精品解析：四川省内江市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次月考 数学试题

内江一中高2027届高三（上）第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角终边上一点坐标，则（ ） A. B. C. D. 6. 若向量，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 7. 把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 8. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 鼓励大学毕业生自主创业是国家的一项战略决策．为此，某高校针对电气工程及其自动化专业的大四毕业生作了问卷调查，是否有自主创业打算的情况如表： 男生/人 女生/人 有自主创业打算 无自主创业打算 从这些学生中随机抽取一人，下列说法正确的是（ ） A. 抽到的人有自主创业打算的概率为 B. 抽到的人是女生的概率为 C. 若已知抽到的人是女生，则她有自主创业打算的概率为 D. “抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”相互独立 10. 如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为．下列结论正确的是（ ） A. B. 的解析式为． C. 当时，随的增大而减小． D. 当时，，的取值范围为． 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 对任意的，的最大值与最小值之和为 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则__________. 13. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 14. 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 17. 已知， （1）求的值； （2）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，求的周长． 18. 大连麦凯乐商场的某潮玩店推出一款“球鞋盲盒”，店内共有（，）款不同设计的限量版球鞋，每款球鞋恰好有左脚和右脚各1只（全店共双，只鞋）．盲盒包装完全相同，每购买一个盲盒可随机开出1只球鞋．规定：若开出的球鞋中包含同一款的左脚和右脚，则可配对成为“一双”完整的球鞋． （1）若该店共有款不同的球鞋．小明购买了3个盲盒（开出3只鞋），求小明未能配对成功任何一双球鞋的概率； （2）若该店仍有款不同的球鞋．小强购买了4个盲盒（开出4只鞋）．设小强配对成功的球鞋双数为，求随机变量的分布列以及数学期望； （3）随着盲盒爆火，店长扩大了规模，店内现共有款不同的球鞋．超级客户老李一口气购买了个盲盒（且）．设老李配对成功的球鞋双数为，若老李希望自己配对成功的球鞋双数的数学期望不低于双，求他至少要购买多少个盲盒？（已知） 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）当时，证明在上有唯一零点； （3）对，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2027届高三（上）第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 5. 已知角终边上一点坐标，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由角终边上一点坐标为，该点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义，可得： ，. 则 ，  将，，代入上式得：  . 6. 若向量，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查向量的坐标运算． 解答：选项A、． 选项B、 选项C、，正确． 选项D、因为所以两向量不平行． 7. 把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为  种. 故所有分配方案共有种. 8. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，由互不相等的实数满足， 得到，，，，由得到， 由结合得到，解得的范围，求出的范围，从而得到所求. 【详解】我们先分析函数的图像： 不妨设， 因为互不相等的实数满足， 所以，，，， 由，得，即， ， 因为，所以，解得， 则，即， ， 符合选项 D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 鼓励大学毕业生自主创业是国家的一项战略决策．为此，某高校针对电气工程及其自动化专业的大四毕业生作了问卷调查，是否有自主创业打算的情况如表： 男生/人 女生/人 有自主创业打算 无自主创业打算 从这些学生中随机抽取一人，下列说法正确的是（ ） A. 抽到的人有自主创业打算的概率为 B. 抽到的人是女生的概率为 C. 若已知抽到的人是女生，则她有自主创业打算的概率为 D. “抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”相互独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】记事件抽到的人有自主创业打算，事件抽到的人是女生， 总人数：人， 选项A：有自主创业打算的总人数为，故，A正确； 选项B：女生总人数为，故，B正确； 选项C：因为， 该概率为条件概率，C错误； 选项D：事件表示“抽到的人是女生且有自主创业打算”，则， 而， 满足独立事件判定条件，故两事件相互独立，D正确. 10. 如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为．下列结论正确的是（ ） A. B. 的解析式为． C. 当时，随的增大而减小． D. 当时，，的取值范围为． 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据二次函数的顶点坐标即可写出；B选项，根据图象平移规律即可得到；C选项，由图象可知，函数先减后增；D选项，由求出取值，即可得范围. 【详解】根据顶点式写出点的坐标，A正确， 根据抛物线的平移规律得， 即，B正确， 由图可得当或时，随的增大而减小，C错误； 令：，解得：（舍去），.根据函数图象可得：当时，，D错误. 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 对任意的，的最大值与最小值之和为 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；推导出函数的图象关于点对称，结合对称性可判断C选项；分析函数的单调性与对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性解之即可，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为， ， 所以，A错； 对于B选项，对任意的，， 故函数的定义域为， ， 即，故函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，B对； 对于C选项，对任意的， ， 所以函数的图象关于点对称， 故函数图象的最高点和最低点关于点对称， 所以，C对； 对于D选项，易知函数的定义域为， 函数在上为减函数， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为减函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上也为减函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上为减函数， 由可得， 所以，解得， 故不等式的解集为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由函数 ，求导可得, 所以. 13. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 14. 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，根据古典概型求相应的概率，进而可得期望. 【详解】由题意可知：， 且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 依题意，可得， ， ，， ，， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为和 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）对求导，求出的解，然后求解的单调区间. （2）由（1）确定在区间的单调性，然后求出极值和端点值，比较大小确定最值. 【小问1详解】 ， 令，得或或，列表如下 单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）可得在单调递增，在单调递减， 且，，. 在区间的最大值为，最小值为. 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） () （2） () 【解析】 【分析】（1）利用公式求的通项公式； （2）裂项相消法求数列的前项和. 【小问1详解】 由 ，当时，得； 当 时，整理得 ， 故 为首项是 、公比是的等比数列，通项 () . 【小问2详解】 ， 则() . 17. 已知， （1）求的值； （2）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ． 当时，． 【小问2详解】 由，可得，即． 因为角为的内角，即， 所以，则，即． 由三角形的面积公式，可得． 因为，所以． 由余弦定理，可得，则． 故的周长为． 18. 大连麦凯乐商场的某潮玩店推出一款“球鞋盲盒”，店内共有（，）款不同设计的限量版球鞋，每款球鞋恰好有左脚和右脚各1只（全店共双，只鞋）．盲盒包装完全相同，每购买一个盲盒可随机开出1只球鞋．规定：若开出的球鞋中包含同一款的左脚和右脚，则可配对成为“一双”完整的球鞋． （1）若该店共有款不同的球鞋．小明购买了3个盲盒（开出3只鞋），求小明未能配对成功任何一双球鞋的概率； （2）若该店仍有款不同的球鞋．小强购买了4个盲盒（开出4只鞋）．设小强配对成功的球鞋双数为，求随机变量的分布列以及数学期望； （3）随着盲盒爆火，店长扩大了规模，店内现共有款不同的球鞋．超级客户老李一口气购买了个盲盒（且）．设老李配对成功的球鞋双数为，若老李希望自己配对成功的球鞋双数的数学期望不低于双，求他至少要购买多少个盲盒？（已知） 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）求出总样本数和未能配对成功的方法总数，进而求出相关概率； （2）分析的可能取值，分别计算相关概率得出分布列和期望； （3）构造指示变量，得出总配对数，对单款球鞋用组合写出概率，化简组合式得到，利用期望可加性，得出关于的表达式，列不等式，解一元二次不等式求出的范围，求出最小，进而求解． 【小问1详解】 该店共有款不同的球鞋，即全店共4双8只鞋． 小明购买了3个盲盒，即从中随机抽出3只鞋，所有的抽取方法总数为种． 小明未能配对成功任何一双球鞋，意味着抽出的3只鞋分属3款不同的设计： 首先，从4款设计中选出3款，方法数为； 其次，对于选出的每一款，都可以是左脚或右脚（每款2种选择），方法数为； 故未能配对成功的方法总数为种． 设“小明未能配对成功任何一双球鞋”为事件，则： ． 【小问2详解】 小强开出4只鞋，从8只鞋中任取4只，方法总数为． 随机变量（配对成功的球鞋双数）的可能取值为0，1，2． ·当时，4只鞋分属4款不同设计：； ·当时，恰有1款配对成功（2只），另2只分属其余3款中的2款： ； ·当时，恰有2款配对成功：； 随机变量的分布列为： 0 1 2 其数学期望为：． 【小问3详解】 此时店内共有款不同的球鞋，总计只鞋．老李购买了个盲盒． 设（）： 若第款球鞋配对成功，则；若未成功，则． 老李配对成功的总双数， 对于特定的第款球鞋，配对成功意味着在抽出的只鞋中，包含了这一款的左脚和右脚（2只）， 其余只鞋从剩下的98只中任意抽取． 因此其概率为： ， 将组合数展开化简： ， 由于只取0和1，故． 已知，可知期望具有线性性质，故： ， 令，即，解得：， 由于为正整数， 当时，； 当时，． 故满足条件的最小正整数． 此时，老李购买的盲盒数量为个． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）当时，证明在上有唯一零点； （3）对，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 当时，可得，则，可得 令，可得， 令，可得， 当时，，单调递减，且此时 当时，，单调递增，且此时， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，所以恒成立，所以在上单调递增， 又因为，所以，使得， 综上可得，在上有唯一的零点. （3） 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，列出方程，即可求解； （2）当时，得到，利用导数求得恒成立，得到在上单调递增，结合零点存在性定理，即可得证； （3）由，求得，转化为，令，设，即证，结合二次函数的性质，得到在上单调递增，得到，再令，利用导数求得的单调性，得到，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得， 又因为切点在切线上，可得， 所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知：，即，解得， 即为题设中不等式恒成立的必要条件， 下面证明：也是充分条件， 当时，欲证：对，恒成立， 即证：，即证：， 即证：， 令，设，即证， 对于二次函数，其对称轴为， 令， 可得 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以在上单调递减， 所以， 即对于二次函数，其对称轴， 又因为，所以二次函数在上单调递增， 故， 令，可得， 令，可得， 设，则， 令，即，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 所以， 对于，可得， 当时，，单调递增， 所以， 所以，即在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，得证， 即当时，对，恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $