精品解析：四川成都市温江区冠城实验学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

成都冠城实验学校2026-2027学年上期10月月考 高一年级数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名，考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 2. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的互异性以及子集概念即可求出a的值． 【详解】由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或． 故选：C． 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 4. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 6. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 【答案】D 【解析】 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 7. 命题“存在实数，使得二次方程有实数根”为真命题的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的情况列出不等式组，求出该命题成立的充要条件，再依次分析四个选项是否是该命题的充分不必要条件即可. 【详解】因为二次方程有实数根， 所以，即，解得且， 所以该命题成立的充要条件是且， 对于A，若，不能推出且，故A错误； 对于B，若，可以推出且， 所以是该命题的充分不必要条件，故B正确； 对于C，若，不能推出且，故C错误； 对于D，若，不能推出且，故D错误； 8. 设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，再依次判断选项. 【详解】因为非空集合P，Q满足，所以， 对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故A正确，C错误； 对于BD，由，分类讨论：若P是Q的真子集，则，；若，则，；故 BD错误． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题日要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某人月收入不高于2000元可表示为“” B. 小明的体重，小华的体重为，则小明比小华重表示为“” C. 某标量至多为1可表示为“” D. 某标量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A选项，某人月收入不高于2000元可表示为“”，故A错误； 对于B选项，小明比小华重，则，故B正确； 对于C选项，至多为1，则，故C正确； 对于D选项，不超过，则，故D正确. 10. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 11. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得集合中的元素均为负数，结合选项得答案. 【详解】“”为真命题，则， “”为假命题，则“，”为真命题. 由上可知，集合的元素均为负数， 集合可以是A、B. 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________； 【答案】 【解析】 【详解】不等式等价于， 解得，所以不等式的解集是. 13. 已知集合或，，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即可. 【详解】集合或，，而，， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用量词命题的否定，将问题转化为二次不等式恒成立问题，进而得到，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为命题：“存在，使得”为假命题， 则“任意，都有”为真命题， 对于，所以， 要使“任意，都有”为真命题， 则，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【解析】 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 16. （1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 17. （1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，． 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式 的解集为或． （2）原不等式 可化为 ， 方程的根为或. 当时，不等式的解是； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解是 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合 ，由 得 ，分 和 两类讨论求解； （2）由 是 的必要不充分条件得 ，结合真子集的定义列不等式组求解. 【小问1详解】 首先化简集合 ：解不等式 ，得 ，即 . 由 ，可得 ，分两种情况讨论： 当 时，满足 ，此时 ，解得 ； 当 时，需满足 ，即 ，该不等式组无实数解. 综上，实数 的取值范围为 . 【小问2详解】 由 是 的必要不充分条件，可知 且 ，即 ， 此时 非空，故需满足： 解得，所以 . 验证：当 时， 成立； 当 时， 成立. 综上，实数 的取值范围为. 19. 在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：若，则；（假命题）.这个命题是省略了量词的全称量词命题. （1）有人认为命题“若，则”的否定是“若，则”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定； （2）求a的取值范围，使“若，则”是真命题. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据全称命题和存在命题的定义、全称命题的否定的性质进行判断求解即可； （2）利用基本不等式，结合全称命题的性质进行求解即可. 【小问1详解】 不对. 命题的符号表示为：； 命题的否定的符号表示为： 【小问2详解】 由题意，对任意的，恒成立， 得对任意的恒成立， ，故对任意的恒成立， 而. （当且仅当时取等号，即时等号成立）， 当时，的最小值为6， 所以，a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都冠城实验学校2026-2027学年上期10月月考 高一年级数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名，考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 7. 命题“存在实数，使得二次方程有实数根”为真命题的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题日要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某人月收入不高于2000元可表示为“” B. 小明的体重，小华的体重为，则小明比小华重表示为“” C. 某标量至多为1可表示为“” D. 某标量不超过可表示为“” 10. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 11. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________； 13. 已知集合或，，若，则实数a的取值范围是______. 14. 已知，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 16. （1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 17. （1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19. 在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：若，则；（假命题）.这个命题是省略了量词的全称量词命题. （1）有人认为命题“若，则”的否定是“若，则”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定； （2）求a的取值范围，使“若，则”是真命题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $