第三章 图形的相似 单元检测卷 2026-2027学年北师大版九年级 数学上册

2026-2027-1北师大九年级第三章图形的相似 单元检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，有一项是符合题目要求的。 1.下列四组线段中，是成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2.如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么等于(    ) A. B. C. D. 第4题图 第3题图 第2题图 3.如图，点，都在格点上，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是(    ) A. ：B. ： C. ：D. ： 5.如图，在大小相同的正方形网格中，是相似三角形的是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6.如图，是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点，连接，若，则等于  (    ) A. B. C. D. 第7题图 第6题图 第8题图 7.如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为位似中心，在点同侧把按的比例放大，放大后的图形记作，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 9.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为的竹竿的影长是，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处．他们测得落在地面的影长为，台阶总的高度为，台阶水平总宽度为，则树高为(    ) A. B. C. D. 第10题图 第9题图 10.如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：；；；其中正确结论的个数是     ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知，则的值为          ． 12.如图，在中，，，先以点为圆心，以的长为半径画弧，与相交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接则的周长为          ． 第14题图 第13题图 第12题图 13.如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为若，则的长为          ． 14.如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，点，分别在边，上．如果，，那么的值为          ． 15.如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，是的中点，连接交于点，则的长为          ；连接，则的长为          ． 第15题图 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． 将向左平移个单位长度后再向下平移个单位长度，请画出经过两次平移后得到的； 以原点为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为请在第三象限内画出，并写出点的坐标． 17.本小题分如图，一块材料的形状是锐角三角形，边的长为，高的长为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上，交于点． 图中与相似的三角形是哪个三角形？请说明理由． 这个正方形零件的边长为多少？ 18.本小题分如图，在中，，平分交于点，交于点，交于点． 求证：∽． 求证：． 作交于点，连接若，，求的长． 19.本小题分如图，是的对角线，在边上取一点，连接交于点，延长交的延长线于点． 若，求证：∽； 若，，求的长． 20.本小题分如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，． 求证：； ． 21.本小题分在正方形中，是边上的一点点不与点，重合． 如图，平分，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点求证：∽． 如图，为的中点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，连接若，求的长． 22.本小题分我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． 如图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度．用含，，的代数式表示 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置，此时测得其影长为米，求灯杆的高度． 23.本小题分 【基础巩固】如图，在中，，，是边上一点，是边上一点，且求证：． 【尝试应用】如图，在四边形中，是边的中点，若，，求线段的长． 【拓展提高】如图，在中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形，且点在边上，点在边上．若，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027-1北师大九年级第三章图形的相似 单元检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，有一项是符合题目要求的。 1.下列四组线段中，是成比例线段的是() A.3 cm,4cm,5 cm,6cm B.2 cm,4cm,4cm,6cm C.3 cm,6 cm,6cm,9cm D.2 cm,4cm,5cm,2v5cm 2.如图，己知AB/CD/EF,它们依次交直线L1、L2于点A、D、F和点B、C、E,如果AD:DF=3:1, BE=10,那么CE等于() A10 B.20 C5 D. 15 3 3 2 2r--7--1-----1 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，点A,B都在格点上，若BC=2区，则AC的长为() 3 A.V13 B.4y3 3 C.2V13 D.3V13 4.如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形 长与宽的比是() A.2:1 B.1:2 C.3:2 D.√2：1 5.如图，在大小相同的4×4正方形网格中，是相似三角形的是() ① A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ 6.如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE,交CD于点F,连接BF,若CD=3CF,则 S△ADF:S△BEF等于（) A.4:1 B.3:1 C.4:3 D.9:4 第1页，共5页 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，在平面直角坐标系中，A(1,0),B(0,2),C(-1,t),以点A为位似中心，在点A同侧把△ABC按1： 2的比例放大，放大后的图形记作△AB'C',则BC的最小值是() A.7 B.2W2 C.2.5 D.3 8.人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为AB的黄金分割点 (AC>BC),则下列结论中正确的是() A.BC2 AC2=AB2 B能-器 c能- 2 D. 2 9.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1m的竹竿的影长 是0.9m,同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且 影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处.他们测得落在地面的影长为1.1m,台阶总的高度为1m, 台阶水平总宽度为1.6m,则树高为() A.3m B.4m C.5m D.6m F E 第9题图 第10题图 10如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点0，点F在AD上，且AF=DF,连接BF交AC于点E,则下列结 i论：①=京②AEF·ACD;③Be=3,@3SD= CAEF S四边形0DFE 5其中正确结论的个数是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 第2页，共5页 1已知号-后-月-0+d-25≠0).测-的值为一 12.如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,∠C=90.先以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，与AB相交 于点D:再分别以点A,D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,分别交 AC,AB于点E,F,连接DE.则△AED的周长为一· D B D B 第13题图 第14题图 第12题图 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD1CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于 点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为 14.如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF,点E,F分别在边AC,BC 上.如果AC=8,AD=2,那么CF:CE的值为一， 15.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点，连接BE交AC于 点F,则OF的长为 连接DF,则DF的长为一· D 第15题图 三、解答题：本题共8小题，共5分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格 点上，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)将△ABC向左平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度，请画出经 过两次平移后得到的△A1B1C1: (2)以原点0为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC 对应边的比为1：2.请在第三象限内画出△A2B2C2,并写出点A2的坐标. 第3页，共5页 17.(本小题9分)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC的长为120mm,高AD的长为80mm, 把它加工成正方形零件，使正方形EGHF的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB,AC上，EF交AD于点 K (1)图中与△ABC相似的三角形是哪个三角形？请说明理由. (2)这个正方形零件的边长为多少？ G DH C 18.(本小题9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分LBAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,EF/ /BC交AC于点F. (1)求证：△ACD∽△ADE. (2)求证：AD2=AB·AF. E (3)作DG1BC交AB于点G,连接FG.若FG=10,BE=16,求AD的长. B 19.(本小题9分)如图，AC是口ABCD的对角线，在边AD上取一点F,连接BF交AC于点E,延长BF交CD的 延长线于点G. (1)若LABF=∠ACF,求证：△ECF∽△EGC: (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长. 20.(本小题9分)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点E,F在线段BC上，点Q在线段AB上，且 CF=BE,AE2=AQ·AB, 求证：(1)∠CAE=∠BAF: (2)CF·FQ=AF·BQ. Q E B 第4页，共5页 21.(本小题9分)在正方形ABCD中，E是边CD上的一点（点E不与点C,D重合）. (1)如图1，AE平分LCAD,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接EF,交AB于点G.求证： △AFG∽△ACE (2)如图2，E为CD的中点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处，连接BF.若AB=4,求BF 的长 图1 图2 22.(本小题10分)我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长， (1)如图(1)所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰 角为a,求灯杆AB的高度.（用含a,b,的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图(2)所示，现将一高 度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位 置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度， 图(1) 图(2) 23.(本小题10分) (1)【基础巩固】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是边AB上一点，F是边BC上一点，且 ∠CDF=45°.求证：ACBF=ADBD. (2)【尝试应用】如图2，在四边形ABFC中，D是边AB的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°若AC=9,BF= 8,求线段CF的长. (3)【拓展提高】如图3，在△ABC中，AB=4W2,∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰直角三角形ADE, 且点D在边BC上，点E在边AC上.若 CE=2√5，求CD的长. 第5页，共5页1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】D 6.【答案】C 7.【答案】D 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】C 1【答关1 12【搭案】罗 13.【答案】 6 5 4【答案)3 15【符案)月 4W13 3 16.【答案】【小题1】 参考答案 第1页，共1页 解：如图，△A1B1C1所示： 444444 【小题2】 解：△A2B2C2如图 >x 点A2的坐标为-1，-4) 17.【答案】【小题1】 解：△AEF∽△ABC.理由：.四边形EGHF为正方形，∴.EF//BC,∴.∠AEF= ∠AFE=∠C,∴.△AEF∽△ABC 第2页，共1页 ∠B, 【小题2】 设EG=EF=Xmm,则AK=AD-KD=(80-x)mm.:△AEF△ABC,:.5=AK BC AD ·X=80-X …12080 解得x=48,∴.这个正方形零件的边长为48mm. 18.【答案】【小题1】 证明：.DE⊥AD,∴.∠ADE=90°，∴.∠C=∠ADE.,AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠DAE, ∴.△ACD∽△ADE 【小题2】 证明：EFI/BC,∠ABC=∠AEP,∠ACB=∠AFE,△ACB∽△AFE,AE=AC AE AF ABAF=AEAC.△ACD△ADE.S0AD=ABAC.AD2=ABAR 【小题3】 解：如图，则DG/1AC,∴.∠ADG=∠CAD..'∠DAE=∠CAD,∴.∠DAE=∠ADG, ∴.AG=DG.在Rt△ADE中，∠ADG+∠EDG=90°，∠DAG+∠DEG=90°， ∴.∠DEG=∠EDG,∴.DG=EG,∴.AG=EG..EF/BC,∠C=90°，.∠AFE=∠C=90°， ∴.AE=2FG=20,∴.AG=EG=DG=10..‘BE=16,∴.BG=26,AB=36..GD/1AC, <BGD=∠BAC.又∠BDGE2C=90,△BGD△BMC,CB9,即1026 AC 36 解得AC180AD=AEAC,∴.AD=VAE·AC=20x180=60/13 1313 19.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB/CG,.∠ABF=∠G..∠ABF=∠ACF, ∴.∠ECF=∠G.又.'∠CEF=∠GEC,∴△ECF∽△EGC. 第3页，共1页 【小题2】 解：在口ABCD中，AB=CD..'DG=DC,∴.AB=CD=DG,∴.AB:CG=1:2.,AB/1CG, ∠a5t-∠c地，∠Ab-∠6E.∴△AB地△cGt,2-即-7 ∴.EG=12,.∴.BG=BE+EG=6+12=18..AB//DG,∴.∠ABF=∠G,∠BAF=∠GDF, △B4 FAGDE,:F=0C=1,BF=BG=9,·EF=BF-BE=9-63 20.【答案】证明：（1).AB=AC, ∴.∠B=∠C 'CF=BE' ∴.CF-EF=BE-EF 即CE=BF, 在△ACE和△ABF中， AC=AB ∠C=∠B, CE=BF .△ACE≌△ABF(SAS' ∴.∠CAE=∠BAF (2)△ACE≌△ABF' .∴.AE=AF,∠CAE=∠BAF' .AE2=AQ·AB'AC=AB 第4页，共1页 ·AE-AC ·AQAF .△ACE”△AFQ' ∴.∠AEC=∠AQF' ∴.∠AEF=∠BQF' .AE=AF' ∴.∠AEF=∠AFE' .∴.∠BQF=∠AFE' ∠B=∠C .△CAF△BFQ' :800 CF AF 即CF·FQ=AF·BQ」 21.【答案】【小题1】 证明：，将△ADE绕点A顺时针旋转90得到△ABF,∴.∠DAE=∠BAF,AE=AF,∠FAE=90°， ∴.△AEF是等腰直角三角形，∴.∠AFE=45°..'AE平分∠DAC,∴.∠DAE=∠EAC, ∴.∠AB=∠CAE.在正方形ABCD中，∠ACD=45°，∴.∠AFG=∠ACE,∴.△AFG∽△ACE. 【小题2】 解：如图，过点F作BC的平行线分别交AB,CD于点G,H,则GH=BC=AB=4, ∠AGF=∠FH=90°.由折叠可得AF=AD=AB=4,EF=DE=号DC=AB=2. ∠AFE=∠D=90°，∴.∠AFG+∠EFH=90°，∠EFH+∠FEH=90°，∴.∠AFG=∠FEH, 第5页，共1页 △AGF∽△F亚，证=出2.设FH=X,则AG=2X,GF=4-X, 阴=42：AG=DH=DE+EH2x=2+42,解得x景AG=5GF=4号是 c-4晋-号在△即=G+Gr-:g4 55 5 E 22.【答案】解：（1)如图： A E C 小 由题意得：BE=CD=b米，EC=BD=a米，∠AEC=90°，∠ACE=Q, 在Rt△AEC中，AE=CE·tanc=atand(米)， ∴.AB=AE+BE=(b+atanx)米， ∴.灯杆AB的高度为atang+b)米； (2)由题意得：GC=DE=2米，CD=1.8米，∠ABC=∠GCD=∠EDF=90°， 第6页，共1页 CG//AB, .∴.△ABH∽△GCH, ..CG=CH 'AB BH' 2 1 ·AB1+BC DE//AB, ∴.△ABF∽△EDF, …恶器 ·2 3 ·AB3+1.8+BC' 1 3 1+BC3+1.8+BC ∴.BC=0.9米， .21 ·AB1+0.9 ∴.AB=3.8米， ..灯杆AB的高度为3.8米. 23.【答案】(1)证明：∠ACB=90°，AC=BC,∴LA=∠B=45 LCDF=45°，2ACD=∠BDR,△ACD∽△BDR,BD=BF AC AD (2)解：如图1，延长AC交BF的延长线于点T,2A=LB=45°， 第7页，共1页 '∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A= ∴ACBF=ADBD. ∴LT=90°，TA=TB.LCDB= LA+LACD=LCDF+LBDF,LA=LCDF,LACD=LBDF,△ACD∽△BDF, ACAD .D是边AB BD BE 的中点，4D=DB,号=A0,AD=6V2,AB=2AD=122,A=7B=2,C7=7A4C=卫 9=3,TF=TB-BF=12-8=4,CF=VCT2+TF=V32+42=5 (3)解：如图2，过点E作EG与CD相交于点G,使∠EGD=45°·△ADE是等腰直角三角形，∴ AB DE=V2AD,∠AED=45°·同理(1)(2)，得△ABD∽△DGE,· DG AD=1 DE-V2.~AB=4V2,DG=V2AB=8.ZBGD=45°，∠ABD=45°，BGC=∠D8C=135°. 又LC=LC,∴△EGC∽△DEC, EC=DCC=GC-CD-GCX (8GC).EC=2520= GC_EC GCX(8+GC),GC=2,CD=10. G 图2 第8页，共1页