为偶函数，再判断出函数的周期为，由此代入解析式求解即可. 【详解】因为，定义域为，所以函数为偶函数， 又因为，所以. 所以是以4为周期的周期函数. 又时，， 所以 . 38．（2026高一上·全国·专题练习）若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 【答案】 【分析】根据奇函数的对称性通过图象变换得到①和②即可. 【详解】因为为奇函数，关于对称， 将向左平移个单位得到，则关于对称； 将图象的横坐标扩大为原来的倍得到，则关于对称. 因为，所以关于对称. 39．（2026高一上·全国·专题练习）若为偶函数，则关于________对称，则关于________对称； 【答案】 【分析】由为偶函数，推得，即可得的对称轴； 利用图象平移，将向右平移个单位即可得到的图象，从而得到的对称轴. 【详解】因为为偶函数，所以，所以的图象关于对称； 对于：因为，则， 所以只要将的图象向右平移个单位即可得到的图象， 因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以的对称轴为. 八、题型八 综合运用 40．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 41．（2027高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题意知函数在上单调递增，进而得在恒成立，再求解参数范围即可. 【详解】因为时，，所以在为单调递增函数， 因为是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，即在恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是． 42．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】构建函数，易得函数为奇函数，分析的单调性，由此可解不等式. 【详解】因为对，，且，都有，即， 即. 令， 所以对，，且， 所以，所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以对，， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. 所以函数在上单调递增. 又，所以，所以. 所以当时，； 当时，. 因此不等式的解集为. 43．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 44．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知函数． (1)当时，判断的奇偶性； (2)当时，解关于的不等式； (3)若时，，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2) 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． (3) 【分析】（1）由，直接利用奇偶性的定义判断即可求解； （2）当时，等价于，分和以及三种情况讨论即可求解； （3）由题．验证当时，不合题意．故只需讨论时，分或两种情况满足即可求解. 【详解】（1）（1）当时，，且定义域为． 则，所以为奇函数． （2）当时，等价于，即． 当时，不等式的解为． 当时，不等式无解． 当时，不等式的解为． 综上所述，当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． （3）因为． 则． 当时，不合题意． 故只需讨论 或，解得或． 综上所述，的取值范围为． 45．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 46．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 47．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 48．（26-27高一上·湖南·期中）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)任取且， 则 ， 由，得，且，， 则 ，因此，即，所以在上为增函数. (3) 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求证， （3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可列不等式求解. 【详解】（1）由且，得， 解得， 所以的解析式为. （2）略 （3）因为，， 故函数是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 不等式， 因此 ，解得， 所以原不等式的解集为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $