四川省字节精准教育联盟2027届高三上学期第一次质量检测 (SC1)数学试题

按秘密文件予以保存·使用前【建议使用时间：2026年10月15日14:00~16:00】 2026年秋季学期高三第一次质量检测（SC1） 数 学 ZJ-1203256895155-GZ3-26Q-ZHIJIAN1 AI质检 考生注意 1. 练习分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共6面，满分150分，测试时间120分钟。 3. 练习前，同学们务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 同学们作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◆ 预祝你们考试成功 ◆ 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。从题后所给的四个选项中，只有一项符合题意。 1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 3．下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 6．随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的（    ） A．100倍 B．50倍 C．10倍 D．5倍 7．在中，若，，，则等于（） A． B．7 C．4 D．8 8．已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。从题后所给的四个选项中，有多项符合题意，选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知二项展开式，则（     ） A． B． C． D． 10．已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（    ） A． B．当时，与的大小关系不确定 C．当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D．记，当时，若为的极小值点，则 11．把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 13．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 14．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为_______． 四、解答题：共5小题，满分77分。做题时要写出所需的公式定理和必要的文字说明。 15．（满分13分） 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 16．（满分15分） 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 17．（满分15分） 已知数列的前项的和为． (1)求出数列的通项公式； (2)数列的通项公式为，求出数列的前项和． 18．（满分17分） 已知椭圆：，离心率为，圆：． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 19．（满分17分） 已知函数，，． (1)若，求在处的切线方程； (2)证明：仅有一个极值点； (3)记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． SC1数学试题 第4页（共4页） SC1数学试题 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $字节教育2026年秋季学期高三第一次质量检测 数学(SC1)答题卡 班级 姓名 考场号 贴条码区域 座位号 注意事项 准考证号 1.答题前请将姓名、班级、考场、座号和准 考证号填写清楚。 [0 01「07 [0] [0] [0] [0] [0] [0][0] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改 [1 [1] 1] [17 [1] [2] 2 2] [2] 「21 [2] 2] [2 [2] 时用橡皮察干净。 [3 [3 3 3] [3] [3] [3 3 3 31 3.主观题必须使用黑色签字笔书写。 [4 4 [4] [4] 「4 [4] 4 4 4] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [5] 5 [5] [5] [5] [5] [5] [5 L5] 答题区域书写无效。 [6 6 [6] [67 [6] 6] [6] 6 6 I6] 5.保持答卷清洁完整。 7 7 7 7 [7 试卷编号： [8 8 8 8 8] [8 ZL-1203256895155-GZB-26Q-ZH1AN [9] [9] [9] [9] [9] [9] 正确填涂☐ 错误填涂 考生禁填 缺考☐ 违规☐ (由随考老师填涂 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1 [A][BI ICI ID] 5 [AI [BI[C]ID] 2【A]IBIICIID] 6 [A][B][C][D] 3 [A]IB]ICI ID] 7 IA]IB]ICIIDI 4[A1IB1【CI[DI 8 [A][B]ICIID] 二、选择题：共3小题，每小题6汾，满分18分。 9 IA]IBI ICIIDI 10 IA]IBI ICI IDI 11IA1「B1IC1IDI 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12. 13. 14. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：共5小题，满分77分。 15.(13分) D.4 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) y E O 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页 数学(SC1)参考答案、解析与评分标准 ZJ-1203256895155-GZ3-26Q-ZHIJIAN1 AI质检 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A D B D C B B ACD ACD BC 1．D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】根据题意,即,则复数在复平面内对应的点为位于第四象限， 故选：D 2．A 【知识点】分式不等式 【详解】由化简得，即，解得， 所以不等式的解集是. 3．D 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对选项逐一分析函数的单调性，由此选出正确选项. 【详解】对于A： ，由一次函数性质,为减函数，不满足题意，故A错误； 对于B：，由指数函数的性质可知为减函数，不满足题意，故B错误； 对于C：，由幂函数的性质可知在上为减函数，不满足题意，故C错误； 对于D： ，由幂函数的性质可知，为增函数，满足题意，故D正确. 故选：D. 4．B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先求渐近线的斜率，再代入两直线的夹角公式，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以两条渐近线的斜率， 记所求角为，则. 故选：B 5．D 【知识点】比较零点的大小关系、对数函数图象的应用、指数函数图像应用、正弦函数图象的应用 【分析】将问题转化为、、与的交点，数形结合即可判断. 【详解】函数，，的零点， 转化为，，与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为， 在坐标系中画出，，与的图象如图： 可知，，，则． 6．C 【知识点】对数的运算 【分析】由题可知，前后两传输公式作差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果. 【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离， 则，， ，则，即， 从而，故传输距离变为原来的10倍. 故选：C 7．B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】用余弦定理计算即可得出结果. 【详解】因为，，，且， 所以， 因为，所以. 8．B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当时，，可以看作函数向上平移个单位， 当时，，则， 因为当，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 作出函数图象如下图， 令，则过定点， 当过原点时，即时，图象与图象有4个交点， 时，，当图象与图象相切时，设切点为， 此时， 将代入得， 整理得，因为在上单调递增， 又，所以， 当时，，图象与图象相切，有两个交点. 所以方程有三个根，的取值范围为． 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9．ACD 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【详解】对于， 令，可得，故A正确； 令，可得①，则，故B错误； 令，可得②， 由①+②，得，即，故D正确； 因的第2项为，即， 第9项为，即，所以，故C正确. 10．ACD 【知识点】由对称性求函数的解析式、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据对称性，将中替换为即可得到，进而判断选项A； 构造函数，通过导数判断函数单调性求得即可判断选项B； 将不等式变形，通过单调性将不等式转化为，参变分离后转化为最值问题， 构造函数后通过导数判断函数单调性求得最值即可判断选项C； 通过导数将表示为关于的函数，再通过导数判断函数单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，由函数与的图像关于轴对称，将中替换为， 得，所以选项A正确; 选项B，设，则，当且仅当即时取等, 所以当时，单调递增，，即 所以选项B错误; 选项C，整理不等式得，即， 由在单调递增，得，即对恒成立; 令，当时，，所以在单调递增， ，故，解得，即的最大值为，所以选项C正确; 选项D，，， 当时，令，解得或且, 所以当时，;当时，. 所以的极小值点,代入得， 令，， 设，则，所以在单调递减， ，因此，所以在单调递增， 故，即. 11．BC 【知识点】坐标计算向量的模、利用数量积求参数、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【详解】先由点，，得， 由，得，解得. 又由，得，则， 因此，点，故A错误，B正确. 将绕点逆时针旋转，， 得：， 因此点的坐标为，故C正确. ，故D错误. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12． 【知识点】已知模求数量积、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【详解】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 13． 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 14． 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】设出上下底面中心及外接球半径是，根据正棱台及球的性质列出方程组可得球的半径进而即得. 【详解】 设是下底面正方形中心， 是上底面正方形中心， 为棱台的高，外接球球心为， 则， ， ， ，， ，即 ， 设球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为， 外接球半径满足：， 解得， ， 所以正四棱台外接球的表面积是 . 四、解答题：共5小题，满分77分。 15．（满分13分） 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【详解】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以．········（1分） 因为平面，平面， 所以平面．························································（2分） （2）因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直．··································（3分） 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ·····················（5分） 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，．························（7分） 设平面的法向量为， 则令，则，，所以．···（9分） 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为．·······························（11分） （3）由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离．···························（13分） 16．（满分15分） 【知识点】独立性检验解决实际问题、相关系数的意义及辨析、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值、相关系数的计算、卡方的计算 【分析】（1）根据相关系数的公式可求，从而可判断两个变量线性相关； （2）求出，与临界值比较后可得相应判断； （3）根据二项分布先求出的分布列，根据期望公式可求，或者直接根据二项分布的期望公式求得. 【详解】（1）由题知，，，············（1分） ， ，， 则，···············（3分） 故管理时间与土地使用面积线性相关．····································（4分） （2）依题意，完成表格如下：（单位：人）··································（5分） 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关， 计算可得，·················（6分） 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为村民的性别与参与管理的意愿有关．·································（7分） （3）法一：依题意，的可能取值为， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，······（9分） 故， 故的分布列为：······················································（13分） 0 1 2 3 则数学期望．··················（15分） 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民， 取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，·······························（9分） 则，故．····································（15分） 17．（满分15分） 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）利用与的关系结合等比数列的基本量法可得； （2）由错位相减可得. 【详解】（1），① 当时，．·································（2分） 当时，，② ①-②得，··············································（4分） 则，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则， 数列的通项公式为．····························（7分） （2）， 数列的通项公式为．·················（9分） 令， ，····················（12分） 则． 又，······························（14分） ．····························（15分） 18．（满分17分） 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中向量点乘问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由椭圆顶点、离心率条件列式算出，直接写出椭圆标准方程； （2）①设直线，并联立椭圆方程，借助韦达定理，用向量坐标乘积为零证明两直线平行； ②写出直线方程并联立求横坐标，再代入坐标算向量数量积得到定值． 【详解】（1）由题意知，，则，所以， 所以椭圆的方程为．·········································（2分） （2）①直线的斜率不为0，设的方程为，，． 联立，得，························（4分） ，则，，····（5分） 由在椭圆上，在圆上，易知， 则，，·································（7分） 因为，， 所以， 代入韦达定理得，·········（9分） 则，从而．·············································（10分） ②直线的方程为，直线的方程为， 则， 所以···············（12分） 由①中韦达定理可知，代入可得， 即，可解得．··········································（15分） 由题意，可设，则，·····························（16分） 又，从而，所以为定值．················（17分） 19．（满分17分） 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导数， ，求出为，可求切线方程， （2）求 的导数，再讨论，有唯一实根，进而证明有唯一极值点， （3）根据分析法，结合隐零点进行化简得到最终证明结论. 【详解】 （1）当 时，，，， ，所以切线方程为 ，即 .···········（3分） （2）已知 ，其定义域为 ，， 令 ，则 ，所以 在 上单调递减. 利用零点存在定理：则·····················································（5分） ， 所以存在唯一的 ，使得 ，即 . 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. 所以 仅有一个极值点 .·········································（8分） （3）因为，所以对任意恒成立， 即 对任意 恒成立. 令 ，则 ， 对求导：，·····················（10分） 由复合函数单调性知 在 上单调递减， 且当 时， ， 当 时， ， 所以存在唯一的 ，使得 ，··························（12分） 即 ， ，     ① 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. ，······································（13分） 由①： ，代入： ，因此， 要证 ，只需证 ，   ② 由①变形： ， ， 令 ，代入②，只需证明：，，， 记， ， 为研究 的单调性，设 ， 求导：， 当 时， ，故 ， 因此 在 上严格单调递增，即 在 严格单调递增.···（14分） ， 由零点存在定理， ，使得 ， 单调递减， 单调递增， ， 在严格递增，由零点存在定理，存在唯一 ，满足 ， 单调递减，, 单调递增， ，························································（15分） 由 得 ， ，等式两边约去 ，得   ，      ③ 由 变形： ， ， 即 ，······················································（16分） 由 的极值点,满足导数，可得 ， 设 ，求导得 ， 在 严格递减， 方程 的根唯一，故 ， ， 即， 结合 ，得··································（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $