广东省中山市华侨中学2026-2027学年高三数学上学期第五次周测10.18

27届高三数学周测（5）10.18 一、单选题 1．已知，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 2．已知向量，满足，，，则（     ） A．1 B． C． D． 3. 如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 4. 设的三个内角分别为A，B，C，向量，.若，则（     ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 6．若的内角，，的对边分别为，，，且，，则“有两解”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（   ） A．2026 B．2027 C．4052 D．4053 8．已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A．若角的终边过点且，则 B．若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C．若在单调递减，则 D．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为 10．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（   ） A． B．外接圆的半径为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 11．在中，内角，，的对边分别是，，，点在所在的平面内，则下列命题正确的是（     ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则点的轨迹经过的外心 C．若为边长为4的等边三角形，则的最小值为 D．若点为的垂心，且，则 三、填空题 12．已知，设是不共线的向量，若A，C，D三点共线，则实数k为______． 13．已知，，若，，则______. 14．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______． 四、解答题 15．已知数列的首项的前项和为，且． (1)证明数列是等比数列；（7分） (2)令，求函数在点处的导数．（8分） 16．在中，，，． (1)求的大小．（3分） (2)设，是边上的两个动点（不含端点）． （i）若平分，求；（5分） （ii）若，求面积的最小值．（8分） 17．已知函数，（，是自然对数的底数）． （1）讨论的单调性；（6分） （2）当时，，求的取值范围．（10分） 《27届高三数学周测（5）10.18》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C C D A C B BD BCD ACD 8．B【详解】由可知，直线过定点，设定点为，则为， 由可知，曲线由反比例函数平移得到，则曲线对称中心为，即为点，所以点为，两点中点，则由向量中点公式可得， 又，所以，即，所以动点在以为圆心，半径的圆内含边界， 因为，所以. 9．BD【详解】点到原点的距离，，则， 化简整理得，解得或（舍去），故A错误； 是第三象限角，则， 故， 为偶数时，在第二象限；为奇数时，在第四象限，故B正确； 令，底数且， 时，递增，需在递减，且在恒成立， 开口向上，对称轴，递减区间为，故，即； 在的最小值趋近于，需，即， 综上，，即，故C错误； 由弧长公式，解得， 故扇形面积，故D正确． 10．BCD【详解】锐角中，，， ，，. 因为，所以， 化简得，所以. 由，得，由正弦定理得， 所以，则，所以. 对于A，，，A错误； 对于B，由正弦定理得（为外接圆的半径），即，解得，B正确； 对于C，因为为锐角三角形，所以， 得，则. 由正弦定理，得， 所以，即的取值范围为，C正确； 对于D，设，，由为锐角三角形，得，则. 由正弦定理得，则，. 所以， 即的取值范围是，D正确. 11．ACD【详解】对于A，因为，所以即 两边平方，得 展开并整理，得 由题设，结合上式可得 又所以，即为钝角，故为钝角三角形，A正确. 对于B，设的外接圆半径为，为的中点． 由正弦定理， 因此 于是点的轨迹为从出发经过的射线． 的外心在中线上当且仅当，题设没有此条件，所以不能推出该轨迹经过外心，B错误． 对于C，以的中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 可取 则 所以 当，时取等号，因此最小值为，C正确． 对于D，记 因为为的垂心，所以从而 设上述数量积均为． 由分别与，作数量积，得 因此，且D正确． 12. -8 13．【详解】因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以， 又， 所以. 14． /【详解】由题可知， ∴， ∴， 结合以及正六边形的几何特征可知为的中点， 所以 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即.故答案为：； 15．【详解】（1）因为，所以， 所以，又，即 所以数列是公比和首项均为2的等比数列． （2）由（1），所以，所以， 所以，设，所以，所以，所以， 所以． 16．【详解】（1）在中，由余弦定理可得． 因为，所以． （2）（ⅰ）因为平分，所以． 的面积， 的面积， 的面积． 由，可得，解得． （ⅱ）在中，， 由，，，， 得，． 设．在中，由正弦定理可得， 得， 同理可得， 则的面积． 因为，所以， 则 ． 因为，所以，则， 当时，取得最大值1，则， 从而面积的最小值为． 17.【详解】（1）， 当时，，函数在上递减； 当时，由，解得，故函数在上单调递减， 由，解得，故函数在上单调递增． 综上所述，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增. （2）当时，，即，故， 令，则， 若，则当时，，函数在上单调递增，当时， ，当时，单调递增， 则，符合题意； 若，则，， 由得，故， 存在，使得，且当时，，在上单调递减， 当时，，不合题意， 综上，实数的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $